Problema elettrostatica sfera carica
Supponiamo di avere una sfera uniformemente carica con densità di carica costante rho tranne che in una cavità interna anch'essa sferica di raggio R1 e non concentrica alla prima.
come in figura
E' la prima volta che posto un'immagine, se non si vede bene ci riprovo!
L'esercizio vuole valutare la carica totale del corpo. Io ho fatto la differenza tra due sfere piene, con la stessa rho e di raggio
rispettivamente R ed R1, nel calcolare però la carica di R1 ho iniziato a "impanicarmi" perché le due sfere non sono concentriche, e mi sono un po' persa così ho dato uno sguardo alla risoluzione e il calcolo è effettuato considerando la sfera S1 concentrica a S.
A questo punto mi chiedo com'è possibile fare questa approssimazione?
Quale ragionamento lo giustifica?
come in figura
E' la prima volta che posto un'immagine, se non si vede bene ci riprovo!
L'esercizio vuole valutare la carica totale del corpo. Io ho fatto la differenza tra due sfere piene, con la stessa rho e di raggio
rispettivamente R ed R1, nel calcolare però la carica di R1 ho iniziato a "impanicarmi" perché le due sfere non sono concentriche, e mi sono un po' persa così ho dato uno sguardo alla risoluzione e il calcolo è effettuato considerando la sfera S1 concentrica a S.
A questo punto mi chiedo com'è possibile fare questa approssimazione?
Quale ragionamento lo giustifica?
Risposte
Il volume di questo solido è indipendente dalla posizione della cavità, purchè questa sia tutta contenuta nella sfera grande. Quindi, carica totale = densità di carica (uniforme) * volume differenza del volume grande meno volume piccolo...
Ciao,
affronta il problema in modo formale e sei sicuro di non sbagliare
Chiamiamo $V_R$ la sfera di raggio $RinRR^+$ e $V_(R_1)$ la sfera di raggio $R_1=R/2$.
E' chiaro che il volume che a te interessa è: $V_R - V_(R_1)$, di carica:
$Q=intintint_(V_R - V_(R_1))rho text{ }dxdydz$
Per l'ipotesi di uniformità:
$Q=rho*intintint_(V_R - V_(R_1))dxdydz$
Per definizione:
$Q=rho*mis_L[V_R - V_(R_1)]$
$Q=rho*[mis_L[V_R] - mis_L[V_(R_1)]]$
$Q=rho*[4/3piR^3 - 4/3pi(R_1)^3]$
$Q=rho*[4/3piR^3 - 4/3pi(R/2)^3]$
...
edit: Ops non avevo visto la risposta di arrigo, sorry.
affronta il problema in modo formale e sei sicuro di non sbagliare
Chiamiamo $V_R$ la sfera di raggio $RinRR^+$ e $V_(R_1)$ la sfera di raggio $R_1=R/2$.
E' chiaro che il volume che a te interessa è: $V_R - V_(R_1)$, di carica:
$Q=intintint_(V_R - V_(R_1))rho text{ }dxdydz$
Per l'ipotesi di uniformità:
$Q=rho*intintint_(V_R - V_(R_1))dxdydz$
Per definizione:
$Q=rho*mis_L[V_R - V_(R_1)]$
$Q=rho*[mis_L[V_R] - mis_L[V_(R_1)]]$
$Q=rho*[4/3piR^3 - 4/3pi(R_1)^3]$
$Q=rho*[4/3piR^3 - 4/3pi(R/2)^3]$
...
edit: Ops non avevo visto la risposta di arrigo, sorry.
Ringrazio entrambi e mi scuso anticipatamente per le domande che sto per fare in quanto dimostreranno la mia scarsa preparazione, ma mi affido al solito detto "sbagliando si impara"! Abbiate pazienza!
Non capisco perché, per simmetria sferica? In tal caso se fosse stato un cilindro? O ancora nel caso di una lastra piana carica (spessore trascurabile) con più fori circolari ma non centrati?
Io però, seguendo questo ragionamento prendo una strada diversa: per l'integrale della sfera piccola mi viene in dr e dtheta perché considero lo stesso origine 0 ma non essendo centrato la x sarà (x-R/2) che poi trasformo in coordinate polari, e in conclusione, alla fine, i conti non tornano ma è chiaro che sbaglio l'approccio fisico.Consiglio?
"anonymous_af8479":
Il volume di questo solido è indipendente dalla posizione della cavità, purchè questa sia tutta contenuta nella sfera grande
Non capisco perché, per simmetria sferica? In tal caso se fosse stato un cilindro? O ancora nel caso di una lastra piana carica (spessore trascurabile) con più fori circolari ma non centrati?
"lordb":
Ciao,
affronta il problema in modo formale e sei sicuro di non sbagliare
Chiamiamo $ V_R $ la sfera di raggio $ RinRR^+ $ e $ V_(R_1) $ la sfera di raggio $ R_1=R/2 $.
E' chiaro che il volume che a te interessa è: $ V_R - V_(R_1) $, di carica:
$ Q=intintint_(V_R - V_(R_1))rho text{ }dxdydz $
Per l'ipotesi di uniformità:
$ Q=rho*intintint_(V_R - V_(R_1))dxdydz $
Per definizione:
$ Q=rho*mis_L[V_R - V_(R_1)] $
Io però, seguendo questo ragionamento prendo una strada diversa: per l'integrale della sfera piccola mi viene in dr e dtheta perché considero lo stesso origine 0 ma non essendo centrato la x sarà (x-R/2) che poi trasformo in coordinate polari, e in conclusione, alla fine, i conti non tornano ma è chiaro che sbaglio l'approccio fisico.Consiglio?
È una questione geometrica. Prendi una figura solida qualunque A ed un'altra B tali per cui B può essere contenuta completamente in A non importa come ed in che posizione. Metti B dentro A. Allora vol(A-B) = vol(A)-vol(B). La cosa è piuttosto evidente e vale anche per le figure piane e le loro superfici. Non trovi?
Direi proprio che trovo! Mi vergogno immensamente 
Davvero, grazie per la pazienza!
Davvero, grazie per la pazienza!
Se invece la carica non fosse distribuita uniformemente in senso volumetrico, bensì in senso superficiale (cosa che accadrebbe se fossimo in presenza di corpi conduttori), le cose starebbero in modo enormemente più complicato e la posizione della cavità sarebbe determinante ... saremmo in presenza di un problema matematico molto molto difficile ... che con il tuo errore hai in un certo senso anticipato .. 
Ci stavo pensando proprio questa notte chiedendomi perché ho complicato l' esercizio e perché, visto l' errore, non l' ho capito subito. E ho capito che ciò che mi ha portata "fuori strada" è stata la ferma convinzione che quel foro sferico influenzasse la carica totale e la distribuzione del campo elettrico cosa che invece, come hai già anticipato rispondendo preventivamente alla domanda che avrei postato oggi, è influenzata solo da una distribuzione di carica volumetrica non costante e a quanto leggo anche in caso di distribuzione di carica superficiale costante.
Nonostante la curiosità vista la difficoltà sospendo il vedere cosa accadrebbe se, e mi concentro su questi semplici esercizi dove continuo insensatamente a bloccarmi!
Grazie ancora!
Nonostante la curiosità vista la difficoltà sospendo il vedere cosa accadrebbe se, e mi concentro su questi semplici esercizi dove continuo insensatamente a bloccarmi!
Grazie ancora!
No, no, attenzione, facciamo chiarezza.
1- nell'esercizio postato da te all'inizio si fa espressamente riferimento ad una densità di carica $\rho$ costante in tutti i punti del solido. In questo caso, la posizione della cavità è del tutto ininfluente nella determinazione della carica complessiva.
2 - il caso 1, però non è realistico. Non esistono in natura corpi che presentano densità di carica volumetrica costante. L'esercizio, quindi, è del tutto accademico.
3 - nelle situazioni fisicamente possibili, siamo in presenza di corpi conduttori (normalmente metallici). In quei casi, la carica elettrica che conferisci loro si distribuisce solo sulla superficie !!!!! In questi casi, la posizione della cavità è strategica. Solo se la cavità è concentrica si ottengono distribuzioni di carica superficiale costante. Negli altri casi, con cavità in posizione eccentrica, si ottengono distribuzioni superficiali di carica non costanti e matematicamente di difficilissima determinazione ...
È chiaro così?
1- nell'esercizio postato da te all'inizio si fa espressamente riferimento ad una densità di carica $\rho$ costante in tutti i punti del solido. In questo caso, la posizione della cavità è del tutto ininfluente nella determinazione della carica complessiva.
2 - il caso 1, però non è realistico. Non esistono in natura corpi che presentano densità di carica volumetrica costante. L'esercizio, quindi, è del tutto accademico.
3 - nelle situazioni fisicamente possibili, siamo in presenza di corpi conduttori (normalmente metallici). In quei casi, la carica elettrica che conferisci loro si distribuisce solo sulla superficie !!!!! In questi casi, la posizione della cavità è strategica. Solo se la cavità è concentrica si ottengono distribuzioni di carica superficiale costante. Negli altri casi, con cavità in posizione eccentrica, si ottengono distribuzioni superficiali di carica non costanti e matematicamente di difficilissima determinazione ...
È chiaro così?
Ok, avevo fatto un po' di confusione ma ora è tutto chiaro 
Soprattutto non sapevo che
Grazie!
Soprattutto non sapevo che
"anonymous_af8479":
Non esistono in natura corpi che presentano densità di carica volumetrica costante.
Grazie!
In realtà, nella foga dialettica, sono stato un po' troppo drastico!
Una eccezione alla mia affermazione potrebbe essere questa. Prendo un pezzo di materia isolante, per esempio vetro. In qualche modo tolgo un elettrone da tutti gli atomi di quel vetro. Il risultato è che, essendo tale materia un non conduttore, a temperature ordinarie gli atomi che ho ionizzato rimangono tali nel tempo e costituiscono così una densità volumetrica di carica non nulla
Una eccezione alla mia affermazione potrebbe essere questa. Prendo un pezzo di materia isolante, per esempio vetro. In qualche modo tolgo un elettrone da tutti gli atomi di quel vetro. Il risultato è che, essendo tale materia un non conduttore, a temperature ordinarie gli atomi che ho ionizzato rimangono tali nel tempo e costituiscono così una densità volumetrica di carica non nulla
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo