Problema fisica- corpo rigido
Qualcuno può dare un'occhiata al mio ragionamento per vedere se è giusto?
Un disco omogeneo di massa $M_1=15kg$ e raggio $R_1=0.24m$ si trova su un piano orizzontale scambro con coefficiente di attrito stato $\mu=0.125$. Sul disco è avvolta un filo inestensibile di massa trascurabile come in figura che collega il primo disco a un secondo disco di massa $M_2=25 kg$ e raggio $R_2 =0.36m$ che ruota intorno a un'asse fisso .Un momento motore è applicato al secondo disco . Determinare il massimo valore del momento affinché il corpo rotoli senza strisciare.
Ho seguito questo tipo di ragionamento:
La condizione affinché rotoli senza strisciare è $A<\mu*N$ scrivo allora le due equazioni cardinali per il primo e per il secondo disco e ho che sul primo disco c'è $ { ( Ma1=T-A ),( N=P_1),( I*\alpha = -R_1(T+A)):} $ , mentre sul secondo $ { ( Ma2=-T),( N_2=P_2 ),( I*\alpha_2= B-TR ):} $
A questo punto sfrutto le condizioni cinematiche del rotolamento puro per cui $a=\alpha*R$, e $a_2=2a_1$ considerando che la fune è legata nel punto più alto del primo disco.
Risolvo il sistema e trovo che $a=-B/R (1/M_1+6M_2+M_1/2+M_2)$. sostituisco tutto nell'espressione dell'attrito e trovo che $B<20 N*m$.
Non avendo il risultato vorrei un confronto con voi esperti, vi ringrazio per l'attenzione.
Un disco omogeneo di massa $M_1=15kg$ e raggio $R_1=0.24m$ si trova su un piano orizzontale scambro con coefficiente di attrito stato $\mu=0.125$. Sul disco è avvolta un filo inestensibile di massa trascurabile come in figura che collega il primo disco a un secondo disco di massa $M_2=25 kg$ e raggio $R_2 =0.36m$ che ruota intorno a un'asse fisso .Un momento motore è applicato al secondo disco . Determinare il massimo valore del momento affinché il corpo rotoli senza strisciare.
Ho seguito questo tipo di ragionamento:
La condizione affinché rotoli senza strisciare è $A<\mu*N$ scrivo allora le due equazioni cardinali per il primo e per il secondo disco e ho che sul primo disco c'è $ { ( Ma1=T-A ),( N=P_1),( I*\alpha = -R_1(T+A)):} $ , mentre sul secondo $ { ( Ma2=-T),( N_2=P_2 ),( I*\alpha_2= B-TR ):} $
A questo punto sfrutto le condizioni cinematiche del rotolamento puro per cui $a=\alpha*R$, e $a_2=2a_1$ considerando che la fune è legata nel punto più alto del primo disco.
Risolvo il sistema e trovo che $a=-B/R (1/M_1+6M_2+M_1/2+M_2)$. sostituisco tutto nell'espressione dell'attrito e trovo che $B<20 N*m$.
Non avendo il risultato vorrei un confronto con voi esperti, vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Non mi pare che ci siamo.
Mi sembra che per te il secondo disco a dx si muove, ma in realta' e' fermo.
Per il disco a destra valgono le seguenti equazioni (T tensione della corda , F Forza d'attrito)
$2TR_1=3/2m_1R_1^2ddottheta_1$ (1)
$F+T=m_1R_1ddottheta_1$
Elimini il $ddottheta_1$ e ottieni che $F=1/3T$. Quindi la tensione massima per non slittare e' $T=3mum_1g$
Per il secondo disco, detta C la coppia
$C-TR_2=m_2R_2^2/2ddottheta_2$ (2)
E per le condizioni cinematiche $ddottheta_2=[2R_1}/R_2ddottheta_1$
$ddottheta_1$ la trovi dall'equazione (1):
$ddottheta_1=4/3(TR_1)/(m_1R_1^2)=4/3(3mum_1gR_1)/(m_1R_1^2)=(4mug)/(R_1)$
Quindi la (2) diventa:
$C-3mum_1gR_2=m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2ddottheta_1$ ovvero, per sostituzione
$C-3mum_1gR_2=m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2(4mug)/(R_1)$
Da cui
$C=3mum_1gR_2+m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2(4mug)/(R_1)=3m_1mugR_2+4m_2mugR_2=(3m_1+4m_2)mugR_2$
che e' circa $64Nm$.
Mi sembra che per te il secondo disco a dx si muove, ma in realta' e' fermo.
Per il disco a destra valgono le seguenti equazioni (T tensione della corda , F Forza d'attrito)
$2TR_1=3/2m_1R_1^2ddottheta_1$ (1)
$F+T=m_1R_1ddottheta_1$
Elimini il $ddottheta_1$ e ottieni che $F=1/3T$. Quindi la tensione massima per non slittare e' $T=3mum_1g$
Per il secondo disco, detta C la coppia
$C-TR_2=m_2R_2^2/2ddottheta_2$ (2)
E per le condizioni cinematiche $ddottheta_2=[2R_1}/R_2ddottheta_1$
$ddottheta_1$ la trovi dall'equazione (1):
$ddottheta_1=4/3(TR_1)/(m_1R_1^2)=4/3(3mum_1gR_1)/(m_1R_1^2)=(4mug)/(R_1)$
Quindi la (2) diventa:
$C-3mum_1gR_2=m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2ddottheta_1$ ovvero, per sostituzione
$C-3mum_1gR_2=m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2(4mug)/(R_1)$
Da cui
$C=3mum_1gR_2+m_2R_2^2/2[2R_1}/R_2(4mug)/(R_1)=3m_1mugR_2+4m_2mugR_2=(3m_1+4m_2)mugR_2$
che e' circa $64Nm$.
Grazie prof, sempre disponibile!!
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