Problema gravitazione satellite
Per il primo punto tutto ok, ho usato la terza legge di Keplero, mentre per il secondo punto ho usato la formula dell'energia totale per un corpo in orbita circolare $E = - (GMm)/(2r)$ per un calcolo dell'energia media persa , ho infatti usato $(Delta E) / (Delta t)$ ma penso si debba usare il calcolo infinitesimale, infatti trovo un risultato sballato, qualche aiuto ?
Risposte
Per la prima parte io lascerei stare Keplero e ragionerei direttamente in termini di forza gravitazionale e centripeta. Ricorda che le leggi di Keplero sono ricavabili dalla legge di gravitazione universale.
Quindi poiché la forza centripeta è fornita dalla forza gravitazionale si ha:
$( G m M_T) / R^2 = m omega^2 R$
dove $R=R_T+H$ con $H$ altezza del satellite e $R_T$ raggio terrestre.
Inoltre sappiamo che $G M_T = g R_T^2$ infatti $(G m M_T)/R_T^2 = m g$
Quindi
$omega=sqrt((g R_T^2/R^3))$
Calcolata $omega$ il periodo sarà $(2 pi) / omega$.
L'energia del satellite inoltre è $1/2 m omega^2 R^2 - (G m M_T )/ R= - (G m M_T)/(2R)$.
Ovviamente poiché disponi di dati discreti (l'altezza a diversi tempi) puoi calcolare le derivate solo in maniera discreta.
Se sei interessato alla derivata in gennaio potresti fare
(E(Dicembre) - E(Febbraio)) / (60 giorni) che ti dà una stima buona della derivata in gennaio.
EDIT: Mi sono accorto che avevi già considerato l'energia cinetica, non me ne ero accorto... ho corretto la correzione
Quindi poiché la forza centripeta è fornita dalla forza gravitazionale si ha:
$( G m M_T) / R^2 = m omega^2 R$
dove $R=R_T+H$ con $H$ altezza del satellite e $R_T$ raggio terrestre.
Inoltre sappiamo che $G M_T = g R_T^2$ infatti $(G m M_T)/R_T^2 = m g$
Quindi
$omega=sqrt((g R_T^2/R^3))$
Calcolata $omega$ il periodo sarà $(2 pi) / omega$.
L'energia del satellite inoltre è $1/2 m omega^2 R^2 - (G m M_T )/ R= - (G m M_T)/(2R)$.
Ovviamente poiché disponi di dati discreti (l'altezza a diversi tempi) puoi calcolare le derivate solo in maniera discreta.
Se sei interessato alla derivata in gennaio potresti fare
(E(Dicembre) - E(Febbraio)) / (60 giorni) che ti dà una stima buona della derivata in gennaio.
EDIT: Mi sono accorto che avevi già considerato l'energia cinetica, non me ne ero accorto... ho corretto la correzione
Beh certo, la formula che hai scritto è equivalente alla terza legge di Keplero, ma quest'ultima mi sembra più utile in questo caso perchè collega direttamente $r$ con $T$
in ogni caso usando la formula che hai suggerito ottengo $11, 8 J$ come risultato, che non è quello dato dal libro,Io avevo pensato di approssimare la pendenza del grafico nel 1 gennaio a $- (25 km)/(30 d)$ ma anche cosi non trovo il risultato del libro.
in ogni caso usando la formula che hai suggerito ottengo $11, 8 J$ come risultato, che non è quello dato dal libro,Io avevo pensato di approssimare la pendenza del grafico nel 1 gennaio a $- (25 km)/(30 d)$ ma anche cosi non trovo il risultato del libro.
...sì ma la terza legge di Keplero devi ricordarla (e io non la ricordo ) invece se conosci la legge di gravitazione universale con pochi passaggi ci arrivi e ripassi qualche concetto fisico piuttosto che andare a memoria. Questione di gusti.
Per la seconda parte, non so che dirti, (a parte che non capisco perché hai scritto il risultato in joule il risultato dovrebbe essere in J/s cioè in watt visto che ti chiede l'energia persa per unità di tempo). Più che approssimare la derivata al secondo ordine, come ti ho scritto) non so che suggerirti, è vero che potresti calcolare la derivata numericamente in modo ancora più accurato usando tutti i punti che hai, ma non credo sia quello il fine dell'esercizio....
Per la seconda parte, non so che dirti, (a parte che non capisco perché hai scritto il risultato in joule il risultato dovrebbe essere in J/s cioè in watt visto che ti chiede l'energia persa per unità di tempo). Più che approssimare la derivata al secondo ordine, come ti ho scritto) non so che suggerirti, è vero che potresti calcolare la derivata numericamente in modo ancora più accurato usando tutti i punti che hai, ma non credo sia quello il fine dell'esercizio....
si si ho scordato un $ / s $
in ogni caso penso di essere stato frainteso, non ho mai detto che la terza legge di Keplero bisogna ricordarsela a memoria, anche perchè facendo Fisica devi arrivare a quella legge come fece Newton!
semplicemente mi sembra più utile usare la forma classica di quella legge invece che tirare in ballo $omega$ o altre grandezze.
in ogni caso penso di essere stato frainteso, non ho mai detto che la terza legge di Keplero bisogna ricordarsela a memoria, anche perchè facendo Fisica devi arrivare a quella legge come fece Newton!
semplicemente mi sembra più utile usare la forma classica di quella legge invece che tirare in ballo $omega$ o altre grandezze.
"duff18":
in ogni caso usando la formula che hai suggerito ottengo $11, 8 J$ ...
Comunque a me non viene quel numero.... usando per la terra un raggio di 6670 km ottengo circa 2 W.....
Riguardo alla terza legge Keplero la ricavò da osservazioni, Newton invece a partire dalle leggi di Keplero arrivò all'andamento della forza gravitazionale con l'inverso del quadrato della distanza. Quindi non ha molto senso dire quale sia l'approccio più diretto... (vorrei vedere poi come arrivi alla legge di Keplero senza considerare la velocità angolare o la velocità areolare....)
mi sa che abbiamo punti di vista diversi anche per il raggio della Terra, io pensavo fosse circa 6370 km 
"duff18":
mi sa che abbiamo punti di vista diversi anche per il raggio della Terra, io pensavo fosse circa 6370 km
Sì errore di battitura qui, in realtà nei conti ho usato il valore corretto di 6370 km.
Siamo allo stesso punto di prima, non è neppure quello il valore che riporta il libro 
"duff18":
Siamo allo stesso punto di prima, non è neppure quello il valore che riporta il libro
Credo che allora potrebbe essere sbagliato il risultato del libro...
Tanto per capire che risultato riporta il libro? Se non siamo lontanissimi potrebbe essere dovuto al modo in cui sono calcolate le derivate altrimenti potrebbe essere un errore di altro tipo.
Un'altra considerazione che si può fare è che qui noi stiamo facendo delle approssimazioni: in realtà il satellite non è in orbita stabile quindi a rigore tu non puoi applicare la terza legge di Keplero per calcolare esattamente il periodo, né io posso sostituire nelle forza centripeta $R$ con la distanza del satellite dal centro della terra (dovrei calcolare il raggio di curvatura dell'orbita che è una spirale).
Similmente per l'energia devo considerare separatamente i contributi cinetici e potenziali e non posso fare l'ultimo passaggio che fa dipendere l'energia totale solo dalla distanza dal centro della terra.
Comunque questa approssimazione dovrebbe essere abbastanza legittima visto che il satellite scende mediamente molto lentamente rispetto al periodo di rivoluzione.
....e i calcoli precisi sarebbero notevolmente più complessi, se è un esercizio non credo sia richiesto quello.
$4,3 W$
questo è il risultato del libro,
comunque son d'accordissimo che si debbano fare grandi approssimazioni,
il metodo che avevo usato io è quello di approssimare la pendenza della curva nel primo gennaio a $- 1 = - (25km)/(30d)$ e poi utilizzarla nella formula per l'energia totale ma ottengo ( a meno di errori) circa 8 W
questo è il risultato del libro,
comunque son d'accordissimo che si debbano fare grandi approssimazioni,
il metodo che avevo usato io è quello di approssimare la pendenza della curva nel primo gennaio a $- 1 = - (25km)/(30d)$ e poi utilizzarla nella formula per l'energia totale ma ottengo ( a meno di errori) circa 8 W
Io ottengo 2.14 W che è circa la metà del valore riportato dal libro.
Ho capito l'errore che viene fatto dal libro: riportano la variazione di energia potenziale, non la variazione di energia meccanica totale.
Io ho usato la formula:
$(m*g*R_T^2)/2*(1/R_1-1/R_2)*1/(60*24*3600)=-2.14$W
Considerando come ti dicevo per il calcolo della derivata un periodo di 60 giorni tra inizio dicembre e fine gennaio.
$R_1=300+R_T=6670 $km
$R_2=237+R_T=6607 $km
PS: Le approssimazioni non sono poi così grandi credo visto che il satellite scende dell'ordine di 1 m ad ogni giro a gennaio, certo che man mano che è frenato dall'atmosfera la discesa avviene sempre più velocemente fino a quando non è più possibile approssimare in quel modo, ma a quel punto il povero satellite sarà bello e bruciato..
Ho capito l'errore che viene fatto dal libro: riportano la variazione di energia potenziale, non la variazione di energia meccanica totale.
Io ho usato la formula:
$(m*g*R_T^2)/2*(1/R_1-1/R_2)*1/(60*24*3600)=-2.14$W
Considerando come ti dicevo per il calcolo della derivata un periodo di 60 giorni tra inizio dicembre e fine gennaio.
$R_1=300+R_T=6670 $km
$R_2=237+R_T=6607 $km
PS: Le approssimazioni non sono poi così grandi credo visto che il satellite scende dell'ordine di 1 m ad ogni giro a gennaio, certo che man mano che è frenato dall'atmosfera la discesa avviene sempre più velocemente fino a quando non è più possibile approssimare in quel modo, ma a quel punto il povero satellite sarà bello e bruciato..
mmm non capisco quel $R_T^2$ al numeratore
mmm mi sa che non hai letto il mio primo messaggio di questa discussione:
$G M_T = g R_T^2$
$G M_T = g R_T^2$
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