Problema flessione, facile ma i numeri non quadrano
Allora ecco il testo:
Si abbiano due cilindri, l'uno e di raggio r e l'altro cavo con raggio esterno ed interno pari rispettivamente a a=2r e b=3/2r. Se entrambi i cilindri sopportano lo stesso carico, applicato perpendicolarmente ai loro assi, quanto vale il rapporto dei relativi raggi di curvatura sotto carico ?
Allora stante che Ti=momento interno: Ia= momento d'inerzia areolare e R= raggio di curvatura, mentre r = normale raggio.
Stante anche che per comodità attribuisco a r valore unitario pari a 1m e che chiamo cilindro 1 quello di raggio = r = 1m.
Ho applicato la seguente formula\(\displaystyle Ti= 1°( E *Ia/R ) = 2° ( E* Ia/R ). \) Stante che E ( modulo di young ) è comune a entrambi si può elidere ed ottenere \(\displaystyle 1° cilindro Ia/R = 2° cil. Ia/R \) e dunque Ia \(\displaystyle 1°/ Ia 2° = R 1°/ R 2° \) che è la soluzione al nostro problema.
Procediamo ora con la parte numerica calcolando i momenti d'inerzia areolari:
1°) \(\displaystyle Ia = pigreco * r^4/4 = 3,14 *1m^4 /4 = 0,78 m^4 \)
2° ) essendo cavo si ha \(\displaystyle Ia = pigreco * ( r est.^4 - r.int^4-) / 4 =>> 3,14 * 2^4 : 3/2 ^4 /4 = 6 >>> 3,14 * 81/4 = 63,585 \)
A questo punto chiudo rifacendomi alla formula di sopra statuendo che il rapporto tra il Ia del primo rispetto al secondo é uguale al rapporto tra il raggio di curvatura del primo sempre rispetto al secondo.
E dunque \(\displaystyle 0,785/63,585 = 0,012 \) che dovrebbe essere il rapporto tra i due raggi di curvatura (R). Il mio libro dice invece che il risultato é \(\displaystyle Rpieno/Rvuoto = 0,0914 \).
@navigatore, se capiti sulla pagina dacci un'occhiata. é uno degli esercizi contrassegnati dalla prof come degni di particolare attenzione, mi inquieta che non esce. il ragionamento mi sembra perfetto
Si abbiano due cilindri, l'uno e di raggio r e l'altro cavo con raggio esterno ed interno pari rispettivamente a a=2r e b=3/2r. Se entrambi i cilindri sopportano lo stesso carico, applicato perpendicolarmente ai loro assi, quanto vale il rapporto dei relativi raggi di curvatura sotto carico ?
Allora stante che Ti=momento interno: Ia= momento d'inerzia areolare e R= raggio di curvatura, mentre r = normale raggio.
Stante anche che per comodità attribuisco a r valore unitario pari a 1m e che chiamo cilindro 1 quello di raggio = r = 1m.
Ho applicato la seguente formula\(\displaystyle Ti= 1°( E *Ia/R ) = 2° ( E* Ia/R ). \) Stante che E ( modulo di young ) è comune a entrambi si può elidere ed ottenere \(\displaystyle 1° cilindro Ia/R = 2° cil. Ia/R \) e dunque Ia \(\displaystyle 1°/ Ia 2° = R 1°/ R 2° \) che è la soluzione al nostro problema.
Procediamo ora con la parte numerica calcolando i momenti d'inerzia areolari:
1°) \(\displaystyle Ia = pigreco * r^4/4 = 3,14 *1m^4 /4 = 0,78 m^4 \)
2° ) essendo cavo si ha \(\displaystyle Ia = pigreco * ( r est.^4 - r.int^4-) / 4 =>> 3,14 * 2^4 : 3/2 ^4 /4 = 6 >>> 3,14 * 81/4 = 63,585 \)
A questo punto chiudo rifacendomi alla formula di sopra statuendo che il rapporto tra il Ia del primo rispetto al secondo é uguale al rapporto tra il raggio di curvatura del primo sempre rispetto al secondo.
E dunque \(\displaystyle 0,785/63,585 = 0,012 \) che dovrebbe essere il rapporto tra i due raggi di curvatura (R). Il mio libro dice invece che il risultato é \(\displaystyle Rpieno/Rvuoto = 0,0914 \).
@navigatore, se capiti sulla pagina dacci un'occhiata. é uno degli esercizi contrassegnati dalla prof come degni di particolare attenzione, mi inquieta che non esce. il ragionamento mi sembra perfetto
Risposte
Cris, io dò volentieri un'occhiata, ma mi pare che tu ci abbia preso gusto...E poi non dovresti rivolgerti a me, chiunque voglia rispondere è libero di farlo...
Ad ogni modo, questioni formali a parte, ti dò qualche dritta.
Nello studio delle travi inflesse si arriva a definire " l'equazione differenziale della linea elastica" : se vuoi divertirti, dà un'occhiata qui :
http://www.polihelp.com/materie/Scienza ... astica.pdf
La derivata seconda che compare nella (14) è la "curvatura" della trave, inverso del raggio di curvatura (chiedo scusa a chi ne sa più di me, parlo in maniera elementare perché cris studia Medicina, non Ingegneria), cioè :
$(d^2y)/(dx^2) = 1/R $ .
Quindi si può scrivere per le due travi :
1) trave 1 : $ 1/R_1 = - M/(EI_1)$ ------(1)
1) trave 2 : $ 1/R_2 = - M/(EI_2)$ ------(2)
Facendo il rapporto membro a membro tra (1) e (2) , si vede che a parità di momento flettente $M$ e di modulo di elasticità $E$ risulta :
$R_2/R_1 = I_2/I_1 $ ------(3)
La (3) significa che più grande è il momento di inerzia più grande è il raggio di curvatura, cioè più piccola è la curvatura ( che è inversa del raggio R) .
E questo è anche intuitivo : maggiore è il momento di inerzia della sezione trasversale della trave, meno la trave si presta a incurvarsi per effetto di uno stesso momento flettente.
Perciò il tuo ragionamento è corretto.
Però io non mi metto a fare i calcoli, scusami Cris. Se non ti trovi coi risultati, hai sbagliato qualche conto nel calcolare i momenti di inerzia delle due sezioni, quella circolare piena e quella a " corona circolare". Ma il principio è giusto.
Un'altra cosa: hai un modo di scrivere le formule che non è standard e fa venire il mal di testa!
Ora so perché le ricette dei medici non si capiscono mai! Vi addestrano fin da studenti a scrivere in una certa maniera...
Ti prego di scrivere le formule nella maniera che si conviene.
Ad ogni modo, questioni formali a parte, ti dò qualche dritta.
Nello studio delle travi inflesse si arriva a definire " l'equazione differenziale della linea elastica" : se vuoi divertirti, dà un'occhiata qui :
http://www.polihelp.com/materie/Scienza ... astica.pdf
La derivata seconda che compare nella (14) è la "curvatura" della trave, inverso del raggio di curvatura (chiedo scusa a chi ne sa più di me, parlo in maniera elementare perché cris studia Medicina, non Ingegneria), cioè :
$(d^2y)/(dx^2) = 1/R $ .
Quindi si può scrivere per le due travi :
1) trave 1 : $ 1/R_1 = - M/(EI_1)$ ------(1)
1) trave 2 : $ 1/R_2 = - M/(EI_2)$ ------(2)
Facendo il rapporto membro a membro tra (1) e (2) , si vede che a parità di momento flettente $M$ e di modulo di elasticità $E$ risulta :
$R_2/R_1 = I_2/I_1 $ ------(3)
La (3) significa che più grande è il momento di inerzia più grande è il raggio di curvatura, cioè più piccola è la curvatura ( che è inversa del raggio R) .
E questo è anche intuitivo : maggiore è il momento di inerzia della sezione trasversale della trave, meno la trave si presta a incurvarsi per effetto di uno stesso momento flettente.
Perciò il tuo ragionamento è corretto.
Però io non mi metto a fare i calcoli, scusami Cris. Se non ti trovi coi risultati, hai sbagliato qualche conto nel calcolare i momenti di inerzia delle due sezioni, quella circolare piena e quella a " corona circolare". Ma il principio è giusto.
Un'altra cosa: hai un modo di scrivere le formule che non è standard e fa venire il mal di testa!
Ora so perché le ricette dei medici non si capiscono mai! Vi addestrano fin da studenti a scrivere in una certa maniera...
Ti prego di scrivere le formule nella maniera che si conviene.
Beh l'importante é che il principio é giusto 
i conti li farò controllare poi al prof
deh scusami se mi faccio controllare passo passo. purtroppo ho appena passato il test e visto che fisica é il mio terrore vorrei farmela tutta prima di cominciare l'università (siamo a metà ) cosi ci vado più rilassato, potrei anche scrivere al prof. ma sembrerei un lecchino tremendo e si potrebbe pure arrabbiare che gli chiedo cose ancor prima che cominci il suo corso.
Beh avevo scritto a te, perché rispondi sempre tu e a "lavorare" sempre con la medesima persona mi trovo meglio.
p.s. vedrò da impararmi a scrivere le formule come dici tu che almeno ti vengo incontro.
p.p.s.
Cmq beh, se si va avanti cosi a fine programma mi mandi il tuo indirizzo di casa che ti mando una bottiglia
i conti li farò controllare poi al prof "navigatore":
Cris, io dò volentieri un'occhiata, ma mi pare che tu ci abbia preso gusto...E poi non dovresti rivolgerti a me, chiunque voglia rispondere è libero di farlo...
Ti prego di scrivere le formule nella maniera che si conviene.
deh scusami se mi faccio controllare passo passo. purtroppo ho appena passato il test e visto che fisica é il mio terrore vorrei farmela tutta prima di cominciare l'università (siamo a metà ) cosi ci vado più rilassato, potrei anche scrivere al prof. ma sembrerei un lecchino tremendo e si potrebbe pure arrabbiare che gli chiedo cose ancor prima che cominci il suo corso.
Beh avevo scritto a te, perché rispondi sempre tu e a "lavorare" sempre con la medesima persona mi trovo meglio.
p.s. vedrò da impararmi a scrivere le formule come dici tu che almeno ti vengo incontro.
p.p.s.
Cmq beh, se si va avanti cosi a fine programma mi mandi il tuo indirizzo di casa che ti mando una bottiglia
Sono astemio Cris.
Mandami qualche scatolo di integratori di vitamine e minerali, piuttosto, chè mi fai lavorare un sacco.
Mandami qualche scatolo di integratori di vitamine e minerali, piuttosto, chè mi fai lavorare un sacco.
Comunque ho controllato i calcoli: il risultato del tuo libro è giusto.
Cerchio pieno : $I_p = \pi*r^4/4 $
Corona circolare : $I_c = \pi (a^4 - b^4)/4 = 175/16 * \pi*r^4/4$
PErtanto : $I_c/I_p = 16/175 = 0.0914 $
Cerchio pieno : $I_p = \pi*r^4/4 $
Corona circolare : $I_c = \pi (a^4 - b^4)/4 = 175/16 * \pi*r^4/4$
PErtanto : $I_c/I_p = 16/175 = 0.0914 $
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