Problema elettrostatica

[umbe14]

Su una sfera isolante, di raggio $R_0$, è depositata una carica con densità di carica uniforme $ρ_0$.
Determinare la differenza di potenziale tra il punto $A$ che si trova a distanza $R_1$ dal centro, e il punto $B$ che giace sulla superficie della sfera.

Allora, per la legge di Gauss, il campo in $A$ sarà $E_A=\rho_0R_1/(3\epsilon_0)$, mentre in $B$ sarà $E_B=\rho_0R_0/(3\epsilon_0)$. Ho dei dubbi sulla d.d.p.: per la geometria del problema, la distanza tra i due punti "incriminati" è $d=sqrt(R_0^2+R_1^2)$. Se mi chiedesse la d.d.p. all'interno della sfera (tra $0$ a $R_0$), farei $-int_r^(R_0)\rho_0r/(3\epsilon_0)dr=V(R_0)-V(r)$ al quale poi sottrarrei $V(R_0)=\rhoR_0^2/(3\epsilon_0)$. In questo caso però il punto estremo non si trova al centro, per cui farei così: $(E_B-E_A)*d=V(B)-V(A)=sqrt(R_0^2+R_1^2)*\rho_0(R_0-R_1)/(3\epsilon_0)$ ma non ne sono convinto...

[mgrau]

Ma il potenziale all'esterno di una distribuzione sferica di carica è come se la carica fosse nel centro. Quindi per avere il potenziale in A ti basta sapere che carica c'è "sotto" A, cioè nella sfera di raggio $R_1$. E analogamente per B.
Se poi vuoi proprio integrare il campo fra A e B, considera almeno che si tratta di un prodotto scalare fra $vec E$ e $vec ds$, quindi gli angoli contano e quello che interessa alla fine è il percorso lungo il raggio, quindi il percorso da $R_1$ a$R_0$ lungo un raggio, e dimenticati quella brutta cosa di $sqrt(R_0^2+R_1^2)$

[umbe14]

Sì ho capito cosa intendi: come se dovessi assimilare una qualsiasi superficie gaussiana ad una carica unica. In effetti è un po' a trabocchetto perché ti piazza lì il punto e viene ad un primo impatto da pensare che la distanza sia la congiungente i due punti e invece se il campo in $A$ ha quel valore che ho trovato, ha lo stesso valore pure nel punto sulla sfera di raggio $R_1$ che si trova lungo il raggio $R_0$. Quindi la d.d.p. sarà $d.d.p.=\rho_0(R_0-R_1)^2/(3\epsilon_0)$, corretto?

[mgrau]

"umbe": Quindi la d.d.p. sarà $d.d.p.=\rho_0(R_0-R_1)^2/(3\epsilon_0)$

Questo da dove arriva?

[umbe14]

Chiedo scusa, dovrebbe essere $d.d.p.=-int_(R_1)^(R_0)\rho_0r/(3\epsilon_0)dr=\rho_0/(6\epsilon_0)(-R_0^2+R_1^2)$

[mgrau]

"umbe":Chiedo scusa, dovrebbe essere $d.d.p.=-int_(R_1)^(R_0)\rho_0r/(3\epsilon_0)dr=\rho_0/(6\epsilon_0)(-R_0^2+R_1^2)$

Mi pare strano quel 6. Il potenziale di una carica puntiforme è $V = 1/(4piepsi_0)q/r$
Lo stesso per una distribuzione sferica, all'esterno della sfera.
Nel caso nostro, il potenziale in B, per es, sarebbe $V_B = 1/(4piepsi_0)(rho 4/3piR_0^3)/R_0 = (rho R_0^2)/(3epsi_0)$
Analogamente per A.
Nella tua formula, a parte il segno, se mettiamo $R_1= 0$ rimane il 6, mentre mi pare che dovrebbe esserci 3

[umbe14]

Scusa, avendo una densità volumetrica ho applicato la legge di Gauss per il campo e ci ho calcolato di conseguenza la d.d.p. tra i punti richiesti. Il campo, per $R_1

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[mgrau]

Non so se è giusto o no. Quel che è certo è che non corrisponde al risultato che trovo io per altra via. Almeno uno dei due deve essere sbagliato...

[umbe14]

Ho visto un problema guida sul libro che trova la d.d.p.. Anche il libro (in effetti studio da lì) mostra il calcolo della d.d.p. all'interno di una sfera isolante integrando il campo della superficie gaussiana, di raggio compreso tra un $0

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