Problema hamiltoniana quantistica

[HaldoSax]

Buona giornata a tutti, ho il seguente problema di meccanica quantistica e c'è un passaggio che è da giorni che ci sbatto la testa e non riesco a venirne a capo.

Problema: Data la seguente hamiltoniana:

\begin{equation}
H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-\vec{A}(\vec{x}))^2-\frac{1}{m}\vec{s}\cdot\vec{B}
\end{equation}

Dimostrare che la hamiltoniana può essere scritta nella forma:

\begin{equation}
H=\frac{m}{2}(\vec{\sigma}\cdot\vec{v})^2
\end{equation}

dove $\sigma$ sono le matrici di Pauli e v è l'operatore velocità $v=\frac{\vec{p}-vec{A}}{m}$ che soddisfa la seguente relazione di commutazione
\begin{equation}
[v^i,v^j]=\frac{i\hbar}{m^2}\varepsilon^{ijk}B_k
\end{equation}

Soluzione:

So che le matrici di pauli soddisfano: $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\varepsilon^{ijk}\sigma_k$, ${\sigma_i,\sigma_j}=2\delta^{ij}$.

\begin{equation}
H=\frac{m}{2}(\sigma_i\sigma_jv_iv_j)=\frac{m}{4}(\{\sigma_i\sigma_j\}+[\sigma_i\sigma_j])v_iv_j=\frac{m}{2}(\delta^{ij}v_iv_j+i\varepsilon^{ijk}\sigma_kv_iv_j)=\frac{m}{2}(v_iv_i+i\varepsilon^{ijk}\sigma_kv_iv_j)
\end{equation}

E qui mi blocco, non riesco a trovare un modo di riscrivere il secondo addendo come commutatore delle velocità. Perché utilizzando l'uguaglianza di $[v_i,v_j]$ il gioco è fatto.

Grazie a tutti in anticipo.

[redlex91-votailprof]

Applica (vedi ad esempio qui)
\[
(\vec{\sigma}\cdot\vec{a})(\vec{\sigma}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\imath\vec{\sigma}\cdot\vec{a}\times\vec{b}=a^ib_i+\imath\sigma^i\epsilon_{ijk}a^jb^k
\]
con \(\vec{a}=\vec{b}=\vec{v}\). Vediamo il secondo pezzo[nota]Metodo forza bruta: sviluppa il determinante formale \(\vec{v}\times\vec{v}\), trovi che ogni componente del prodotto vettore è un commutatore, quindi svolgi il prodotto scalare.[/nota]
\[
\sigma^i\epsilon_{ijk}v^jv^k
\]
dove \(\epsilon_{ijk}\) è completamente antisimmetrico e quindi antisimmetrico nella coppia di indici \(jk\) cioé \(\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{ikj}\); scomponiamo il prodotto \(v^jv^k\) in parte simm. e antisimm.
\[
v^jv^k=v^{(j}v^{k)}+v^{[j}v^{k]}
\]
si ha
\[
\epsilon_{ijk}\lbrace v^{(j}v^{k)}+v^{[j}v^{k]}\rbrace=\epsilon_{ijk}v^{[j}v^{k]}=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}[v^j,v^k]
\]
poiché la contrazione di un tensore antisimmetrico per uno simmetrico è nullo; inseriamo la relazione di commutazione
\[
\sigma^i\epsilon_{ijk}v^jv^k=\frac{1}{2}\sigma^i\epsilon_{ijk}\frac{\imath\hbar}{m^2}\epsilon^{jkl}B_l=\frac{\imath\hbar}{2m^2}\sigma^i\epsilon_{ijk}\epsilon^{ljk}B_l=\frac{\imath\hbar}{2m^2}2\sigma^i\delta^l_i B_l=\frac{\imath\hbar}{m^2}\sigma^lB_l=2\frac{\imath}{m^2}\vec{s}\cdot\vec{B}
\]
ed infine
\[
\frac{m}{2}\imath2\frac{\imath}{m^2}\vec{s}\cdot\vec{B}=-\frac{1}{m}\vec{s}\cdot\vec{B}
\]

[HaldoSax]

Grazie friction capito tutto, il muro si stava per spaccare da tante testate che ho dato. . Mi sa che dovrò dare un'occhiata più approfondita ai tensori perché sulle dispense del mio prof non c'è assolutamente nulla. Grazie ancora e buona giornata