Problema Fisica II:Corrente e periodo
Buongiorno a tutti, frequento il corso di Fisica II presso la facoltà di ingegneria della sapienza e mi è capitato questo esercizio in cui c'è un passaggio per il quale sto scervellandomi senza capirne la logica.
Vi espongo il testo:
Sulla superficie di un disco circolare sottile di raggio \(\displaystyle a \) è posta una carica uniforme \(\displaystyle Q \). Il disco ruota con frequenza \(\displaystyle f \)
intorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del disco.
1) Si calcoli il valore del campo magnetico \(\displaystyle H \) lungo l’asse di rotazione, in un punto \(\displaystyle z>>a \).
Se il disco ruota e scelgo una terna cartesiana immobile con origine \(\displaystyle O \) nel centro della circonferenza superficiale vedo scorrere una corrente \(\displaystyle I=\frac{dq}{dt}\). E fino a qua ci arrivo. Ora guardando la soluzione del problema mi dice che tale corrente è : \(\displaystyle I=\frac{dq}{T}\), dove \(\displaystyle T \) è il periodo di rotazione del disco. Intuitivamente riesco a capirlo, però se qualcuno avesse una spiegazione più dettagliata sarebbe bene accetta.
Grazie
Vi espongo il testo:
Sulla superficie di un disco circolare sottile di raggio \(\displaystyle a \) è posta una carica uniforme \(\displaystyle Q \). Il disco ruota con frequenza \(\displaystyle f \)
intorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del disco.
1) Si calcoli il valore del campo magnetico \(\displaystyle H \) lungo l’asse di rotazione, in un punto \(\displaystyle z>>a \).
Se il disco ruota e scelgo una terna cartesiana immobile con origine \(\displaystyle O \) nel centro della circonferenza superficiale vedo scorrere una corrente \(\displaystyle I=\frac{dq}{dt}\). E fino a qua ci arrivo. Ora guardando la soluzione del problema mi dice che tale corrente è : \(\displaystyle I=\frac{dq}{T}\), dove \(\displaystyle T \) è il periodo di rotazione del disco. Intuitivamente riesco a capirlo, però se qualcuno avesse una spiegazione più dettagliata sarebbe bene accetta.
Grazie
Risposte
La formula per trovare il campo è
$B=(mu_0iR^2)/(2(z^2+R^2)^(3/2)$
dobbiamo trovare una espressione per $di$
La carica $dq$ compresa in una corona circolare tra $r$ e $r+dr$ è
$dq=sigma2pirdr$
Puoi immaginarti questa carica come una serie di palline che escono da un sacco ad intervalli regolari. Dopo quanto tempo tempo queste palline saranno uscite tutte quante dal sacco? Dopo un tempo $T$ (periodo di rotazione del disco).
Potresti idealmente fare un segno sul disco e uno sopra il disco (che resta fermo). La quantità di carica che passa attraverso il segno è quella segnata in nero in questa figura
Dopo un tempo $t_1$ non passa una quantità di carica $dq$ come puoi vedere dal disegno, ma solo una frazione della stessa. Solo dopo $T$ passa la carica $dq$
Naturalmente non sei vincolato a scegliere la carica $dq$ che ti ho scritto. Potresti prenderne la metà e allora anche il tempo sarebbe $T/2$.
$B=(mu_0iR^2)/(2(z^2+R^2)^(3/2)$
dobbiamo trovare una espressione per $di$
La carica $dq$ compresa in una corona circolare tra $r$ e $r+dr$ è
$dq=sigma2pirdr$
Puoi immaginarti questa carica come una serie di palline che escono da un sacco ad intervalli regolari. Dopo quanto tempo tempo queste palline saranno uscite tutte quante dal sacco? Dopo un tempo $T$ (periodo di rotazione del disco).
Potresti idealmente fare un segno sul disco e uno sopra il disco (che resta fermo). La quantità di carica che passa attraverso il segno è quella segnata in nero in questa figura
Dopo un tempo $t_1$ non passa una quantità di carica $dq$ come puoi vedere dal disegno, ma solo una frazione della stessa. Solo dopo $T$ passa la carica $dq$
Naturalmente non sei vincolato a scegliere la carica $dq$ che ti ho scritto. Potresti prenderne la metà e allora anche il tempo sarebbe $T/2$.
Quindi la quantità di carica \(\displaystyle dq \) che consideriamo è quella relativa ad una corona circolare infinitesima di spessore \(\displaystyle dr \)? Io pensavo fosse la carica infinitesima singola sul disco, puntiforme per capirci. Grazie mille sei stato molto chiaro, ora continuo a ragionarci sopra e vedo di rimediare all'incomprensione.
"dario989":
Quindi la quantità di carica \(\displaystyle dq \) che consideriamo è quella relativa ad una corona circolare infinitesima di spessore \(\displaystyle dr \)?
Si è proprio così.
In realtà tu puoi prendere qualsiasi elemento infinitesimo $dq$, non per forza la carica contenuta in una corona circolare $dr$. In quel caso troverai che la corrente è sempre la stessa ma dovrai usare un tempo $dt$ diverso.
Perché si sceglie proprio la carica sulla corona e il tempo $T$ allora? Molto semplicemente perché è la scelta più comoda e rende tutti i calcoli molto facili: non è più giusta o più sbagliata di altre.
Io pensavo fosse la carica infinitesima singola sul disco, puntiforme per capirci
Se hai una distribuzione di carica non puoi prendere una carica puntiforme per fare l'integrale. Alla fine stai facendo un integrale di superficie e ti serve un piccolo elemento di questa superficie, ad esempio il $dq$ che abbiamo preso. Infatti si ha
$dq=sigmadSigma$ dove $Sigma$ è la superficie del disco. Ripeto: avresti potuto prendere un altro elemento diverso, ma pur sempre di superficie deve essere (non puntiforme).
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