Problema Fisica 1
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con questo esercizio.
Si consideri un punto $P$ sul bordo di un disco di raggio $R$ che ruota intorno al centro $C$ del disco con velocità angolare $ω$ e trasla parallelamente al suolo con velocità $v=-0,42ωR$. Determinare il rapporto $ρ$$/R$ essendo $ρ$ il raggio di curvatura della traiettoria del punto $P$ quando è massima la sua distanza dal suolo.
Non so come procedere. Qualcuno può darmi solo uno spunto?
Grazie in anticipo
Si consideri un punto $P$ sul bordo di un disco di raggio $R$ che ruota intorno al centro $C$ del disco con velocità angolare $ω$ e trasla parallelamente al suolo con velocità $v=-0,42ωR$. Determinare il rapporto $ρ$$/R$ essendo $ρ$ il raggio di curvatura della traiettoria del punto $P$ quando è massima la sua distanza dal suolo.
Non so come procedere. Qualcuno può darmi solo uno spunto?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao, non sono sicurissimo ma mi risulta $(1+0.42)^2$, circa $2$.
Hai il risultato dell'esercizio?
Hai il risultato dell'esercizio?
Ciao, il risultato è $3,33*10^-1$
Vero, ho sbagliato io.
Comunque l'ho impostato così. Supponendo che all'istante $t=0$ il centro del disco sia nel punto $(0,R)$, che il disco ruoti in verso antiorario e che trasli verso destra, per le coordinate di $P$ hai:
(1) $x(t)=R*cos omega t+0.42 omega R *t$ ,
(2) $y(t)=R+R sin omega t$ ;
il punto è alla massima distanza dal suolo quando $y=2R Rightarrow sin omega t=1$ e $cos omega t=0$ ;
mettendo nel raggio di curvatura della traiettoria: $rho(t)=[(x'(t))^2+(y'(t))^2]^(3/2)/(x'(t)*y''(t)-x''(t)*y'(t))$
le derivate prime e seconde delle (1) e (2) calcolate per $sin omega t=1$ e $cos omega t=0$ a me risulta $rho=R*(1-0.42)^2 approx 0.336R$ .
Comunque l'ho impostato così. Supponendo che all'istante $t=0$ il centro del disco sia nel punto $(0,R)$, che il disco ruoti in verso antiorario e che trasli verso destra, per le coordinate di $P$ hai:
(1) $x(t)=R*cos omega t+0.42 omega R *t$ ,
(2) $y(t)=R+R sin omega t$ ;
il punto è alla massima distanza dal suolo quando $y=2R Rightarrow sin omega t=1$ e $cos omega t=0$ ;
mettendo nel raggio di curvatura della traiettoria: $rho(t)=[(x'(t))^2+(y'(t))^2]^(3/2)/(x'(t)*y''(t)-x''(t)*y'(t))$
le derivate prime e seconde delle (1) e (2) calcolate per $sin omega t=1$ e $cos omega t=0$ a me risulta $rho=R*(1-0.42)^2 approx 0.336R$ .
Avevo pensato di risolverlo in modo più banale (ma evidentemente è sbagliato 
).
Considero, nell'istante in cui P è sulla cima della ruota, l'atto di moto rotatorio del sistema e ne cerco il centro di rotazione istantaneo. Il centro di rotazione del sistema è il punto O che ha velocità nulla. Ora, cercando questo punto O lungo il raggio verticale passante per P, sia \(\displaystyle d \) la distanza di O dal centro del disco. Considerando la composizione della velocità, la condizione di velocità nulla è data da
\(\displaystyle 0,42\omega R=\omega d \) da cui \(\displaystyle d=0,42R \)
Ora, il raggio \(\displaystyle \rho \) cercato è la distanza di P da O e cioè \(\displaystyle \rho = R-d=(1-0,42)R=0,58R \)
Ho provato a trovare il punto O anche definendolo come l'intersezione di due rette passanti per due punti qualsiasi del disco e perpendicolari alle velocità dei punti stessi, ottenendo lo stesso risultato (ho preso P ed il punto sull'estremo sinistro del disco).
Ma la formula del raggio del cerchio osculatore pare non lasci scampo...
Qualcuno sa spiegarmi perché il metodo usato da me è sbagliato?
Aggiungo una immagine esplicativa (orribile...)
).Considero, nell'istante in cui P è sulla cima della ruota, l'atto di moto rotatorio del sistema e ne cerco il centro di rotazione istantaneo. Il centro di rotazione del sistema è il punto O che ha velocità nulla. Ora, cercando questo punto O lungo il raggio verticale passante per P, sia \(\displaystyle d \) la distanza di O dal centro del disco. Considerando la composizione della velocità, la condizione di velocità nulla è data da
\(\displaystyle 0,42\omega R=\omega d \) da cui \(\displaystyle d=0,42R \)
Ora, il raggio \(\displaystyle \rho \) cercato è la distanza di P da O e cioè \(\displaystyle \rho = R-d=(1-0,42)R=0,58R \)
Ho provato a trovare il punto O anche definendolo come l'intersezione di due rette passanti per due punti qualsiasi del disco e perpendicolari alle velocità dei punti stessi, ottenendo lo stesso risultato (ho preso P ed il punto sull'estremo sinistro del disco).
Ma la formula del raggio del cerchio osculatore pare non lasci scampo...
Qualcuno sa spiegarmi perché il metodo usato da me è sbagliato?
Aggiungo una immagine esplicativa (orribile...)
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