Problema elettrostatica sfera e guscio
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto nella risoluzione di questa problema di Fisica 2. Non ho ben chiaro come si calcola la differenza di potenziale tra sfere e in particolare come si calcola tra due punti random. Ecco il testo:
Una sfera conduttrice di raggio R1= 5 cm è carica con Q1= 10^-10 C. Un guscio sferico, pure conduttore, concentrico alla sfera, avente raggio interno R2= 10 cm e raggio esterno R3 (incognito), è caricato con carica Q2= 10 Q1. Nell'ipotesi che il sistema sia nel vuoto, calcolare:
- il valore di R3, sapendo che la differenza di potenziale fra un punto A a distanza d2= 16 cm (esterno al guscio) e un punto B a distanza d1= 6 cm dal centro del sistema vale VB-VA= 8 V.
- le densità di carica superficiali $ sigma 1, sigma 2, sigma 3 $ sulle superfici dei conduttori;
- la differenza di potenziale tra i due conduttori considerati;
- l'espressione del potenziale V1 della sfera di raggio R1, ponendo uguale a zero il potenziale all'infinito.
Aiutandomi con un altro esercizio sono arrivato a scrivere quanto segue:
La carica sulla superficie esterna del guscio vale: Qext= Q1 + Q2 = 11 Q1
Il campo elettrico in funzione di r vale:
r < R1, E=0
R1 $ <= $ r $ <= $ R2, E= Q1 / 4 $ Pi epsilon $ r^2
R2 $ <= $ r $ <= $ R3, E=0
r > R3, E= Qext / 4 $ Pi epsilon $ r^2
Il potenziale elettrico in funzione di r ponendo il potenziale all'infinito pari a zero vale:
0 $ <= $ r $ <= $ R1, V= V(R1)
R1 $ <= $ r $ <= $ R2, V= (Q1 / 4 $ Pi epsilon $ ) (1/r - 1/R2) + V(R3)
R2 $ <= $ r $ <= $ R3, V= V(R3)
r $ >= $ R3, V= Qext / 4 $ Pi epsilon $ r
Detto questo, non so bene come usare queste informazioni per completare i punti 1, 3, e 4.
Il punto due credo sia:
$ sigma 1 $ = Q1 / 4 $ pi $ R1^2
$ sigma 1 $ = -Q1 / 4 $ pi $ R2^2
$ sigma 1 $ = Qext / 4 $ pi $ R3^2
Grazie, spero nel vostro aiuto.
Una sfera conduttrice di raggio R1= 5 cm è carica con Q1= 10^-10 C. Un guscio sferico, pure conduttore, concentrico alla sfera, avente raggio interno R2= 10 cm e raggio esterno R3 (incognito), è caricato con carica Q2= 10 Q1. Nell'ipotesi che il sistema sia nel vuoto, calcolare:
- il valore di R3, sapendo che la differenza di potenziale fra un punto A a distanza d2= 16 cm (esterno al guscio) e un punto B a distanza d1= 6 cm dal centro del sistema vale VB-VA= 8 V.
- le densità di carica superficiali $ sigma 1, sigma 2, sigma 3 $ sulle superfici dei conduttori;
- la differenza di potenziale tra i due conduttori considerati;
- l'espressione del potenziale V1 della sfera di raggio R1, ponendo uguale a zero il potenziale all'infinito.
Aiutandomi con un altro esercizio sono arrivato a scrivere quanto segue:
La carica sulla superficie esterna del guscio vale: Qext= Q1 + Q2 = 11 Q1
Il campo elettrico in funzione di r vale:
r < R1, E=0
R1 $ <= $ r $ <= $ R2, E= Q1 / 4 $ Pi epsilon $ r^2
R2 $ <= $ r $ <= $ R3, E=0
r > R3, E= Qext / 4 $ Pi epsilon $ r^2
Il potenziale elettrico in funzione di r ponendo il potenziale all'infinito pari a zero vale:
0 $ <= $ r $ <= $ R1, V= V(R1)
R1 $ <= $ r $ <= $ R2, V= (Q1 / 4 $ Pi epsilon $ ) (1/r - 1/R2) + V(R3)
R2 $ <= $ r $ <= $ R3, V= V(R3)
r $ >= $ R3, V= Qext / 4 $ Pi epsilon $ r
Detto questo, non so bene come usare queste informazioni per completare i punti 1, 3, e 4.
Il punto due credo sia:
$ sigma 1 $ = Q1 / 4 $ pi $ R1^2
$ sigma 1 $ = -Q1 / 4 $ pi $ R2^2
$ sigma 1 $ = Qext / 4 $ pi $ R3^2
Grazie, spero nel vostro aiuto.
Risposte
Qualcuno riesce a darmi delle indicazioni? Vi ringrazio 
Per distribuzioni superficiali di carica il potenziale è una funzione continua. Quindi:
$[r lt R_1] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1]$
$[R_1 lt r lt R_2] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r]$
$[R_2 lt r lt R_3] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[r gt R_3] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
Per svolgere l'ultimo punto giova sottolineare che:
$[lim_(r->+oo)V=-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[r lt R_1] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1]$
$[R_1 lt r lt R_2] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r]$
$[R_2 lt r lt R_3] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[r gt R_3] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
Per svolgere l'ultimo punto giova sottolineare che:
$[lim_(r->+oo)V=-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
"anonymous_0b37e9":
Per distribuzioni superficiali di carica il potenziale è una funzione continua. Quindi:
$ [r lt R_1] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1] $
$ [R_1 lt r lt R_2] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r] $
$ [R_2 lt r lt R_3] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2] $
$ [r gt R_3] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2] $
Per svolgere l'ultimo punto giova sottolineare che:
$ [lim_(r->+oo)V=-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2] $
Grazie per la tua risposta, pensavo di procedere in questa maniera sostituendo i valori Ra ed Rb per il primo punto:
$ V_A=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_A-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2 $
$ V_B=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_B $
$ 8=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_B-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_A+1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3-1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2 $ per cui $ R_3 $ mi viene circa 15 cm.
Invece per l'ultimo punto, l'equazione da te scritta è quella definitiva per risolvere il quesito? Cioè:
$ V_oo-V_1=-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2 $
da cui:
$ V_1=+1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2 $
Grazie
"Mimmo189":
... pensavo di procedere in questa maniera sostituendo ...
Il procedimento è senz'altro corretto.
"Mimmo189":
Invece per l'ultimo punto ...
Non proprio. Il potenziale che si annulla all'infinito si ottiene sottraendo la costante $[-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$ al potenziale precedente (ovviamente, il nuovo potenziale è ancora continuo):
$[r lt R_1] rarr [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3-1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[R_1 lt r lt R_2] rarr [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r+1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3-1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[R_2 lt r lt R_3] rarr [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3]$
$[r gt R_3] rarr [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r]$
In definitiva:
$[V_1=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3-1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
Ok ti ringrazio, gentilissimo.
"anonymous_0b37e9":
Per distribuzioni superficiali di carica il potenziale è una funzione continua. Quindi:
$[r lt R_1] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1]$
$[R_1 lt r lt R_2] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r]$
$[R_2 lt r lt R_3] rarr [E=0] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
$[r gt R_3] rarr [E=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r^2] ^^ [V=1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/r-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
Per svolgere l'ultimo punto giova sottolineare che:
$[lim_(r->+oo)V=-1/(4\pi\epsilon_0)(11Q_1)/R_3+1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2]$
Ciao! Capisco che sia passato un bel po' di tempo da quando è stata aperta questa discussione. Tuttavia mi sono imbattuta in questo problema facendo esercizi presi da appelli passati della mia prof di fisica 2. E non mi è molto chiaro il modo in cui ti sei calolcato i potenziali nei vari punti, soprattutto nell'ultimo, che mi pare di aver capito che c'è una costante che sarebbe il potenziale calcolato nel punto all'infinito. Se volessi scrivere bene tutti i passaggi come dovrei fare?
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