Problema Esame universitario di Fisica (1 anno)
Buonasera. Vorrei un confronto su un problema che mi è stato dato quest'oggi nell'esame di Fisica I
Ora la traccia del problema non la ricordo a memoria, però trattava di una sbarra omogenea in movimento orizzontalmente con velocità costante v0 che colpisce su un suo estremo una pallina ferma. mi chiedeva di calcolare (in simboli si suppone, dato che non vi erano dati) il moto della sbarra e della pallina. La pallina è colpita "centralmente", quindi non vi sono angolazioni nel suo moto post-urto. Grazie!
Ora la traccia del problema non la ricordo a memoria, però trattava di una sbarra omogenea in movimento orizzontalmente con velocità costante v0 che colpisce su un suo estremo una pallina ferma. mi chiedeva di calcolare (in simboli si suppone, dato che non vi erano dati) il moto della sbarra e della pallina. La pallina è colpita "centralmente", quindi non vi sono angolazioni nel suo moto post-urto. Grazie!
Risposte
Questo è come lo risolverei io, da studente che deve dare fisica 1 (Quindi non ti assicuro che sia corretto )
Prima dell'urto, la sbarra viaggia a velocità costante $V_0$ senza ruotare attorno al suo centro di massa.
Durante l'urto, nel punto di contatto tra pallina e sbarra, si esercitano delle forze impulsive ortogonali all'asta, queste forze impulsive sono responsabili della variazione del momento lineare della pallina e della variazione del momento angolare e del momento lineare della sbarra
Dopo l'urto: La pallina avrà acquisito una certa velocità lineare $v$ parallela a $V_o$, la sbarra avrà una velocità lineare $V$ del suo centro di massa (sempre parallela a $V_0$) e una certa velocità angolare $omega$ attorno al suo centro di massa.
Pertanto si conservano momento lineare, energia cinetica e momento angolare del sistema prima e dopo l'urto.
Sia $M$ la massa della sbarra, $m$ quella della pallina, $2L$ la lunghezza della sbarra, si ha:
$MV_0=MV+mv$ (conservazione del momento lineare)
$1/2MV_0^2=1/2MV^2+1/2mv^2+1/2Iomega^2$ (conservazione dell'energia cinetica)
Istantaneamente prima dell'urto, il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa della sbarra è zero, infatti la pallia è ferma e il momento lineare della sbarra ha distanza nulla dal centro di massa. Istantaneamente dopo l'urto, la sbarra avrà acquisito una velocità angolare omega, e la pallina una velocità lineare v, e il centro di massa della sbarra avrà acquisito una certa velocità lineare che però continua a mantenere distanza nulla dal centro, pertanto, il momento angolare subito dopo l'urto è dato dalla somma di $Iomega$ (momento angolare dell'asta) e $mvL$ (momento angolare della pallina), al cui somma deve fare zero, e quindi in valore assoluto vale $Iomega=mvL$, questa è la terza equazione che sommata alle precedenti due forma un sistema di tre equazioni in tre incognite che risolto determina il moto del sistema.
Prima dell'urto, la sbarra viaggia a velocità costante $V_0$ senza ruotare attorno al suo centro di massa.
Durante l'urto, nel punto di contatto tra pallina e sbarra, si esercitano delle forze impulsive ortogonali all'asta, queste forze impulsive sono responsabili della variazione del momento lineare della pallina e della variazione del momento angolare e del momento lineare della sbarra
Dopo l'urto: La pallina avrà acquisito una certa velocità lineare $v$ parallela a $V_o$, la sbarra avrà una velocità lineare $V$ del suo centro di massa (sempre parallela a $V_0$) e una certa velocità angolare $omega$ attorno al suo centro di massa.
Pertanto si conservano momento lineare, energia cinetica e momento angolare del sistema prima e dopo l'urto.
Sia $M$ la massa della sbarra, $m$ quella della pallina, $2L$ la lunghezza della sbarra, si ha:
$MV_0=MV+mv$ (conservazione del momento lineare)
$1/2MV_0^2=1/2MV^2+1/2mv^2+1/2Iomega^2$ (conservazione dell'energia cinetica)
Istantaneamente prima dell'urto, il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa della sbarra è zero, infatti la pallia è ferma e il momento lineare della sbarra ha distanza nulla dal centro di massa. Istantaneamente dopo l'urto, la sbarra avrà acquisito una velocità angolare omega, e la pallina una velocità lineare v, e il centro di massa della sbarra avrà acquisito una certa velocità lineare che però continua a mantenere distanza nulla dal centro, pertanto, il momento angolare subito dopo l'urto è dato dalla somma di $Iomega$ (momento angolare dell'asta) e $mvL$ (momento angolare della pallina), al cui somma deve fare zero, e quindi in valore assoluto vale $Iomega=mvL$, questa è la terza equazione che sommata alle precedenti due forma un sistema di tre equazioni in tre incognite che risolto determina il moto del sistema.
Mi son dimenticato di dire che la massa della sbarra è uguale a quella del corpo. Non dovrebbe fermarsi la sbarra e assumere solamente velocità angolare?
Eh no, in quel caso avresti che la pallina assume velocità uguale a quella della sbarra prima dell'urto, ma in questo caso si conserverebbe il momento lineare ma non l'energia cinetica, infatti nella seconda equazione che ho scritto vedi che a destra c'è anche il termine $1/2Iomega^2$, se $v=V_0$ e $V=0$, avremmo $omega=0$ e non si conserverebbe il momento angolare, dato dalla terza equazione, che implicherebbe $v=omega=V_0=0$, assurdo 
Quando l'urto avviene tra corpi rigidi, bisogna sempre ricordare che oltre alla quantità di moto si deve conservare anche il momento angolare, forse hai dimenticato questo.
In pratica, una sbarra che viene urtata da una pallina non nel suo centro di massa, non potrà mai avere velocità lineare nulla dopo l'urto.
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