Problema forza elettrica e quantità di moto
Ciao a tutti 
Ho qualche problema con questo esercizio di fisica, qualcuno riesce ad aiutarmi?
Un protone con velocità V0 molto alta passa vicino ad un elettrone in quiete. La distanza di minimo avvicinamento sia a. Si supponga che il protone prosegua indisturbato a causa della differenza di massa. Si tratta di un'azione a distanza dovuta alla forza elettrica fra le due particelle. Si calcoli la variazione della quantità di moto dell'elettrone attraverso il teorema dell'impulso.
La variazione della quantità di moto dipende
1. dalla componente della velocità Vy dache che le componenti Vx dovrebbero compensarsi
2 .dalla distanza delle cariche
3. dall'angolo
Ora credo sia necessario impostare un integrale ma non so dove iniziare
Ho qualche problema con questo esercizio di fisica, qualcuno riesce ad aiutarmi?Un protone con velocità V0 molto alta passa vicino ad un elettrone in quiete. La distanza di minimo avvicinamento sia a. Si supponga che il protone prosegua indisturbato a causa della differenza di massa. Si tratta di un'azione a distanza dovuta alla forza elettrica fra le due particelle. Si calcoli la variazione della quantità di moto dell'elettrone attraverso il teorema dell'impulso.
La variazione della quantità di moto dipende
1. dalla componente della velocità Vy dache che le componenti Vx dovrebbero compensarsi
2 .dalla distanza delle cariche
3. dall'angolo
Ora credo sia necessario impostare un integrale ma non so dove iniziare
Risposte
Ciao, io ho provato a svolgere l'esercizio ma credo di aver preso delle sviste, posto ugualmente per vedere cosa c'è che non va!
Chiamando $t_0$ l'istante di tempo in cui la forza elettrica del protone comincia a fare effetto sull'elettrone e $t_1$ l'istante in cui l'elettrone cessa di risentire di tale forza, si ha dal teorema dell'impulso: \(\Delta \mathbf{p}=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\mathrm dt \).
Chiaramente la forza in questione è quella di Coulomb, cioè $\mathbf{F}=(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r^2)\hat\mathbf{r}$.
Il calcolo tra $t_0$ e $t$ però risulterebbe complicato senza qualche ipotesi aggiuntiva; ad esempio, supponiamo che la velocità $\mathbf{v}=v_0\hat\mathbf{x}$ del protone sia tale per cui nell'intervallo \(\displaystyle \Delta t \) l'elettrone rimanga essenzialmente fermo.
In queste condizioni, considerando le configurazioni del protone nell'intervallo \(\displaystyle xx_e \) la componente lungo $x$ dell'impulso è nulla, mentre quella sull'asse $y$ raddoppia.
Introducendo nell'integrale il cambio di variabili \(\displaystyle t=x/v_0 \) salta quindi fuori che \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\frac{e^2}{2v_0\pi\epsilon_0}\left\{\arctan\frac{a}{v_0t_0}-\arctan\frac{a}{v_0t_1}\right\}, \] dove ho usato il fatto che \(\displaystyle \sin\theta=a/r \) e \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+a^2} \). Il problema evidente è che ponendo $t_0=0$ la soluzione non è definita. Dove sbaglio?
Edit: mi sono accorto di un errore, l'integrale corretto è \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}\mathrm dx=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t_1}{\sqrt{a^2+v_0^2t_1^2}}-\frac{v_0t_0}{\sqrt{a^2+v_0^2t_0^2}}\right\}\underbrace{\Rightarrow}_{\text{se }t_0 \ = \ 0}\Delta \mathbf{p}(t)=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t}{\sqrt{a^2+v_0^2t^2}}\right\}\mathbf{u}_y \] dove $t$ è la durata dell'urto. Adesso però non so se mi è lecito introdurre questo parametro, su cui si basa un po' tutta la mia soluzione
Chiamando $t_0$ l'istante di tempo in cui la forza elettrica del protone comincia a fare effetto sull'elettrone e $t_1$ l'istante in cui l'elettrone cessa di risentire di tale forza, si ha dal teorema dell'impulso: \(\Delta \mathbf{p}=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\mathrm dt \).
Chiaramente la forza in questione è quella di Coulomb, cioè $\mathbf{F}=(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r^2)\hat\mathbf{r}$.
Il calcolo tra $t_0$ e $t$ però risulterebbe complicato senza qualche ipotesi aggiuntiva; ad esempio, supponiamo che la velocità $\mathbf{v}=v_0\hat\mathbf{x}$ del protone sia tale per cui nell'intervallo \(\displaystyle \Delta t \) l'elettrone rimanga essenzialmente fermo.
In queste condizioni, considerando le configurazioni del protone nell'intervallo \(\displaystyle x
Introducendo nell'integrale il cambio di variabili \(\displaystyle t=x/v_0 \) salta quindi fuori che \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\frac{e^2}{2v_0\pi\epsilon_0}\left\{\arctan\frac{a}{v_0t_0}-\arctan\frac{a}{v_0t_1}\right\}, \] dove ho usato il fatto che \(\displaystyle \sin\theta=a/r \) e \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+a^2} \). Il problema evidente è che ponendo $t_0=0$ la soluzione non è definita. Dove sbaglio?
Edit: mi sono accorto di un errore, l'integrale corretto è \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}\mathrm dx=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t_1}{\sqrt{a^2+v_0^2t_1^2}}-\frac{v_0t_0}{\sqrt{a^2+v_0^2t_0^2}}\right\}\underbrace{\Rightarrow}_{\text{se }t_0 \ = \ 0}\Delta \mathbf{p}(t)=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t}{\sqrt{a^2+v_0^2t^2}}\right\}\mathbf{u}_y \] dove $t$ è la durata dell'urto. Adesso però non so se mi è lecito introdurre questo parametro, su cui si basa un po' tutta la mia soluzione
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta
Non ho capito perchè nell'integrale compare 2sinθ
Non ho capito perchè nell'integrale compare 2sinθ
Per la precisione dovrei prendere come estremo superiore $x_1$ il punto di minima distanza dall'elettrone, quindi in realtà il risultato vero e proprio dovrebbe essere \[ \displaystyle \Delta \mathbf{p}=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{x_e}{\sqrt{a^2+x_e^2}}\right\}\mathbf{u}_y; \] Comunque, moltiplicare per il seno è necessario perché sono interessato solo alla componente $y$ della forza (quella lungo $x$ è nulla); il fattore $2$ serve per le ragioni di simmetria di cui dicevo, sto considerando i contributi della forza nel tragitto da \(\displaystyle x_0 \) a \(\displaystyle x_e \), supponendo di considerare un punto di arrivo avente la stessa distanza da $x_e$ di $x_0$. Ripeto, non prendere tutto per oro colato, è solo un mio tentativo di soluzione che spero possa ricevere feedback da qualcuno di più esperto. Infatti, comunque la rigiri il mio approccio ha bisogno di un parametro, sia $t$ o $x_e$, che non viene dato esplicitamente nel testo.
Si può procedere calcolando il seguente integrale:
oppure, più elegantemente, applicando il teorema di Gauss:
$I_(_|_)=2\int_{0}^{+oo}1/(4\pi\epsilon_0)(e^2a)/(x^2+a^2)^(3/2)dx/v_0=$
$=(e^2a)/(2\pi\epsilon_0v_0)\int_{0}^{+oo}(dx)/(x^2+a^2)^(3/2)=$
$=(e^2a)/(2\pi\epsilon_0v_0)[x/(a^2(x^2+a^2)^(1/2))]_{0}^{+oo}=$
$=e^2/(2\pi\epsilon_0v_0a)$
oppure, più elegantemente, applicando il teorema di Gauss:
Sergeant Elias, il tuo calcolo coincide con il mio, salvo prendere l'estremo superiore all'infinito. Non capisco perché tu lo faccia! Me lo puoi spiegare?
Perchè l'ascissa del protone, muovendosi lungo una retta, non è limitata. Allego una seconda risorsa in cui è presente anche un'immagine:
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