Problema fluidi reali

[Mariomar]

Qualcuno che mi aiuta a chiarire un dubbio che ho su questo esercizio?
Il procedimento mi è tutto chiaro, quello che non capisco è il segno del termine RQ, o meglio cosa determina il segno positivo del termine RQ quando il liquido scorre verso l'alto e una differenza di pressione negativa, mentre quando scorre verso il basso si ha la situazione opposta. Grazie a chiunque cercherà di darmi una mano.

[anonymous_0b37e9]

Se il condotto fosse orizzontale:

$[P_1-P_2=(8\etaL)/(\pir^4)\pir^2v_(media)=RQ] ^^ [R=(8\etaL)/(\pir^4)] ^^ [Q=\pir^2v_(media)]$

in cui $P_1$ è la pressione a monte e $P_2$ la pressione a valle, ossia, ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido. Nel caso in esame:

1. Il liquido scorre verso l'alto.

$[P_1=P_A] ^^ [P_2=P_B] rarr [P_A-P_B=RQ]$

1. Il liquido scorre verso il basso.

$[P_1=P_B] ^^ [P_2=P_A] rarr [P_A-P_B=-RQ]$

Poiché il condotto è verticale, non resta che considerare la forza peso.

[Mariomar]

"anonymous_0b37e9":Se il condotto fosse orizzontale:

$[P_1-P_2=(8\etaL)/(\pir^4)\pir^2v_(media)=RQ] ^^ [R=(8\etaL)/(\pir^4)] ^^ [Q=\pir^2v_(media)]$

in cui $P_1$ è la pressione a monte e $P_2$ la pressione a valle, ossia, ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido. Nel caso in esame:

1. Il liquido scorre verso l'alto.

$[P_1=P_A] ^^ [P_2=P_B] rarr [P_A-P_B=RQ]$

1. Il liquido scorre verso il basso.

$[P_1=P_B] ^^ [P_2=P_A] rarr [P_A-P_B=-RQ]$

Poiché il condotto è verticale, non resta che considerare la forza peso.

Quindi, se ho capito bene, nel caso in cui il fluido scorre verso l'alto, consideriamo $ P_A $ come pressione iniziale e $ P_B $ quella finale, quindi quando andiamo a fare il ΔP verrebbe $ P_i $ - $ P_f $ e di conseguenza -ΔP ?

Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?


Ho anche un'altra domanda: nel teorema di Bernoulli modificato per i fluidi reali
$ ΔP+ρg(h_f-h_i)+ 1/2ρ(v_f^2-v_i^2)= -RQ $

perchè il termine RQ è negativo?

[anonymous_0b37e9]

"mars93":
Quindi, se ho capito bene, nel caso in cui il fluido scorre verso l'alto, consideriamo $P_A$ come pressione iniziale e $P_B$ quella finale ...

Affermativo.

"mars93":
Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?

In che senso? La pressione dovuta alla forza peso nella sezione A più in basso è maggiore della pressione dovuta alla forza peso nella sezione B più in alto, indipendentemente dal fatto che il fluido scorra verso l'alto o verso il basso. Proprio per questo motivo, nelle formule sottostanti:

il contributo $\rhogL$ alla differenza $[P_A-P_B]$ ha, in entrambi i casi, lo stesso segno.

"mars93":
... nel teorema di Bernoulli modificato per i fluidi reali ...

Perché scritta in questo modo:

$P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

il pedice $i$ si riferisce alla sezione a monte (iniziale) e il pedice $f$ alla sezione a valle (finale), ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido, la notazione più naturale per intenderci.

[Mariomar]

"anonymous_0b37e9":[quote="mars93"]
Quindi, se ho capito bene, nel caso in cui il fluido scorre verso l'alto, consideriamo $P_A$ come pressione iniziale e $P_B$ quella finale ...

Affermativo.

"mars93":
Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?

In che senso? La pressione dovuta alla forza peso nella sezione A più in basso è maggiore della pressione dovuta alla forza peso nella sezione B più in alto, indipendentemente dal fatto che il fluido scorra verso l'alto o verso il basso. Proprio per questo motivo, nelle formule sottostanti:

il contributo $\rhogL$ alla differenza $[P_A-P_B]$ ha, in entrambi i casi, lo stesso segno.

Intendo, applicando il teorema di Bernoulli
$ ΔP+ρg(h_f-h_i)+ 1/2 ρ (v_f^2-v_i^2)=-RQ $
Visto che le due velocità sono uguali, il termine dell'energia cinetica viene annullato e quindi rimane
$ ΔP=-RQ -ρg(h_f-h_i) $
A questo punto come fa a cambiare di segno il termine dell'energia potenziale?

"mars93":
... nel teorema di Bernoulli modificato per i fluidi reali ...

Perché scritta in questo modo:

$P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

il pedice $i$ si riferisce alla sezione a monte (iniziale) e il pedice $f$ alla sezione a valle (finale), ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido, la notazione più naturale per intenderci.[/quote]

Scusami, non ho capito questo passaggio

[anonymous_0b37e9]

"mars93":
Scusami, non ho capito questo passaggio ...

Veramente, non ho fatto altro che riportare la tua formula e interpretare i pedici che vi compaiono. Mentre tu avevi scritto:

$\DeltaP+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

io ho preferito scrivere:

$P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

Insomma, fin qui non ho fatto assolutamente nulla. Quindi, ho semplicemente aggiunto che il pedice $i$ si riferisce alla sezione a monte (iniziale) e il pedice $f$ alla sezione a valle (finale), ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido. Ad ogni modo, ho l'impressione che tu, affidandoti a delle regole mnemoniche, stia perdendo di vista l'aspetto intuitivo dei contenuti che stai affrontando (senza offesa per carità). Per quale motivo, in quella formula, i pedici possono essere interpretati solo in quel modo? Basta considerare il caso particolare di un condotto orizzontale avente sezione costante:

$[P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ] rarr [P_f-P_i=-RQ] rarr [P_i=P_f+RQ]$

Ora, trattandosi di un fluido reale (gli attriti non sono trascurabili), è piuttosto evidente che, per farlo scorrere, la pressione a monte (iniziale) debba essere maggiore di quella a valle (finale). Quindi, mentre $P_i$ può essere solo la pressione a monte (iniziale), $P_f$ può essere solo la pressione a valle (finale), la notazione più naturale per intenderci. Tuttavia, se quel segno negativo a secondo membro ti infastidisce, nulla vieta che si possa scrivere:

$[P_i-P_f+ρg(h_i-h_f)+1/2ρ(v_i^2-v_f^2)=RQ] rarr [P_i-P_f=RQ] rarr [P_i=P_f+RQ]$

cambiando tutti i segni e mantenendo la stessa convenzione sui pedici, e nulla vieta che si possa addirittura scrivere:

$[P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=RQ] rarr [P_f-P_i=RQ] rarr [P_f=P_i+RQ]$

cambiando segno solo a secondo membro e invertendo la convenzione sui pedici, ossia, considerare $P_f$ la pressione a monte (iniziale) e $P_i$ la pressione a valle (finale), una notazione piuttosto innaturale. Qual è la morale di tutto questo?
Che le notazioni sono uno strumento della fisica e non viceversa.

"mars93":
Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?

Ora dovrebbe essere più chiaro il motivo per cui questa domanda non ha molto senso.

[Mariomar]

"anonymous_0b37e9":[quote="mars93"]
Scusami, non ho capito questo passaggio ...

Veramente, non ho fatto altro che riportare la tua formula e interpretare i pedici che vi compaiono. Mentre tu avevi scritto:

$\DeltaP+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

io ho preferito scrivere:

$P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ$

Insomma, fin qui non ho fatto assolutamente nulla. Quindi, ho semplicemente aggiunto che il pedice $i$ si riferisce alla sezione a monte (iniziale) e il pedice $f$ alla sezione a valle (finale), ordinate rispetto al verso di scorrimento del fluido. Ad ogni modo, ho l'impressione che tu, affidandoti a delle regole mnemoniche, stia perdendo di vista l'aspetto intuitivo dei contenuti che stai affrontando (senza offesa per carità). Per quale motivo, in quella formula, i pedici possono essere interpretati solo in quel modo? Basta considerare il caso particolare di un condotto orizzontale avente sezione costante:

$[P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=-RQ] rarr [P_f-P_i=-RQ] rarr [P_i=P_f+RQ]$

Ora, trattandosi di un fluido reale (gli attriti non sono trascurabili), è piuttosto evidente che, per farlo scorrere, la pressione a monte (iniziale) debba essere maggiore di quella a valle (finale). Quindi, mentre $P_i$ può essere solo la pressione a monte (iniziale), $P_f$ può essere solo la pressione a valle (finale), la notazione più naturale per intenderci. Tuttavia, se quel segno negativo a secondo membro ti infastidisce, nulla vieta che si possa scrivere:

$[P_i-P_f+ρg(h_i-h_f)+1/2ρ(v_i^2-v_f^2)=RQ] rarr [P_i-P_f=RQ] rarr [P_i=P_f+RQ]$

cambiando tutti i segni e mantenendo la stessa convenzione sui pedici, e nulla vieta che si possa addirittura scrivere:

$[P_f-P_i+ρg(h_f-h_i)+1/2ρ(v_f^2-v_i^2)=RQ] rarr [P_f-P_i=RQ] rarr [P_f=P_i+RQ]$

cambiando segno solo a secondo membro e invertendo la convenzione sui pedici, ossia, considerare $P_f$ la pressione a monte (iniziale) e $P_i$ la pressione a valle (finale), una notazione piuttosto innaturale. Qual è la morale di tutto questo?
Che le notazioni sono uno strumento della fisica e non viceversa.

"mars93":
Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?

Ora dovrebbe essere più chiaro il motivo per cui questa domanda non ha molto senso.[/quote]


Scusami, forse mi sono espresso male io. I vari passaggi che mi hai spiegato credo di averli capiti, e proprio perchè vorrei cercare di rendere le cose meno mnemoniche possibile che sto cercando di capire questa cosa. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
Ad ogni modo, cerco di spiegarmi meglio. Il mio dubbio viene dalla slide che ho postato all'inizio, quando riporta come soluzione del problema ΔP= -RQ- Δ EP/V (che sarebbe ρgL), a cui si giunge applicando il teorema di Benoulli modificato per i fluidi reali
ΔP+ρgL+ $ 1/2ρ(v_f^2-v_i^2) $ = -RQ
visto che il condotto ha sezione costante le due velocità saranno uguali e quindi il termine dell'energia cinetica viene annullato, rimanendo
ΔP=-RQ-ρgL
quello che non capisco è come fa quel -ρgL a diventare +ρgL quando andiamo a calcolare il ΔP. Stessa cosa per -RQ.
(Nel caso in cui il liquido scorre verso l'alto, abbiamo un ΔP negativo, quindi forse questo fa cambiare di segno gli altri termini? Ma nel caso in cui il liquido scorre verso il basso?)
Grazie mille per la pazienza

[anonymous_0b37e9]

Come hai giustamente scritto, se la sezione è costante:

$[P_f-P_i+\rhog(h_f-h_i)+1/2\rho(v_f^2-v_i^2)=-RQ] ^^ [v_i=v_f] rarr$

$rarr [P_f-P_i+\rhog(h_f-h_i)=-RQ] rarr$

$rarr [P_f-P_i=-\rhog(h_f-h_i)-RQ]$

l'ultima relazione di cui sopra è senz'altro corretta, assumendo la convenzione naturale sui pedici dei messaggi precedenti. Se si vuole scrivere anche nel seguente modo:

$[\DeltaP=-(\DeltaE_p)/V-RQ]$

è necessario che:

$[\DeltaP=P_f-P_i] ^^ [\DeltaE_p=mg(h_f-h_i)]$

Se il liquido scorre verso l'alto:

$[\DeltaP=P_f-P_i]$ è la differenza di pressione tra la sezione ad altezza maggiore e la sezione ad altezza minore

$[\DeltaE_p=mg(h_f-h_i) gt 0]$

$[RQ gt 0]$

e i due contributi a $[\DeltaP=P_f-P_i lt 0]$ sono, giustamente, entrambi negativi. Inoltre:

$[P_A=P_i] ^^ [P_B=P_f] ^^ [L=h_f-h_i] rarr$

$rarr [P_A-P_B=P_i-P_f=-\DeltaP=(\DeltaE_p)/V+RQ=\rhogL+RQ]$

Se il liquido scorre verso il basso:

$[\DeltaP=P_f-P_i]$ è la differenza di pressione tra la sezione ad altezza minore e la sezione ad altezza maggiore

$[\DeltaE_p=mg(h_f-h_i) lt 0]$

$[RQ gt 0]$

e solo il primo contributo a $[\DeltaP=P_f-P_i gt 0]$ è, giustamente, positivo. Inoltre:

$[P_B=P_i] ^^ [P_A=P_f] ^^ [L=h_i-h_f] rarr$

$rarr [P_A-P_B=P_f-P_i=\DeltaP=-(\DeltaE_p)/V-RQ=\rhogL-RQ]$

proprio perché $[L=h_i-h_f]$.

"mars93":
Nel caso del condotto verticale, dobbiamo considerare negativa h?

Solo adesso, avendo fatto tutti i passaggi, posso immaginare che cosa intendessi. Non si tratta di considerare h negativa, piuttosto:

Quando il liquido scorre verso l'alto: $[L=h_f-h_i]$

Quando il liquido scorre verso il basso: $[L=h_i-h_f]$

Ora, onestamente parlando, non ti sembra che tutto ciò faccia perdere di vista i pochi concetti fisici rilevanti?

[Mariomar]

Esatto, intendevo proprio questo. La cosa che probabilmente mi ha mandato in tilt è che mentre nel caso delle pressioni abbiamo appunto due pressioni da considerare, nel caso dell'altezza il problema fornisce direttamente il valore della lunghezza, non di due altezze separate (non so se mi sono spiegato). Hai ragione, ma ormai mi ero impantanato in questa cosa e non riuscivo più ad uscirne. Ad ogni modo ti ringrazio davvero per avermi dedicato del tempo.

[anonymous_0b37e9]

"mars93":
... nel caso dell'altezza il problema fornisce direttamente il valore della lunghezza, non di due altezze separate (non so se mi sono spiegato).

Non hai tutti i torti. Ho capito perfettamente.