Problema fisica generale:moto variamente accelerato
Salve a tutti.
Mi ritrovo a dover risolvere un problema di fisica all'apparenza semplice che mi tiene occupato da un paio di ore.
Ho una macchina che accelera con a (accelerazione) variabile. Devo calcolare la velocità media.
MI vengono fornite le velocità in due traguardi sia temporali che spaziali:dunque ho un traguardo dopo 3 secondi a 2.5 metri dalla partenza con velocità 11 m/s e un secondo a 385 metri, 20 secondi e 45 m/s di velocità. il moto è rettilineo. Calcolando la velocità media classica ho un risultato di circa 19 m/s ma la soluzione mi propone 21 m/s. Allora ho pensato di muovermi con gli integrali, ponendo a=kt con t(tempo) e k(costante di proporzionalità tra a e t). Ma non riesco a giungere alla soluzione, vengono velocità vicine ai 30/40 m/s...aiutatemi!
GRazie.
Mi ritrovo a dover risolvere un problema di fisica all'apparenza semplice che mi tiene occupato da un paio di ore.
Ho una macchina che accelera con a (accelerazione) variabile. Devo calcolare la velocità media.
MI vengono fornite le velocità in due traguardi sia temporali che spaziali:dunque ho un traguardo dopo 3 secondi a 2.5 metri dalla partenza con velocità 11 m/s e un secondo a 385 metri, 20 secondi e 45 m/s di velocità. il moto è rettilineo. Calcolando la velocità media classica ho un risultato di circa 19 m/s ma la soluzione mi propone 21 m/s. Allora ho pensato di muovermi con gli integrali, ponendo a=kt con t(tempo) e k(costante di proporzionalità tra a e t). Ma non riesco a giungere alla soluzione, vengono velocità vicine ai 30/40 m/s...aiutatemi!
GRazie.
Risposte
Ciao roggia,
forse non ho capito il problema... l'intero percorso è lungo $2,5m+385m=387,5m$? Ed è stato percorso in un tempo di $3s+20s=23s$?
Oppure l'intero percorso è quello dell'ultimo traguardo e l'ultimo tempo è quello complessivo?
Poi le velocità che riporti non sono quelle medie dei due tratti, saranno le velocità finali?
forse non ho capito il problema... l'intero percorso è lungo $2,5m+385m=387,5m$? Ed è stato percorso in un tempo di $3s+20s=23s$?
Oppure l'intero percorso è quello dell'ultimo traguardo e l'ultimo tempo è quello complessivo?
Poi le velocità che riporti non sono quelle medie dei due tratti, saranno le velocità finali?
le velocità sono quelle rilevata a quelli che possiamo definire check-point.Il percorso totale è lungo 385 metri e il tempo finale è di 20 secondi.(scusa se non mi ero spiegato bene).
Allora non ci son santi la velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impegato $v_m=385/20 m/s=19.25 m/s$. Alternative non ne vedo proprio.
Eppure il risultato del libro è di 21 m/s...io con gli integrali ho anche ricavato una equazione per la velocità, che include il k della accelerazione e il tempo al quadrato...ma sostituendo il tempo=20 secondi non risulta 21 m/s....
Per favore puoi dire da che libro è stato preso questo problema, oppure copiarne qui il testo esatto?
Copio il testo dal Giancoli volume 1:
un'auto che si muove in linea retta parte dalla posizione x=0 al tempo t=0. Passa dal punto x=2.5m con una velocità di 11 m/s al tempo t=3 s. Passa al punto x=385 m con una velocità di 45 m/s al tempo t=20 s. Trovare velocità media e l'accelerazione media tra t=3 s e t=20 s.
Ora mi sta venendo il dubbio che anche la velocità media sia da calcolare nell'intervallo 3-20...però il risultato non torna ugualmente. La seconda richiesta dell'accelerazione risulta perfetta, la velocità non torna.
un'auto che si muove in linea retta parte dalla posizione x=0 al tempo t=0. Passa dal punto x=2.5m con una velocità di 11 m/s al tempo t=3 s. Passa al punto x=385 m con una velocità di 45 m/s al tempo t=20 s. Trovare velocità media e l'accelerazione media tra t=3 s e t=20 s.
Ora mi sta venendo il dubbio che anche la velocità media sia da calcolare nell'intervallo 3-20...però il risultato non torna ugualmente. La seconda richiesta dell'accelerazione risulta perfetta, la velocità non torna.
Non credere che i libri siano stampati perfettamente. La velocità e l'accelerazione media come ti è stato detto e come gia saprai sono rispettivamente cosi definite
\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{2 cm}a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
quindi se i calcoli "non tornano" non è colpa tua.
Aggiungo inoltre che comunque ti è stata fornita anche la velocità iniziale \(v_{0}=0\). Infatti il testo dice che l'auto parte dall'origine e non passa dall'origine.
\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{2 cm}a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
quindi se i calcoli "non tornano" non è colpa tua.
Aggiungo inoltre che comunque ti è stata fornita anche la velocità iniziale \(v_{0}=0\). Infatti il testo dice che l'auto parte dall'origine e non passa dall'origine.
Il testo dice esplicitamente che la velocità media va trovata nell'intervallo tra 3 e 20, ma c'è sicuramente un errore. Non si può calcolare la velocità media di un moto uniformemente accelerato, perché è sbagliato fare la media delle singole velocità ogni secondo dell'intervallo di tempo: cioè, non si può fare la media delle velocità medie. Si può calcolare, invece, in un moto uniforme. Neppure con la definizione di velocità $v=s/t$ si può fare.
Il testo vuole sicuramente intendere qualcos'altro.
Il testo vuole sicuramente intendere qualcos'altro.
LucaM guarda che il testo non afferma in nessun punto che il moto sia uniformemente accelerato. Poi cosa vuol dire fare la media delle singole velocità? Quelle fornite dal testo sono tutte velocità istantanee.
Non è per caso che sia $x=25 \ m$ invece di $x=2.5 \ m$?
"Cuspide83":
LucaM guarda che il testo non afferma in nessun punto che il moto sia uniformemente accelerato. Poi cosa vuol dire fare la media delle singole velocità? Quelle fornite dal testo sono tutte velocità istantanee.
Ma sicuramente non è uniforme...
E infatti quando hai calcolato l'accelerazione e ti è venuto $2 m/s^2$,(se hai fatto così...) non hai fatto altro che trattare il moto come un moto uniformemente accelerato, perché se così non fosse avresti dovuto dare più valori, in quanto il moto non avrebbe aumentato costantemente la velocità di due metri al secondo per ogni unità di tempo.
"LucaM":
Non si può calcolare la velocità media di un moto uniformemente accelerato
Come no? E la definizione
\[\vec{v}_{m}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\]
la cancelliamo da tutti i libri di scuola?
"LucaM":
E infatti quando hai calcolato l'accelerazione e ti è venuto $ 2 m/s^2 $,(se hai fatto così...) non hai fatto altro che trattare il moto come un moto uniformemente accelerato
Io ho calcolato \(a_{m}=2\frac{m}{s^{2}}\) senza trattare il moto come uniformemente accelerato... infatti come ho e hanno gia scritto, è sufficiente visto che i dati lo consentono utilizzare semplicemente le definizioni opportune
\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{2 cm}a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
L'errore che come si pensava fosse da attribuire alla stampa, lo ha infatti trovato chiaraotta nel suo ultimo post.
La velocità o accelerazione media non va confusa con il valor medio delle velocità istantanee.
Se io dico che in un certo intervallo di tempo in cui la velocità iniziale è $11m/s$ e quella finale $45m/s$ si ha un accelerazione di $2m/s^2$, significa che ogni secondo la velocità aumenta di $2 m/s$ costantemente, infatti se fai due calcoli ottieni esattamente i dati che avevi:
$t$ ...... $0$ ..... $1$ ....... $2$ ......... $3$
$v$ ..... $11 m/s$ $13 m/s$ $15 m/s$ $17 m/s$ ....
E così via. Un ragionamento analogo ma non uguale lo si fa per le velocità.
Ora, a me hanno insegnato così, poi se ci sono libri che tralasciano questi particolari e considerano l'accelerazione media con la formula classica indipendentemente dal tipo di moto, può anche darsi .
Se io dico che in un certo intervallo di tempo in cui la velocità iniziale è $11m/s$ e quella finale $45m/s$ si ha un accelerazione di $2m/s^2$, significa che ogni secondo la velocità aumenta di $2 m/s$ costantemente, infatti se fai due calcoli ottieni esattamente i dati che avevi:
$t$ ...... $0$ ..... $1$ ....... $2$ ......... $3$
$v$ ..... $11 m/s$ $13 m/s$ $15 m/s$ $17 m/s$ ....
E così via. Un ragionamento analogo ma non uguale lo si fa per le velocità.
Ora, a me hanno insegnato così, poi se ci sono libri che tralasciano questi particolari e considerano l'accelerazione media con la formula classica indipendentemente dal tipo di moto, può anche darsi .
L'accelerazione media si può ricavare, anche se il moto non è uniformemente accelerato a mio avviso. Dunque assunto che anche la velocità media sia da calcolare nell'intervallo 3-20 secondi,dite che l'utilizzo degli integrali non possano aiutarmi in nessun modo? proverò anche a calcolare con 25 metri invece che 2.5...vediamo cosa risulta. Anticipatamente ringrazio tutti coloro che mi stanno aiutando.
il testo era errato, errore di stampa. Come detto in precedenza da qualcuno di voi il risultato si ottiene se il primo check point si raggiunge a 25 metri e non 2.5 metri. Grazie infinite!!!
"LucaM":
Ora, a me hanno insegnato così, poi se ci sono libri che tralasciano questi particolari e considerano l'accelerazione media con la formula classica indipendentemente dal tipo di moto, può anche darsi .
Secondo il tuo ragionamento (cioè che la velocità media cambia struttura a seconda del tipo di moto) in autostrada i TUTOR non dovrebbero funzionare. Perchè come fanno a calcolare questa velocità se non conoscono il moto dell'auto durante il tratto osservato (visto che le traiettorie e le combinazioni di accelerazioni sono infinite)?
Questo ti fa capire che purtroppo (senza alcuna polemica) non conosci la teoria, e il problema è che con queste risposte confondi anche altri. Ti dimostro partendo "al contrario" (di solito si arriva alla velocità istantanea partendo da quella media) le mie ragioni
\[\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{r}-\vec{r}_{0}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{v}dt}=\vec{v}_{m}(t-t_{0})\]
\[\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{v}-\vec{v}_{0}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{a}dt}=\vec{a}_{m}(t-t_{0})\]
Queste relazioni sono state ottenute partendo dalle definizioni di velocità/accelerazione istantanea senza alcun riferimento al tipo di moto.
Se la presentazione di Luca è veritiera, dovrebbe frequentare la II liceo scientifico. Gli integrali credo che si spieghino in V.
"Cuspide83":
[quote="LucaM"]
Ora, a me hanno insegnato così, poi se ci sono libri che tralasciano questi particolari e considerano l'accelerazione media con la formula classica indipendentemente dal tipo di moto, può anche darsi .
Secondo il tuo ragionamento (cioè che la velocità media cambia struttura a seconda del tipo di moto) in autostrada i TUTOR non dovrebbero funzionare. Perchè come fanno a calcolare questa velocità se non conoscono il moto dell'auto durante il tratto osservato (visto che le traiettorie e le combinazioni di accelerazioni sono infinite)?
Questo ti fa capire che purtroppo (senza alcuna polemica) non conosci la teoria, e il problema è che con queste risposte confondi anche altri. Ti dimostro partendo "al contrario" (di solito si arriva alla velocità istantanea partendo da quella media) le mie ragioni
\[\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{r}-\vec{r}_{0}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{v}dt}=\vec{v}_{m}(t-t_{0})\]
\[\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\vec{v}-\vec{v}_{0}=\int^{t}_{t_{0}}{\vec{a}dt}=\vec{a}_{m}(t-t_{0})\]
Queste relazioni sono state ottenute partendo dalle definizioni di velocità/accelerazione istantanea senza alcun riferimento al tipo di moto.[/quote]
Vorrei solo farti notare (se non mi hai ancora incontrato nel forum) che sono in seconda liceo, e pertanto se mi metti gli integrali io non ci capisco niente; io parlo dal principio ovvero da ciò che si svolge alle basi della cinematica e da ciò il concetto da te espresso è sbagliato, poi posso capire che esistano modelli matematici più avanzati come quelli dei tutor o ragionamenti di altro livello come quelli qui utilizzati che possono smentire la mia affermazione; evidentemente, come avevo già pensato, quei ragionamenti che intendevo io non dovrebbero nemmeno essere menzionati e per questo mi scuso.
Mi scuso con LucaM per l'argomento matematico trattato, ma non ho visto la sua presentazione 
Comunque ribadisco senza alcuna polemica il fatto che un bel ripasso sia opportuno.
Comunque ribadisco senza alcuna polemica il fatto che un bel ripasso sia opportuno.
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