Problema fisica 2 - lastre conduttrici

[ingegnè]

Buonasera a tutti, non riesco proprio a capire come impostare questo problema : http://img252.imageshack.us/img252/3392/fisica2.png .
Tra le due lastre c'è una certa densità di carica $ rho $ , ma quella $ rho_0 $ da dove salta fuori? e cosa rappresenta? Inoltre.. essendo le lastre a diretto contatto con questa densità di carica uniforme, queste non dovrebbero caricarsi positivamente internamente e negativamente all'esterno delle lastre? Ma se fosse cosi' il campo sarebbe diverso da zero all'interno delle lastre stesse.. e questo mi sembra molto improbabile. Sapete aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Si può interpretare come la densità di carica calcolata per $[x=a]$:

$[rho(x)=rho_0/ax] rarr [rho(a)=rho_0]$

Inoltre:

$[(dE)/(dx)=rho_0/(epsilon_0a)x] rarr [E(x)=rho_0/(2epsilon_0a)x^2+E_0]$

$\{(sigma_SDeltaS+sigma_DDeltaS+\int_{-a}^{2a}rho_0/axDeltaSdx=0),(E(-a)=sigma_S/epsilon_0),(E(2a)=sigma_D/epsilon_0):} rarr \{(sigma_S+sigma_D+(3rho_0a)/2=0),((rho_0a)/(2epsilon_0)+E_0=sigma_S/epsilon_0),((2rho_0a)/epsilon_0+E_0=sigma_D/epsilon_0):} rarr$

$rarr \{((rho_0a)/2+epsilon_0E_0+2rho_0a+epsilon_0E_0+(3rho_0a)/2=0),((rho_0a)/(2epsilon_0)+E_0=sigma_S/epsilon_0),((2rho_0a)/epsilon_0+E_0=sigma_D/epsilon_0):} rarr \{(E_0=-(2rho_0a)/epsilon_0),(sigma_S=-(3rho_0a)/2),(sigma_D=0):}$

$[E_0=-(2rho_0a)/epsilon_0] rarr [E(x)=rho_0/(2epsilon_0a)(x^2-4a^2)]$

Lascio a te la conclusione dell'esercizio.

[ingegnè]

Ciao speculor e grazie per la risposta.

"speculor":$[(dE)/(dx)=rho_0/(epsilon_0a)x] rarr [E(x)=rho_0/(2epsilon_0a)x^2+E_0]$

Quel $ (dE)/dx = rho_0/(epsilon_0a) * x $ lo trovi dalla legge di gauss in forma differenziale giusto? Non ho capito pero' come trovi $ E(x) $.. E quel " $ +E_0 $ " da dove salta fuori? Non l' ho ben capito se puoi spiegarmelo te ne sarei grato.

"speculor":$\{(sigma_SDeltaS+sigma_DDeltaS+\int_{-a}^{2a}rho_0/axDeltaSdx=0),(E(-a)=sigma_S/epsilon_0),(E(2a)=sigma_D/epsilon_0):}$

In questo sistema invece hai scritto il campo tra $ a $ e $ 0 $, e tra $ 0 $ e $ 2a $ , $ sigma_S $ e $ sigma_D $ sono le densità di carica delle lastre? Infine hai scritto questa relazione $ sigma_SDeltaS+sigma_DDeltaS+int_{-a}^{2a}rho_0/axDeltaSdx=0 $ .. Praticamente il significato di questa espressione è che la somma delle cariche è zero? Cioè la somma della carica presente sulle lastre piu' quella presente nello spazio tra le lastre deve essere uguale a 0? Non mi è chiara (anche) questa cosa..

[Sk_Anonymous]

$[(dE)/(dx)=rho_0/(epsilon_0a)x] rarr [E(x)=rho_0/(2epsilon_0a)x^2+E_0]$

Mediante il teorema della divergenza in una dimensione, è possibile scrivere e risolvere questa equazione differenziale. Avendo la derivata, devi semplicemente determinarne la primitiva definita a meno di una costante additiva arbitraria. In questo caso, essendo $[E(0)=E_0]$, la costante additiva arbitraria rappresenta il campo calcolato per $[x=0]$. In ogni modo, sono abbastanza sorpreso della tua richiesta di un'ulteriore spiegazione di questo passaggio. Sono argomenti matematici che dovresti sapere per affrontare l'esame.



$\{(sigma_SDeltaS+sigma_DDeltaS+\int_{-a}^{2a}rho_0/axDeltaSdx=0),(E(-a)=sigma_S/epsilon_0),(E(2a)=sigma_D/epsilon_0):}$

Come tutte le equazioni differenziali del primo ordine, è necessario determinare la costante arbitraria dalla quale dipende la soluzione. A tale scopo, è necessario imporre una condizione al contorno. Siccome la regione di spazio è limitata dalle lastre conduttrici, considerando la superficie chiusa di Gauss rappresentata in figura, il flusso del campo è evidentemente nullo. Per il teorema di Gauss deve essere nulla la carica totale racchiusa dalla superficie medesima. Come hai notato, la prima equazione del sistema riflette questa condizione, avendo calcolato la carica volumetrica integrando la densità di carica volumetrica tra le due lastre. Infine, esprimendo le due densità superficiali di carica mediante il teorema di Coulomb e utilizzando la soluzione ottenuta in precedenza, è possibile risolvere il sistema ed ottenere $[E_0]$, $[sigma_S]$ e $[sigma_D]$. Un'ultima cosa. Da come ti sei espresso, mi sembra che consideri costante il campo per $[-a

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[ingegnè]

Ti ringrazio.. ho capito che questo esercizio ancora non potevo svolgerlo da solo..

"speculor":In ogni modo, sono abbastanza sorpreso della tua richiesta di un'ulteriore spiegazione di questo passaggio. Sono argomenti matematici che dovresti sapere per affrontare l'esame.

il problema è che sto facendo fisica 2 ma ancora il programma di analisi 2 non è finito ( e secondo me bisognerebbe finire prima analisi 2 e non fare contemporaneamente analisi 2 e fisica 2.. ).. siamo agli integrali ancora di equazioni differenziali non ne abbiamo parlato quindi per questo ho fatto quelle domande apparentemente ovvie Comunque ho imparato qualcosa di nuovo, grazie per l 'aiuto!

[Sk_Anonymous]

"speculor":
$[(dE)/(dx)=rho_0/(epsilon_0a)x] rarr [E(x)=rho_0/(2epsilon_0a)x^2+E_0]$

Si tratta del caso più semplice, non è necessario studiare le equazioni differenziali in generale. Si risolve utilizzando il concetto di integrale indefinito, argomento di Analisi 1.