Problema forze e vincoli

thedarkhero
Un punto materiale di massa m p soggetto ad una forza $F:RR^3->RR^3$,$F=(0,4y^3,0)$. (Assenza di gravità)
Il punto è vincolato sulla guida circolare di raggio $R$ descritta dall'equazione $P(theta)=(costheta,sintheta,0)$
Cerco la componente tangenziale dei moti dinamicamente possibili.
Innanzitutto essi sono descritti dalla relazione $m(d(theta))/(dt)=F(P(theta))(dP(theta))/(d(theta))$...perchè?

Risposte
cyd1
la componente tangenziale di che? del risultante delle reazioni vincolari?

per quanto riguarda l'ultima relazione, sei sicuro sia corretta? anche dimensionalmente è $Kg*(rad)/s = Kg*m*m/(rad)$ se non sbaglio e se cosi è non ha molto senso..

thedarkhero
La componente tangenziale dell'accelerazione...la dovrei trovare proiettando la forza lungo il versore tangente...ovvero $(0,4sin^3(theta),0)(-sin(theta),cos(theta),0)=4sin^3(theta)cos(theta)$. Ora tutto dovrebbe tornare giusto?

Ora considerando che la circonferenza è unitaria posso identificare con $theta$ la lunghezza d'arco percorsa.
Per risolvere il problema di Cauchy con i dati iniziali $theta(0)=pi/2$ e $dot(theta(0))=sqrt(2)$ ho pensato di utilizzare l'integrale primo energia...notando che $sin^4(theta)$ è primitiva di $4sin^3(theta)cos(theta)$ si ha
$E(theta,dottheta)=1/2dot(theta)^2-sin^4(theta)$
$E(theta(0),dot(theta(0)))=0$ e per il principio di conservazione dell'energia deve quindi essere $1/2dot(theta)^2-sin^4(theta)=0$...ma da qui come ricavo $theta(t)$?

cyd1
eh sulla soluzione di quell'equazione non ti posso aiutare.

ma se devi calcolare la componente tangenziale dell'accelerazione non ti interessa granché $theta(t)$ ti interessa $ddot(s) = R*ddot(theta)$ no?

scomponendo sulle tre direzioni della terna intrinseca avresti:
$m ddot(s) = m r ddot(theta) = phi t + Ft$
$m dot(s)^2/r = m r dot(theta) = phi n + Fn$
$0 = phi b$

dove con $vec(phi)$ ho indicato la reazione vincolare.

per il prinicipio dei lavori virtuali $vec(phi)$ è normale alla guida quindi $phi t = 0$
$r =1$ e $Ft = 4sin^3theta cos theta$ mentre $Fn = -4sin^4 theta$
quindi

$ ddot(s) =ddot(theta) =(4 sin^3theta cos theta)/m $
$ phi n = m dot(theta)^2 + 4sin^4 theta$
$ phi b =0$

in teoria se volevi la componente tangenziale è finita qui..

Sk_Anonymous
Puoi ricavare $dot\theta$ e separare le variabili.

thedarkhero
$1/2dot(theta)^2-sin^4(theta)=0$
$dot(theta)^2=2sin^4(theta)$
$|dot(theta)|=sqrt(2)sin^2(theta)$
ma ora come tolgo il modulo?

Sk_Anonymous
Non è necessario perchè $sin^2\theta$ è positivo.

thedarkhero
Si ma è $dottheta$ che non so se sia positivo o negativo...

Sk_Anonymous
Se ti suona strano che sia per forza positivo, allora quella relazione non è vera.
Ma allora il problema è a monte.

thedarkhero
Scusa ma $|dot(theta)|=sqrt(2)sin^2(theta)$ è equivalente a $dot(theta)=+-sqrt(2)sin^2(theta)$...il segno non è positivo a priori...

Sk_Anonymous
|x| = x se x>0
|x| = -x se x<0
Ma se x non può essere minore di zero, la seconda non si scrive.

thedarkhero
Ah non può essere negativa in quanto è una lunghezza d'arco? Allora sono d'accordo :)
Una volta giunto alla relazione $dot(theta)=sqrt(2)sin^2(theta)$ come dicevi di procedere per individuare $theta(t)$ risolvendo il problema di Cauchy $theta(0)=pi/2$,$theta'(0)=sqrt(2)$?

Sk_Anonymous
Scusa ma mi ero concentrato sulla relazione $|dot(theta)| = sqrt(2)sin^2(theta)$ senza guardare come era stata ricavata.
Non c'è ombra di dubbio che, se $dot(theta)^2 = 2sin^4(theta)$, allora $dot(theta) = +-sqrt(2)sin^2(theta)$.
Quindi $dot(theta)$ può essere sia positiva che nagativa.
La relazione che devi portare avanti è $dot(theta) = +sqrt(2)sin^2(theta)$, in quanto quando $theta = pi/2$ allora $dot(theta) = sqrt(2)$.
A questo punto separi le variabili dtheta/sin^2(theta) = sqrt(2)dt e integri con l'unica condizione $theta(0) = pi/2$.

Sk_Anonymous
Ripeto il messaggio perchè non si capisce l'ultima formula.
Scusa ma mi ero concentrato sulla relazione $|dot\theta| = sqrt(2)sin^2\theta$ senza guardare come era stata ricavata.
Non c'è ombra di dubbio che, se $dot\theta^2 = 2sin^4\theta$, allora $dot\theta = +-sqrt(2)sin^2\theta$.
Quindi $dot\theta\$ può essere sia positiva che nagativa.
La relazione che devi portare avanti è $dot\theta = +sqrt(2)sin^2\theta$, in quanto quando $\theta = pi/2$ allora $dot\theta = sqrt(2)$.
A questo punto separi le variabili $(d\theta)/sin^2\theta = sqrt(2)dt$ e integri con l'unica condizione $\theta(0) = \pi/2$.

thedarkhero
Riguardo il segno + ora mi è chiaro.
Riguardo l'integrazione, una volta separate le variabili...cosa significa con l'unica condizione $theta(0)=pi/2$?

Sk_Anonymous
Scusa ma non riesco a scrivere la formula come vorrei. Riesci a intuire il passaggio matematico dietro l'ultima formula? In caso affermativo, la condizione iniziale su $dot\theta$ è implicita nell'ultima equazione, devi solo imporre quella su $\theta$.

thedarkhero
Sono d'accordo fino al passaggio $d(theta)/sin^2(theta)=sqrt(2)dt$ ma quando integro quali estremi di integrazione impongo?
Integrando a sinistra tra $theta(0)$ e $theta$ e a destra tra $0$ e $t$ ottengo $theta(t)=arctan(sqrt(2)t)$ ma questa non rispetta le condizioni di Cauchy imposte precedentemente...

Sk_Anonymous
Io ottengo la seguente relazione: $cotg\theta = -sqrt(2)t$
Quindi, mediante l'uso di semplici formule goniometriche: $sin\theta = 1/sqrt(1 + 2t^2)$
Invertendo opportunamente quest'ultima relazione, nel rispetto delle condizioni iniziali: $theta(t) = \pi - arcsin(1/sqrt(1 + 2t^2))$
Puoi quindi verificare la bontà della soluzione trovata.

thedarkhero
Sono d'accordo con te fino a $cotg(theta)=-sqrt(2)t$...poi quali formule goniometriche hai usato per procedere?

Sk_Anonymous
Semplicemente $sin\theta = 1/sqrt(1 + cotg^2\theta)$.

thedarkhero
Si arriva allo stesso risultato applicando l'arcocotangente.
Grazie mille, problema risolto! :)

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.