Problema Gravitazione
Due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ si trovano in una certa zona delle spazio, la distranza tra i due corpi è $R$. Calcolare il tempo di collisione tra i due corpi.
Nel caso $m_1=300kg , m_2=500kg$ e $R=5m$ quanto tempo impiegheranno i corpi a scontrarsi? (esprimere il risultato in ore)
Qualcuno riesce a darmi una mano a risolvere questo problema?
Nel caso $m_1=300kg , m_2=500kg$ e $R=5m$ quanto tempo impiegheranno i corpi a scontrarsi? (esprimere il risultato in ore)
Qualcuno riesce a darmi una mano a risolvere questo problema?
Risposte
Be, non c'è attrito, la forza è quella gravitazionale, raggio e masse le hai..... Che vuoi di più? Il tipo di moto è elementare
"Antonio Mantovani":
Be, non c'è attrito, la forza è quella gravitazionale, raggio e masse le hai..... Che vuoi di più?
Potresti spiegarmi allora cosa fare? Non sei molto d'aiuto, gradirei una spiegazione non un: "cosa vuoi di più?", anche perchè non credo che il problema si risolva così..
E provaci dai?
Almeno sapere con che moto si muovono, non mi sembra chiedere molto.
Almeno sapere con che moto si muovono, non mi sembra chiedere molto.
Le particelle si muovono di moto acelerato, ma non unifermemente (il problema non è alquanto banale).
L'accelerazione aumenta nel corso del tempo, non è uniforme. Quindi il mio problema è come risolvere un problema del genere, non so come operare.
L'accelerazione aumenta nel corso del tempo, non è uniforme. Quindi il mio problema è come risolvere un problema del genere, non so come operare.
@lore.p98
Infatti il problema non è per niente banale, mi sembra . L'equazione differenziale del moto di una delle masse, nel riferimento dell’altra, è del tipo :
$ddotr = k/r^2$
dove al primo membro c'è l'accelerazione come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo , e al secondo c'è la formula della forza gravitazionale newtoniana ( diviso la massa) , che varia con l'inverso del quadrato di $r$. La costante $k$ ingloba i fattori che figurano nella formula della gravitazione universale. Ma qui c’è un problema, perché quando r=0 il secondo membro diventa infinito! Forse conviene mettersi nel riferimento del CM, perché è lì che le due masse si incontrano.
Se ti può interessare, spulciando nel forum ( mi ricordavo di averla già vista) , ho trovato questa discussione , in cui si considera una massa $m$ in caduta radiale verso la terra.
Qui la massa della terra è molto maggiore della massa $m$ del satellite, quindi si può considerare il problema "ad un solo corpo" , anziché il problema dei due corpi , come nel tuo caso. Infatti, come diceva zorrok :
l'eq. del moto è ovviamente mr'' = GMm/r^2
È strano però che in quella discussione c'erano i post di Tem , che lo aveva risolto brillantemente , ed ora quei post non ci sono più...: li avrà cancellati , non capisco perché. Dai anche un'occhiata alla risposta di navigatore, e a quello che dice circa la conservazione dell'energia . Inoltre ,qui c'è una dispensa che ho trovato in rete sul moto in un campo di forze centrali . Forse può essere utile.
Infatti il problema non è per niente banale, mi sembra . L'equazione differenziale del moto di una delle masse, nel riferimento dell’altra, è del tipo :
$ddotr = k/r^2$
dove al primo membro c'è l'accelerazione come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo , e al secondo c'è la formula della forza gravitazionale newtoniana ( diviso la massa) , che varia con l'inverso del quadrato di $r$. La costante $k$ ingloba i fattori che figurano nella formula della gravitazione universale. Ma qui c’è un problema, perché quando r=0 il secondo membro diventa infinito! Forse conviene mettersi nel riferimento del CM, perché è lì che le due masse si incontrano.
Se ti può interessare, spulciando nel forum ( mi ricordavo di averla già vista) , ho trovato questa discussione , in cui si considera una massa $m$ in caduta radiale verso la terra.
Qui la massa della terra è molto maggiore della massa $m$ del satellite, quindi si può considerare il problema "ad un solo corpo" , anziché il problema dei due corpi , come nel tuo caso. Infatti, come diceva zorrok :
l'eq. del moto è ovviamente mr'' = GMm/r^2
È strano però che in quella discussione c'erano i post di Tem , che lo aveva risolto brillantemente , ed ora quei post non ci sono più...: li avrà cancellati , non capisco perché. Dai anche un'occhiata alla risposta di navigatore, e a quello che dice circa la conservazione dell'energia . Inoltre ,qui c'è una dispensa che ho trovato in rete sul moto in un campo di forze centrali . Forse può essere utile.
Innanzitutto è il classicissimo problema dei due corpi, ed era questo quello che volevo sentire.
Guardati almeno cosa riguarda, Wikipedia sembra fatta bene, provaci, e se trovi problemi posta.
Ma non lamentarti.
Il cM si muove di moto rettilineo uniforme, e questo dovrebbe aiutarti non poco
Guardati almeno cosa riguarda, Wikipedia sembra fatta bene, provaci, e se trovi problemi posta.
Ma non lamentarti.
Il cM si muove di moto rettilineo uniforme, e questo dovrebbe aiutarti non poco
Mi intrometto solo per rispondere all'OT, non entro nella vostra discussione.
Considera che in due corpi si attraggono e sono inizialmente fermi. La forza agente è quella gravitazionale. Questo problema può essere complesso da studiare nel caso generale o approcciando direttamente la relazione di Newton, ma noi siamo furbi e scriviamo la conservazione dell'energia. Conviene mettersi nel sistema di riferimento di uno dei due corpi, diciamo il secondo giusto perché ha massa maggiore ma così, per bellezza.
$E=1/2 m_2 \dot{r}^2-k/r$ dove $k=G m_1 m_2$ ; al tempo zero ovviamente la velocità è nulla e la distanza è quella nota quindi $E=-k/R$ .
abbiamo $(dr)/dt= (2/m_2 k (1/r-1/R))^(1/2)$ quindi separando il differenziale (o per sostituzione, come ti pare in base a quanto sei rigoroso matematicamente) ti trovi a dover integrare una relazione del tipo (riporto nella variazione della distanza solo ciò che conta, la roba costante ce la moltiplichiamo alla fine
$\int dt = \int (1/r-1/R)^(-1/2) dr$ dove il tempo varia tra zero ed il tempo di collisione e la distanza da $R$ a 0. Osserviamo almeno che l'integrale improprio ha senso poiché in zero converge. Ora attenzione, posto $1/r=y$, questo integrale te lo troverai davanti anche troppo volte studiando i campi gravitazionali (ma non solo) calcolarlo è un po' lunghetto poiché passa attraverso l'integrazione razionalizzante e devi vedere ad occhio un paio di relazioni trigonometriche. Una volta lo risolsi con una genialata di sostituzione che lo abbreviava parecchio...purtroppo come uno scemo non me la sono segnata e non sono più riuscito ritirarla fuori. Comunque chiamando $c=1/R$ il risultato è
$y=(arctan(sqrt(y-c)/sqrt(c))/c^(3/2))+sqrt(y-c)/(yc)$
A questo punto ci servono gli estremi, attenzione che nella sostituzione sono cambiati infatti ora questa variabile si muove tra $1/R$ ed infinito. L'arcotangente ad infinito tende a $pi/2$ ed in zero vale zero. L'altro addendo ad infinito vale zero come nache in $1/R$. Se non ho sbagliato ottieni
$\pi/2 R^(3/2)$ e moltiplicandoci le costanti che ci siamo lasciati indietro troviamo $\pi (m_2R^3/(8k))^(1/2)$ che è il tempo cercato.
PS: qualcuno mi sa dire la sintassi per aggiungere gli estremi agli integrali?
Considera che in due corpi si attraggono e sono inizialmente fermi. La forza agente è quella gravitazionale. Questo problema può essere complesso da studiare nel caso generale o approcciando direttamente la relazione di Newton, ma noi siamo furbi e scriviamo la conservazione dell'energia. Conviene mettersi nel sistema di riferimento di uno dei due corpi, diciamo il secondo giusto perché ha massa maggiore ma così, per bellezza.
$E=1/2 m_2 \dot{r}^2-k/r$ dove $k=G m_1 m_2$ ; al tempo zero ovviamente la velocità è nulla e la distanza è quella nota quindi $E=-k/R$ .
abbiamo $(dr)/dt= (2/m_2 k (1/r-1/R))^(1/2)$ quindi separando il differenziale (o per sostituzione, come ti pare in base a quanto sei rigoroso matematicamente) ti trovi a dover integrare una relazione del tipo (riporto nella variazione della distanza solo ciò che conta, la roba costante ce la moltiplichiamo alla fine
$\int dt = \int (1/r-1/R)^(-1/2) dr$ dove il tempo varia tra zero ed il tempo di collisione e la distanza da $R$ a 0. Osserviamo almeno che l'integrale improprio ha senso poiché in zero converge. Ora attenzione, posto $1/r=y$, questo integrale te lo troverai davanti anche troppo volte studiando i campi gravitazionali (ma non solo) calcolarlo è un po' lunghetto poiché passa attraverso l'integrazione razionalizzante e devi vedere ad occhio un paio di relazioni trigonometriche. Una volta lo risolsi con una genialata di sostituzione che lo abbreviava parecchio...purtroppo come uno scemo non me la sono segnata e non sono più riuscito ritirarla fuori. Comunque chiamando $c=1/R$ il risultato è
$y=(arctan(sqrt(y-c)/sqrt(c))/c^(3/2))+sqrt(y-c)/(yc)$
A questo punto ci servono gli estremi, attenzione che nella sostituzione sono cambiati infatti ora questa variabile si muove tra $1/R$ ed infinito. L'arcotangente ad infinito tende a $pi/2$ ed in zero vale zero. L'altro addendo ad infinito vale zero come nache in $1/R$. Se non ho sbagliato ottieni
$\pi/2 R^(3/2)$ e moltiplicandoci le costanti che ci siamo lasciati indietro troviamo $\pi (m_2R^3/(8k))^(1/2)$ che è il tempo cercato.
PS: qualcuno mi sa dire la sintassi per aggiungere gli estremi agli integrali?
@ Nikikinki
la conservazione dell'energia era stata usata da navigatore nel problema di cui al link da me citato . Mi pare che avesse trovato la stessa soluzione tua .
PER mettere gli estremi di integrazione : $ \int_a^bf(x) dx $ basta che scrivi cosi : \int_a^bf(x) dx , tra i dollari .
la conservazione dell'energia era stata usata da navigatore nel problema di cui al link da me citato . Mi pare che avesse trovato la stessa soluzione tua .
PER mettere gli estremi di integrazione : $ \int_a^bf(x) dx $ basta che scrivi cosi : \int_a^bf(x) dx , tra i dollari .
Non entro nel merito di quei terrificanti integrali, ma non si potrebbe utilizzare la terza legge di Keplero, $T^2 = kR^3$? Dove $R$ è la distanza iniziale. Questo almeno nel caso in cui uno dei due corpi sia molto più massiccio dell'altro, ma immagino che con qualche trucco si possa estendere al caso dei due corpi.
Grazie Shackle 
al prossimo giro li metterò giusti, ormai questi li lascio così tanto penso si capisca.
@mgrau Uhm non penso che Keplero possa aiutare perché in quel caso l'energia dell'orbita è definita e quella relazione deriva da una simmetria dell'ellisse. Qui non ci sono "orbite" ma un collasso l'uno sull'altro. Però boh, magari trovando l'analogia con un ellisse che si contra a retta si può provare ma mi sembrano due situazioni troppo differenti.
al prossimo giro li metterò giusti, ormai questi li lascio così tanto penso si capisca.@mgrau Uhm non penso che Keplero possa aiutare perché in quel caso l'energia dell'orbita è definita e quella relazione deriva da una simmetria dell'ellisse. Qui non ci sono "orbite" ma un collasso l'uno sull'altro. Però boh, magari trovando l'analogia con un ellisse che si contra a retta si può provare ma mi sembrano due situazioni troppo differenti.
"Nikikinki":
mi sembrano due situazioni troppo differenti.
Tanto differenti non direi, visto che anche la tua soluzione porta a $T = k*R^(3/2)$
Sì perché l'equazione ha la stessa forma, tipica del moto in campo centrale, però cambiano le condizioni iniziali e si giunge a due soluzioni diverse. Non credo che si possa ricostruire una soluzione con altre condizioni iniziali partendo da una soluzione con differenti condizioni iniziali. Non so se mi sono spiegato bene , l'ho detto contorto
"Nikikinki":
Se non ho sbagliato ottieni
$\pi/2 R^(3/2)$ e moltiplicandoci le costanti che ci siamo lasciati indietro troviamo $\pi (m_2R^3/(8k))^(1/2)$ che è il tempo cercato.
Inanzitutto grazie a tutti per i consigli che mi avete dato, ho trovato un risultato simili al tuo, a me viene
$pisqrt(R^3/(8GM))$ dove $M$ è la somma delle due masse.
Non so se sia corretto o meno però il risultato "torna".
Già che torni in forma ci rende contenti, però c'è una bella differenza tra i due risultati, nella costante. Non so come sei giunto a quel risultato, ma se hai seguito la via energetica come me, se scrivi la conservazione per un corpo poi il risultato non dipende dalla massa di quel corpo ma solo dall'altra. Nel mio è un po' nascosto ma le $m_2$ si semplificano esplicitando $k$. Quindi non so francamente non vedo dove possa aver sbagliato. Che ragionamento hai seguito?
Edit: Ho capito. Impostando la conservazione dell'energia ho implicitamente supposto che l'altra massa fosse piccola rispetto alla prima, cosa che si fa per gli studi sui rientri dei satelliti sono andato in automatico. La soluzione giusta è la tua considerando giustamente la massa nella conservazione come la massa ridotta $m=(m_1m_2)/(m_1+m_2)$ . Sostituendo questa massa alla massa che avevo messo al numeratore nel mio risultato ci troviamo d'accordo
Edit: Ho capito. Impostando la conservazione dell'energia ho implicitamente supposto che l'altra massa fosse piccola rispetto alla prima, cosa che si fa per gli studi sui rientri dei satelliti sono andato in automatico. La soluzione giusta è la tua considerando giustamente la massa nella conservazione come la massa ridotta $m=(m_1m_2)/(m_1+m_2)$ . Sostituendo questa massa alla massa che avevo messo al numeratore nel mio risultato ci troviamo d'accordo
ottimo
t= (m/k) ^1/2 × integrale ($ ,0) {dy/(Rad(1-y^2) }
E mi sembra lo stesso risultato.
Come si ottiene questa, è in tutti i libri.
E mi sembra lo stesso risultato.
Come si ottiene questa, è in tutti i libri.
@Antonio Mantovani: se cominciassi a scrivere le formule in modo comprensibile (cosa tra l'altro obbligatoria da regolamento visto il numero dei tuoi messaggi) forse i tuoi interventi risulterebbero almeno decifrabili.
Lo so, imparerò, mi è scappata.
Comunque il problema è interessante per diversi motivi.
Uno, attraverso la massa ridotta si ottiene un moto rettilineo uniforme del centro di massa (un punto di massa ridotta che va verso un punto fisso che ha massa totale M).
La conservazione dell'energia e' particolare in questo caso, poiché in genere non fornisce il tempo (sparisce) ma qui' si ottiene con un po di cinematica.
Uno, attraverso la massa ridotta si ottiene un moto rettilineo uniforme del centro di massa (un punto di massa ridotta che va verso un punto fisso che ha massa totale M).
La conservazione dell'energia e' particolare in questo caso, poiché in genere non fornisce il tempo (sparisce) ma qui' si ottiene con un po di cinematica.
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