Problema elementare sull'energia cinetica di rotazione
Il problema è il seguente:
Un recipiente cilindrico di raggio r = 1m ruota attorno ad un asse verticale, coincidente con l'asse del cilindro, compiendo 12 giri al minuto. In esso viene versato con getto costante un impasto di cemento che si distribuisce uniformemente sul fondo del recipiente e ruota rigidamente con esso. Vengono versati 2000kg di impasto in 2 minuti. Calcolare il momento che occorre applicare all'asse del recipiente per mantenerlo in rotazione con velocità angolare costante durante il riempimento, la potenza necessaria, l'energia cinetica finale dell'impasto.
Ho ragionato in questo modo e vorrei capire perché è sbagliato. La variazione in energia cinetica tra la situazione finale e quella iniziale sarà il lavoro compiuto dal momento per mantenere la velocità angolare costante, quindi dividendo per $\Delta \theta$ dovrei trovare il momento applicato.
$W=\Delta K=\frac{1}{2}\Delta I\omega^2=\frac{1}{2}\frac{\Delta m*r^2}{2}\omega^2$
$M=\frac{W}{\Delta \theta}$
In questo modo ottengo però la metà del momento in realtà applicato, e anche la metà della potenza. Perché?
Un recipiente cilindrico di raggio r = 1m ruota attorno ad un asse verticale, coincidente con l'asse del cilindro, compiendo 12 giri al minuto. In esso viene versato con getto costante un impasto di cemento che si distribuisce uniformemente sul fondo del recipiente e ruota rigidamente con esso. Vengono versati 2000kg di impasto in 2 minuti. Calcolare il momento che occorre applicare all'asse del recipiente per mantenerlo in rotazione con velocità angolare costante durante il riempimento, la potenza necessaria, l'energia cinetica finale dell'impasto.
Ho ragionato in questo modo e vorrei capire perché è sbagliato. La variazione in energia cinetica tra la situazione finale e quella iniziale sarà il lavoro compiuto dal momento per mantenere la velocità angolare costante, quindi dividendo per $\Delta \theta$ dovrei trovare il momento applicato.
$W=\Delta K=\frac{1}{2}\Delta I\omega^2=\frac{1}{2}\frac{\Delta m*r^2}{2}\omega^2$
$M=\frac{W}{\Delta \theta}$
In questo modo ottengo però la metà del momento in realtà applicato, e anche la metà della potenza. Perché?
Risposte
Esercizio estremamente interessante, non mi era mai capitato un esercizio così che conduce a questo apparente paradosso, lo confesso.
Provo a calcolare il momento in modo diretto, e poi passo all'energia.
$$\eqalign{
& M = \dot L \cr
& \dot L = \dot I\omega = \frac{1}
{2}\dot m{r^2}\omega \cr
& M = \frac{1}
{2}\dot m{r^2}\omega \cr} $$
Energia spesa:
$$\eqalign{
& dW = Md\theta = \frac{1}
{2}\frac{{dm}}
{{dt}}{r^2}\omega d\theta = \frac{1}
{2}{r^2}\omega \frac{{d\theta }}
{{dt}}dm = \frac{1}
{2}{r^2}{\omega ^2}dm \cr
& \Delta W = \frac{1}
{2}\Delta m{r^2}{\omega ^2} \cr} $$
La cosa pare del tutto strana visto che alla fine l'energia cinetica risulta:
$$W = \frac{1}
{2}I{\omega ^2} = \frac{1}
{2}\left( {\frac{1}
{2}\Delta m{r^2}} \right){\omega ^2}$$
La spiegazione di questo apparente paradosso io la do in questo modo.
Ogni goccia di cemento che cade nella vasca rotante è come un corpo che sbatte contro il cilindro in formazione con urto anelastico, infatti non rimbalza. Dunque vi è energia perduta. E in questo caso l'energia perduta è proprio uguale all'energia finale, dunque in questo modo si spende il doppio dell'energia che servirebbe a porre il cilindro in rotazione se questo partisse da velocità zero già completamente formato.
Strano ma mi devo arrendere all'evidenza!
Provo a calcolare il momento in modo diretto, e poi passo all'energia.
$$\eqalign{
& M = \dot L \cr
& \dot L = \dot I\omega = \frac{1}
{2}\dot m{r^2}\omega \cr
& M = \frac{1}
{2}\dot m{r^2}\omega \cr} $$
Energia spesa:
$$\eqalign{
& dW = Md\theta = \frac{1}
{2}\frac{{dm}}
{{dt}}{r^2}\omega d\theta = \frac{1}
{2}{r^2}\omega \frac{{d\theta }}
{{dt}}dm = \frac{1}
{2}{r^2}{\omega ^2}dm \cr
& \Delta W = \frac{1}
{2}\Delta m{r^2}{\omega ^2} \cr} $$
La cosa pare del tutto strana visto che alla fine l'energia cinetica risulta:
$$W = \frac{1}
{2}I{\omega ^2} = \frac{1}
{2}\left( {\frac{1}
{2}\Delta m{r^2}} \right){\omega ^2}$$
La spiegazione di questo apparente paradosso io la do in questo modo.
Ogni goccia di cemento che cade nella vasca rotante è come un corpo che sbatte contro il cilindro in formazione con urto anelastico, infatti non rimbalza. Dunque vi è energia perduta. E in questo caso l'energia perduta è proprio uguale all'energia finale, dunque in questo modo si spende il doppio dell'energia che servirebbe a porre il cilindro in rotazione se questo partisse da velocità zero già completamente formato.
Strano ma mi devo arrendere all'evidenza!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo