Problema fisica
salve potete aiutarmi a realizzare i grafici di v(x) e a(x) di un punto materiale che si muove su di un piano inclinato attaccato ad una molla partendo da alcune variabili di input che sono:
posizione iniziale, velocità iniziale, costante elastica, massa, angolo di inclinazione del piano.
a
da non contare i dati contenuti nel disegno, a me servono le formule ed i passaggi generali per calcolare v(x) e a(x) .
posizione iniziale, velocità iniziale, costante elastica, massa, angolo di inclinazione del piano.
a
da non contare i dati contenuti nel disegno, a me servono le formule ed i passaggi generali per calcolare v(x) e a(x) .
Risposte
cfr. la mia risposta alla tua altra questione http://www.matematicamente.it/forum/problema-fisica-piano-inclinato-e-molla-t92700.html
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx+mgsin(30°) \)
\(\displaystyle x(0)=x_0 \)
\(\displaystyle \frac{dx(0)}{dt}=v_0 \)
ora devi risolvere l'equazione differenziale...
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx+mgsin(30°) \)
\(\displaystyle x(0)=x_0 \)
\(\displaystyle \frac{dx(0)}{dt}=v_0 \)
ora devi risolvere l'equazione differenziale...
puoi spiegare per favore i passaggi e le leggi/principi utilizzati
"seifer85":
puoi spiegare per favore i passaggi e le leggi/principi utilizzati
L'asse x è parallello con il piano inclinato
Appliciamo la seconda legge di Newton
\(\displaystyle F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2} \)
Forze sono qui:
forza della molla: \(\displaystyle -kx \)
forza della gravità: \(\displaystyle mgsin(30°) \)
Dunque
\(\displaystyle
m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx+mgsin(30°) \)
Ciao
per prima cosa dividi tutto per $m$ e ti trovi un'equazione differenziale di secondo grado a coefficienti costanti non omogenea
$x'' +k/m x = 1/2 g$
per comodità nei calcoli successivi indico $k/m = a$ e $1/2 g =b$
ottenendo
$x'' +ax=b$
a questo punto devi risolvere prima l'omogenea associata quindi
$x'' +ax=0$ che ti porta ad un'equivalente algebrica $\lambda^2+a=0 \Rightarrow \lambda_(1,2) = \pm i\sqrt{a}$
Avendo che le soluzioni dell'algebrica sono due complessi coniugati (quindi nella forma $p\pm qi$) avrai che la soluzione dell'omogenea associata sarà nella forma $x_p = e^(px)(A sin(qx) + Bcos(qx)) $
quindi nel tuo caso $x_p = A sin(qx) + Bcos(qx) $ con $A$ e $B$ da determinare in seguito
abbiamo quindi trovato il cosiddetto "integrale generale" adesso dobbiamo trovare l'"integrale particolare" dato del fattore non omogeneo e poi sommare i due integrali per ottenere la soluzione completa
il tuo fattore non omogeneo è $f(x) = b$ ovvero un costante , dicasi anche un polinomio di grado $0$. Dato che $b$ non è soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata avrai che l'integrale particolare dovrà essere un polinomio $P(x)$ dello stesso grado di $f(x)$, quindi una costante ovvero $P(x) = k$ con $k$ da determinare
l'integrale particolare appena trovato deve essere soluzione dell'equazione differenziale originaria quindi se sostituiamo $P(x)$ e le sue opportune derivate al posto di $x$ nella prima equazione, quest'ultima deve rimanere verificata.
essendo $P(x)$ una costante è facile calcolare che $P''(x) = 0$ quindi sostituendo abbiamo
$P'(x)' +aP(x)=b$ ovvero $ak=b \Rightarrow k = b/a$ che è proprio il tuo integrale particolare
quindi la soluzione completa della tua equazione sarà la somma dell'integrale generale trovato prima e quello particolare trovato adesso quindi
$x = A sin(qx) + Bcos(qx) + b/a$
ora con le condizioni iniziali devi determinarti $A$ e $B$
per prima cosa dividi tutto per $m$ e ti trovi un'equazione differenziale di secondo grado a coefficienti costanti non omogenea
$x'' +k/m x = 1/2 g$
per comodità nei calcoli successivi indico $k/m = a$ e $1/2 g =b$
ottenendo
$x'' +ax=b$
a questo punto devi risolvere prima l'omogenea associata quindi
$x'' +ax=0$ che ti porta ad un'equivalente algebrica $\lambda^2+a=0 \Rightarrow \lambda_(1,2) = \pm i\sqrt{a}$
Avendo che le soluzioni dell'algebrica sono due complessi coniugati (quindi nella forma $p\pm qi$) avrai che la soluzione dell'omogenea associata sarà nella forma $x_p = e^(px)(A sin(qx) + Bcos(qx)) $
quindi nel tuo caso $x_p = A sin(qx) + Bcos(qx) $ con $A$ e $B$ da determinare in seguito
abbiamo quindi trovato il cosiddetto "integrale generale" adesso dobbiamo trovare l'"integrale particolare" dato del fattore non omogeneo e poi sommare i due integrali per ottenere la soluzione completa
il tuo fattore non omogeneo è $f(x) = b$ ovvero un costante , dicasi anche un polinomio di grado $0$. Dato che $b$ non è soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata avrai che l'integrale particolare dovrà essere un polinomio $P(x)$ dello stesso grado di $f(x)$, quindi una costante ovvero $P(x) = k$ con $k$ da determinare
l'integrale particolare appena trovato deve essere soluzione dell'equazione differenziale originaria quindi se sostituiamo $P(x)$ e le sue opportune derivate al posto di $x$ nella prima equazione, quest'ultima deve rimanere verificata.
essendo $P(x)$ una costante è facile calcolare che $P''(x) = 0$ quindi sostituendo abbiamo
$P'(x)' +aP(x)=b$ ovvero $ak=b \Rightarrow k = b/a$ che è proprio il tuo integrale particolare
quindi la soluzione completa della tua equazione sarà la somma dell'integrale generale trovato prima e quello particolare trovato adesso quindi
$x = A sin(qx) + Bcos(qx) + b/a$
ora con le condizioni iniziali devi determinarti $A$ e $B$
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