Problema: due treni e un uccello
Questo è il problema che non riesco a risolvere:
Due treni, che viaggiano alla stessa velocità di 34 km/h, sono diretti uno contro l'altro su una stessa ferrovia rettilinea. Un uccello che vola alla velocità di 58 km/h decolla dalla testa di un treno dirigendosi verso l'altro treno, quando essi si trovano alla distanza di 102 km. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta fino a ritornare sul primo treno, e così di seguito (non riusciamo a capacitarci del perchè un uccello debba comportarsi in questo modo).
(a) Quanti tragitti riesce a compiere l'uccello prima dell'incontro dei treni?
(b) Qual'è la distanza totale percorsa dell'uccello?
Qualcuno sa aiutarmi?
Grazie spero nel vostro aiuto :lol:
Due treni, che viaggiano alla stessa velocità di 34 km/h, sono diretti uno contro l'altro su una stessa ferrovia rettilinea. Un uccello che vola alla velocità di 58 km/h decolla dalla testa di un treno dirigendosi verso l'altro treno, quando essi si trovano alla distanza di 102 km. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta fino a ritornare sul primo treno, e così di seguito (non riusciamo a capacitarci del perchè un uccello debba comportarsi in questo modo).
(a) Quanti tragitti riesce a compiere l'uccello prima dell'incontro dei treni?
(b) Qual'è la distanza totale percorsa dell'uccello?
Qualcuno sa aiutarmi?
Grazie spero nel vostro aiuto :lol:
Risposte
Prova a ragionarci un po' su, non è così difficile.
Il punto b è piuttosto immediato, una volta calcolato il tempo che impiegheranno i due treni prima di scontrarsi sai che l'uccello va ad una velocità nota quindi hai tempo di volo e velocità, puoi calcolarti lo spazio.
Il punto a è un po' più complicato per via del fatto che ogni volo è diverso perché si sposta sempre di meno, il consiglio che ti do è di metterti in un riferimento che trasli solidale a uno dei due treni, così il problema diventa un treno fermo e un altro che gli va incontro. Ora l'uccello fa avanti e indietro da un punto fisso a un punto che si avvicina a velocità costante verso questo punto fisso, così dovrebbe esserti più facile.
Nota anche che l'algoritmo per calcolare ogni volta la distanza da percorrere è:
$t_1= d_1/v_1 -> d_2 = d_1- v_t * t_1$
e così via, da qui a impostare una successione non dovresti avere problemi.
Il punto a è un po' più complicato per via del fatto che ogni volo è diverso perché si sposta sempre di meno, il consiglio che ti do è di metterti in un riferimento che trasli solidale a uno dei due treni, così il problema diventa un treno fermo e un altro che gli va incontro. Ora l'uccello fa avanti e indietro da un punto fisso a un punto che si avvicina a velocità costante verso questo punto fisso, così dovrebbe esserti più facile.
Nota anche che l'algoritmo per calcolare ogni volta la distanza da percorrere è:
$t_1= d_1/v_1 -> d_2 = d_1- v_t * t_1$
e così via, da qui a impostare una successione non dovresti avere problemi.
@Zkeggia
Non sono d'accordo con il ragionamento fatto. Se un punto è fisso e si assume soltanto l'altro mobile, allora bisogna anche assumere che il treno mobile abbia una velocità pari alla somma di quella dei due treni, ovvero 68 Km/h. Inoltre questo vale solo se considero la distanza tra i due treni e solo la loro. Se voglio calcolare il tempo che impiega l'uccello a raggiungere l'altro treno, mi va bene la formula $t_1=d_1/v_1$ ma con $v_1$ pari a cosa? Immagino la somma della velocità di un treno e quella dell'uccello. Ancora, alla luce del ragionamento di cui sopra, mentre l'uccello raggiunge l'altro treno (in un tempo $t_1$) la distanza tra i due treni si è ridotta di un fattore pari a $2v_t$$t_1$.
Non sono d'accordo con il ragionamento fatto. Se un punto è fisso e si assume soltanto l'altro mobile, allora bisogna anche assumere che il treno mobile abbia una velocità pari alla somma di quella dei due treni, ovvero 68 Km/h. Inoltre questo vale solo se considero la distanza tra i due treni e solo la loro. Se voglio calcolare il tempo che impiega l'uccello a raggiungere l'altro treno, mi va bene la formula $t_1=d_1/v_1$ ma con $v_1$ pari a cosa? Immagino la somma della velocità di un treno e quella dell'uccello. Ancora, alla luce del ragionamento di cui sopra, mentre l'uccello raggiunge l'altro treno (in un tempo $t_1$) la distanza tra i due treni si è ridotta di un fattore pari a $2v_t$$t_1$.
Beh sì se si assume un punto visso e l'altro mobile la velocità è la somma ecc ecc. A noi poi di fatto interessa proprio la distanza tra i due treni, che in un tempo $t_1$, nel sistema di riferimento mobile si è ridotta di un fattore parì a $v_t*t_1$ con $v_t$ pari alla velocità del treno nel sistema di riferimento mobile, ovvero $2v*t_1$ in un sistema di riferimento assoluto. Non capisco perché non sei d'accordo, stiamo dicendo le stesse cose, è ovvio che se assumo un riferimento mobile devo considerare le velocità relative e tutto...
Beh, evidentemente hai dato per scontato delle cose in generale non lo sono o che comunque potevano non esserlo per chi ha posto la domanda. Ad esempio, dalle formule sarei indotto a sostituire al posto di $v_t$ la velocità del singolo treno, se non diversamente specificato. Comunque no problem, prendila come ulteriore spiegazione per axelcor 
sì è vero, mi scuso, no problem.
Scusate se prima non ho postato qualche mio ragionamento ma dovevo imparare a scrivere almeno 2 formule decentemente.
Tornando al problema:
Punto (b) l'avevo già risolto come poi ha postato Zkeggia:
Dalla definizione di velocità: $v=d/t$
Determino il tempo impiegato dai due treni che hanno stessa velocità per percorrere $d$:
$t=d/(2*v_t)$
$d/2$ perchè la distanza va divisa per due;
(oppure posso dire di sommare le velocità dei treni $v_(t1)$ e $v_(t2)$ che in questo caso sono uguali quindi $2v_t$)
Lo spazio percorso sarà:
$d_x=v_u*t$
Punto (a):
Prendendo spunto dai consigli che mi avete dato ragiono così:
Considero un treno fermo $(treno)_1$ e l'altro in moto $(treno)_2$ con velocità però pari alle 2 velocità dei treni $v_(t2)=v_(t1)+v_(t2)$ (non date peso agli indici uguali spero sia chiaro rileggendo il problema).
Ora l'uccello con velocità $v_u$ impiega questo tempo per arrivare al $(treno)_2$: $t=d/v_u$
Nel frattempo il treno percorre una distanza pari a: $d_(x1)=v_(t2)*t$
La distanza cambia sempre e quindi $d_x$ è anche uguale a $d_x=d-d_(x1)$
Unendo le formule:
$d_x=d-d_(x1)$ $->$ $d_x=d-v_(t2)*t$ $->$ $d_x=d-v_(t2)*(d/v_u)$ $->$ $d_x=d(1-v_(t2)/v_u)$
Concordate?
Tornando al problema:
Punto (b) l'avevo già risolto come poi ha postato Zkeggia:
Dalla definizione di velocità: $v=d/t$
Determino il tempo impiegato dai due treni che hanno stessa velocità per percorrere $d$:
$t=d/(2*v_t)$
$d/2$ perchè la distanza va divisa per due;
(oppure posso dire di sommare le velocità dei treni $v_(t1)$ e $v_(t2)$ che in questo caso sono uguali quindi $2v_t$)
Lo spazio percorso sarà:
$d_x=v_u*t$
Punto (a):
Prendendo spunto dai consigli che mi avete dato ragiono così:
Considero un treno fermo $(treno)_1$ e l'altro in moto $(treno)_2$ con velocità però pari alle 2 velocità dei treni $v_(t2)=v_(t1)+v_(t2)$ (non date peso agli indici uguali spero sia chiaro rileggendo il problema).
Ora l'uccello con velocità $v_u$ impiega questo tempo per arrivare al $(treno)_2$: $t=d/v_u$
Nel frattempo il treno percorre una distanza pari a: $d_(x1)=v_(t2)*t$
La distanza cambia sempre e quindi $d_x$ è anche uguale a $d_x=d-d_(x1)$
Unendo le formule:
$d_x=d-d_(x1)$ $->$ $d_x=d-v_(t2)*t$ $->$ $d_x=d-v_(t2)*(d/v_u)$ $->$ $d_x=d(1-v_(t2)/v_u)$
Concordate?
Quello che hai trovato è di quanto ad ogni tragitto diminuisce la distanza percorsa, ora sai che ad esempio, al secondo tragitto avrai:
$d_(x2)= d_(x1)(1-v_(x1)/v_u) = d (1 - v_(x1)/v_u) (1 - v_(x1)/v_u) = d (1 - v_(x1)/v_u)^2 $
quindi, come concludi?
$d_(x2)= d_(x1)(1-v_(x1)/v_u) = d (1 - v_(x1)/v_u) (1 - v_(x1)/v_u) = d (1 - v_(x1)/v_u)^2 $
quindi, come concludi?
L'uccello, per arrivare al treno, impiega un tempo pari a $t=d/(v_u+v_2)$ con $v_2$ velocità del secondo treno, ovvero 34Km/h.....
nel sistema di riferimento che si muove, all'andata l'uccello ha una velocità pari a $v_u - v_2$ al ritorno ha una velocità pari a $-v_u-v_2$. Ciononostante la relazioe scritta va ancora bene, perché è valida anche nel sistema di riferimento assoluto, in cui l'uccello si muove sempre a velocità di $58 (Km)/h$. L'assumere un sistema di riferimento solidale al treno in questo caso semplifica le cose per quanto riguarda la distanza percorse, ma le complica per quanto riguarda la velocità dell'uccello. Quindi la soluzione migliore è utilizzare un sistema di riferimento assoluto, in cui l'uccello va verso il treno e impiega il solito tempo, e nel frattempo i due treni si sono avvicinati della solita distanza, però stavolta al ritorno l'uccello va sempre a 58 Km/h e quindi possiamo riscrivere le stesse cose, e ci viene quindi $d(1- (v_x1)/v_u)^2$ (ricordando che $v_x1 = 2v_t$). Nell'altro caso sarebbe stato diverso, ci sarebbe infatti venuto
$d(1- (v_t1/(v_u+v_t)(1 -v_t1/(v_u-v_t)) = d (1 - ((v_u - v_t)v_x1 + (v_u + v_t)v_x1)/((v_u - v)(v_u + v_t)) + (v_x1)^2/ ((v_u - v_t)(v_u + v_t)))$
Se si svolgono i calcoli si ottiene esattamente la stessa relazione di sopra, solo che quest'ultima è più immediata da trovare
$d(1- (v_t1/(v_u+v_t)(1 -v_t1/(v_u-v_t)) = d (1 - ((v_u - v_t)v_x1 + (v_u + v_t)v_x1)/((v_u - v)(v_u + v_t)) + (v_x1)^2/ ((v_u - v_t)(v_u + v_t)))$
Se si svolgono i calcoli si ottiene esattamente la stessa relazione di sopra, solo che quest'ultima è più immediata da trovare
Comunque a parte questa chiacchierata sui sistemi di riferimento che ci ha portato alla formuletta
$d_n = d (1- (v_x1)/v_u)^n$ l'esercizio non è mica finito. Perchè tu ora sai quanta distanza è il tragitto ennesimo, ma devi ancora trovare quanti tragitti fa il piccione.
Il suggerimento che ti do è di utilizzare oltre a questa formula anche il fatto che sai dopo quanto tempo i due treni si scontrano
$d_n = d (1- (v_x1)/v_u)^n$ l'esercizio non è mica finito. Perchè tu ora sai quanta distanza è il tragitto ennesimo, ma devi ancora trovare quanti tragitti fa il piccione.
Il suggerimento che ti do è di utilizzare oltre a questa formula anche il fatto che sai dopo quanto tempo i due treni si scontrano
Ricordo che questo problema stava sul libro di fisica di David Halliday, Resnick 
a me torna che l'uccello fa infiniti tragitti e percorre unos pazio pari a quello trovato prima... spazio che tra l'altro si può ritrovare calcolando la serie che ho scritto, che è una serie nota del tipo $sum (q^k)$ con $q<1$. Il problema è che proprio perché la lunghezza di ogni tragitto è maggiore stretta di 0, allora l'uccello fa infiniti tragitti. Un po ' come la tartaruga di achille che fa infiniti movimenti ma poi viene superata.
"Zkeggia":
spazio che tra l'altro si può ritrovare calcolando la serie che ho scritto, che è una serie nota del tipo $sum (q^k)$ con $q<1$
Che, come racconta un noto aneddoto, è la strada seguita da von Neumann quando gli posero il problema.
[size=75]Povero uccello, che mal di testa gli verrà verso la fine. E che agilità, comuqnue[/size]
ah sì? non conosco questo aneddoto, me lo puoi raccontare? son curioso
Ma non c'è da raccontare molto di più di quello che ho scritto... Invece di seguire la semplice scorciatoia di calcolare il tempo che i due treni ci mettono a scontrarsi, vN ha seguito la strada diretta del calcolo della serie.
Comunque, puoi dare un'occhiata qui:
http://rudimatematici-lescienze.blogaut ... omment-192
Comunque, puoi dare un'occhiata qui:
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