Problema disco, meccanica lagrangiana
Buon pomeriggio! Avrei bisogno di una mano con questo problema
Un punto materiale P di massa M si può muovere sul diametro AB di un disco omogeneo di massa m e raggio R posto nel piano verticale; a sua volta il disco è libero di ruotare attorno al suo centro O. P è attratto da O da una forza di energia potenziale
$ U_P = −k log(1 − d^2/R^2). $
dove d è la distanza tra O e P, e k è una costante di interazione positiva.
Il disegno è semplicemente un disco nell'origine con un punto materiale P che può muoversi lungo il diametro AB.
Il mio dubbio è nella scelta delle coordinate generalizzate. Per l'intero sistema pensavo di adottare una sola coordinata, ovvero quella dell'angolo spazzato dal diametro AB.
$ { ( x_P=Rcostheta ),( y_P=R sintheta ):} $
Dato che scorre sul diametro, anche il raggio sarà in funzione del tempo.
$ { ( dot(x_P) = dot(R)costheta - Rsinthetadot(theta) ),( dot(y_P)=dot(R)sintheta + Rcostheta dot(theta) ):} $
Per l'energia cinetica abbiamo quella di rotazione del disco e quella associata al punto P
$ T = T_D+T_P$
$ T_D = 1/2 I omega^2 = 1/4 mR^2dot(theta)^2$
$ T_P = 1/2M (dot(R)^2+R^2dot(theta)^2) $
Per quanto riguarda l'energia potenziale ho quella potenziale gravitazionale e potenziale attrattiva indicata nel testo.
Il mio dubbio è se è corretto usare $ R $ come raggio del disco per il momento di inerzia oppure devo introdurre un parametro $ rho $ in funzione del tempo che ha come massimo $ R $ (raggio del disco).
Inoltre, collegato al momento di inerzia, è corretto usare come $ omega $ la coordinata $ dot(theta)^2 $?
Un punto materiale P di massa M si può muovere sul diametro AB di un disco omogeneo di massa m e raggio R posto nel piano verticale; a sua volta il disco è libero di ruotare attorno al suo centro O. P è attratto da O da una forza di energia potenziale
$ U_P = −k log(1 − d^2/R^2). $
dove d è la distanza tra O e P, e k è una costante di interazione positiva.
Il disegno è semplicemente un disco nell'origine con un punto materiale P che può muoversi lungo il diametro AB.
Il mio dubbio è nella scelta delle coordinate generalizzate. Per l'intero sistema pensavo di adottare una sola coordinata, ovvero quella dell'angolo spazzato dal diametro AB.
$ { ( x_P=Rcostheta ),( y_P=R sintheta ):} $
Dato che scorre sul diametro, anche il raggio sarà in funzione del tempo.
$ { ( dot(x_P) = dot(R)costheta - Rsinthetadot(theta) ),( dot(y_P)=dot(R)sintheta + Rcostheta dot(theta) ):} $
Per l'energia cinetica abbiamo quella di rotazione del disco e quella associata al punto P
$ T = T_D+T_P$
$ T_D = 1/2 I omega^2 = 1/4 mR^2dot(theta)^2$
$ T_P = 1/2M (dot(R)^2+R^2dot(theta)^2) $
Per quanto riguarda l'energia potenziale ho quella potenziale gravitazionale e potenziale attrattiva indicata nel testo.
Il mio dubbio è se è corretto usare $ R $ come raggio del disco per il momento di inerzia oppure devo introdurre un parametro $ rho $ in funzione del tempo che ha come massimo $ R $ (raggio del disco).
Inoltre, collegato al momento di inerzia, è corretto usare come $ omega $ la coordinata $ dot(theta)^2 $?
Risposte
Io userei $ d$ e $theta$ come coordinate, visto che d compare come coordinata per la forza attrattiva.
E da li' sviluppi la lagrangiana con:
Energia del disco $E_[kd]=1/2Idottheta^2$
Energia del punto $E_[kP]=1/2m(dottheta*d)^2 +1/2mdotd^2$
Eccetera, ecc. ecc.
E da li' sviluppi la lagrangiana con:
Energia del disco $E_[kd]=1/2Idottheta^2$
Energia del punto $E_[kP]=1/2m(dottheta*d)^2 +1/2mdotd^2$
Eccetera, ecc. ecc.
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