Problema dinamica - pulegge
Ragazzi, ho questo problema.
Una corda sostiene una puleggia $A$ attraverso la quale passa una seconda corda a cui capi sono attaccati una massa $m_1=4 kg$ , e una puleggia $B$ attorno alla uale passa un'altra corda a cui i capisono attaccati due masse $m_2= 2 kg$ , $m_3=1 kg$
Supposti le masse delle pulegge e gli attriti trascurabili, calcolare l'accelerazione di tutte le masse e la tensione nella prima corda (i fili sono ideali)
svolgimento :
Prima di tutto, individuo le forze agenti su ciascuna massa,
metto in spoiler l'immagine.
Ora scompongo le forze lungo un'opportuno asse, lo scelgo verticale rivolto verso il basso.
Applicando la seconda legge di Newton $\sum F_i = ma$
allora avrò dunque da risolvere questo sistema. (*)
$m_1g-T_1=ma_1$
$m_2g-T_2=ma_2$
$m_3g-T_2=ma_3$
Ora trovo una relazione tra $T_1$ e $T_2$ , studiando le forze agenti sulla puleggia $B$ noto che
$T_1-2T_2 = ma_b=0*a_b=0 => T_1=2T_2$ giusto?
Quindi (*)
è equivalente a
$m_1g-T_2=ma_1$
$m_2g-T_2=ma_2$
$m_3g-T_2=ma_3$.
Ora però bisogna trovare una legge che leghi $a_i , i in {1,2,3}$.
EDIT
Ci ho pensato bene , forse farei così.
Considero un osservatore inerziale $O$ fisso su $A$ (infatti $A$ non si muove)e uno non inerziale $O'$ solidale con la puleggia $B$.
Il moto a cui abbiamo a che fare è un moto relativo di traslazione.
quindi dobbiamo usare una formula del tipo $a=a'+a_t$.
Allora , si verifica facilmente che $a_2=a'_2- a_1$
$a_3=a'_3-a_1$
ora poiché i fili sono ideali, se $m_2$ si muove di $dx$ anche $m_3$ si muove di $dx$ e quindi in particolare, si ha che
$a'_2=-a'_3$ supponendo che $m_2$ scende e $m_3$ sale.
da cui ho che (*) è equivalente a
$m_1g-T_2=ma_1$
$m_2g-T_2=m(a'_2-a_1)$
$m_3g-T_2=m(-a'_2-a_1)$.
da cui con un po di di calcoli ottengo questa bestia qua.
$T_2= (4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3) => T_1=2T_2=> T_1 = 2(4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)$
e $a_1=1.96 m/s^2 , a_2=1.96 m/s^2 , a_3=-3.92 m/s^2$
cosa ne pensate?
Una corda sostiene una puleggia $A$ attraverso la quale passa una seconda corda a cui capi sono attaccati una massa $m_1=4 kg$ , e una puleggia $B$ attorno alla uale passa un'altra corda a cui i capisono attaccati due masse $m_2= 2 kg$ , $m_3=1 kg$
Supposti le masse delle pulegge e gli attriti trascurabili, calcolare l'accelerazione di tutte le masse e la tensione nella prima corda (i fili sono ideali)
svolgimento :
Prima di tutto, individuo le forze agenti su ciascuna massa,
metto in spoiler l'immagine.
Ora scompongo le forze lungo un'opportuno asse, lo scelgo verticale rivolto verso il basso.
Applicando la seconda legge di Newton $\sum F_i = ma$
allora avrò dunque da risolvere questo sistema. (*)
$m_1g-T_1=ma_1$
$m_2g-T_2=ma_2$
$m_3g-T_2=ma_3$
Ora trovo una relazione tra $T_1$ e $T_2$ , studiando le forze agenti sulla puleggia $B$ noto che
$T_1-2T_2 = ma_b=0*a_b=0 => T_1=2T_2$ giusto?
Quindi (*)
è equivalente a
$m_1g-T_2=ma_1$
$m_2g-T_2=ma_2$
$m_3g-T_2=ma_3$.
Ora però bisogna trovare una legge che leghi $a_i , i in {1,2,3}$.
EDIT
Ci ho pensato bene , forse farei così.
Considero un osservatore inerziale $O$ fisso su $A$ (infatti $A$ non si muove)e uno non inerziale $O'$ solidale con la puleggia $B$.
Il moto a cui abbiamo a che fare è un moto relativo di traslazione.
quindi dobbiamo usare una formula del tipo $a=a'+a_t$.
Allora , si verifica facilmente che $a_2=a'_2- a_1$
$a_3=a'_3-a_1$
ora poiché i fili sono ideali, se $m_2$ si muove di $dx$ anche $m_3$ si muove di $dx$ e quindi in particolare, si ha che
$a'_2=-a'_3$ supponendo che $m_2$ scende e $m_3$ sale.
da cui ho che (*) è equivalente a
$m_1g-T_2=ma_1$
$m_2g-T_2=m(a'_2-a_1)$
$m_3g-T_2=m(-a'_2-a_1)$.
da cui con un po di di calcoli ottengo questa bestia qua.
$T_2= (4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3) => T_1=2T_2=> T_1 = 2(4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)$
e $a_1=1.96 m/s^2 , a_2=1.96 m/s^2 , a_3=-3.92 m/s^2$
cosa ne pensate?
Risposte
No, KAshaman, credo cha la soluzione sia più semplice.Secondo me il problema va affrontato così, ma naturalmente non escludo di potermi sbagliare....
In un riferimento solidale alla puleggia $B$, nel quale cioè $B$ è fermo, le due masse $m_2$ ed $m_3$ costituiscono una "macchina di Atwood" , perciò rispetto a questo riferimento l'accelerazione delle due masse è data da :
$a_b = (m_2-m_3)/(m_2+m_3)*g$. I vettori sono ovviamente diretti in verso opposto, una scende e l'altra sale rispetto a B
D'altronde, nel riferimento della puleggia $A$, la massa $m_1$ e l'insieme costituito da $B$ col suo filo e le due masse $m_2$ ed $m_3$ , costituisce ancora una macchina di Atwood, per cui l'accelerazione di $m_1$ in tale riferimento, uguale e contraria a quella di $B$ ( e del suo ambaradan di puleggia e masse) è data, come modulo, da :
$a_1 = (m_1-(m_2+m_3))/(m_1+m_2+m_3)*g$ .
Anche qui, i versi dei vettori sono opposti: $m_1$ scende, la puleggia $B$ sale.
Poichè poi le accelerazioni Assoluta, Relativa e di Trascinamento ( la complementare qui è nulla) si combinano con la nota relazione : $ vecA_(ass) = vecA_(rel) + vecA_(trasc)$, è facile trovare le accelerazioni "assolute" di tutte le masse.
Nota l'accelerazione di $m_1$, ricavare la tensione nel filo 1 è una bazzecola.
Che ne pensi tu, ora? Ti confesso che sono un pò perplesso.Forse alla fine i risultati per le accelerazioni sono identici....
Noto però che nella tua soluzione per la tensione T c'è un errore dimensionale non da poco: al numeratore c'è il cubo di una massa, al denominatore c'è il quadrato...Che vuol dire? Hai dimenticato forse $g$ da qualche parte? Non ho analizzato la tua procedura...
In un riferimento solidale alla puleggia $B$, nel quale cioè $B$ è fermo, le due masse $m_2$ ed $m_3$ costituiscono una "macchina di Atwood" , perciò rispetto a questo riferimento l'accelerazione delle due masse è data da :
$a_b = (m_2-m_3)/(m_2+m_3)*g$. I vettori sono ovviamente diretti in verso opposto, una scende e l'altra sale rispetto a B
D'altronde, nel riferimento della puleggia $A$, la massa $m_1$ e l'insieme costituito da $B$ col suo filo e le due masse $m_2$ ed $m_3$ , costituisce ancora una macchina di Atwood, per cui l'accelerazione di $m_1$ in tale riferimento, uguale e contraria a quella di $B$ ( e del suo ambaradan di puleggia e masse) è data, come modulo, da :
$a_1 = (m_1-(m_2+m_3))/(m_1+m_2+m_3)*g$ .
Anche qui, i versi dei vettori sono opposti: $m_1$ scende, la puleggia $B$ sale.
Poichè poi le accelerazioni Assoluta, Relativa e di Trascinamento ( la complementare qui è nulla) si combinano con la nota relazione : $ vecA_(ass) = vecA_(rel) + vecA_(trasc)$, è facile trovare le accelerazioni "assolute" di tutte le masse.
Nota l'accelerazione di $m_1$, ricavare la tensione nel filo 1 è una bazzecola.
Che ne pensi tu, ora? Ti confesso che sono un pò perplesso.Forse alla fine i risultati per le accelerazioni sono identici....
Noto però che nella tua soluzione per la tensione T c'è un errore dimensionale non da poco: al numeratore c'è il cubo di una massa, al denominatore c'è il quadrato...Che vuol dire? Hai dimenticato forse $g$ da qualche parte? Non ho analizzato la tua procedura...
ciao Navigatore e ti ringrazio per la tua approfondita risposta!
Temo che hai ragione , penso che
$T_1 = 2(4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)*g$ , appena ho un poco di tempo, rifaccio i dovuti calcoli.
Ho però dei dubbi, indubbiamente il tuo modo è molto più veloce e meno calcoloso del mio, però sinceramente al corso non abbiamo mai trattato le macchine di Atwood. O meglio non le abbiamo trattate nel dettaglio.
Potresti spiegarmi per piacere da dove vengono fuori, le seguenti relazioni
$a_b= (m_2-m_3)/(m_2+m3)*g$ (del sistema $B$) e l'altra relativa al sistema $A$ $a_1= (m_1-(m_2+m_3))/(m_1+m_2+m_3)$? scusami per la mia ignoranza
Temo che hai ragione , penso che
$T_1 = 2(4m_1*m_2*m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)*g$ , appena ho un poco di tempo, rifaccio i dovuti calcoli.
Ho però dei dubbi, indubbiamente il tuo modo è molto più veloce e meno calcoloso del mio, però sinceramente al corso non abbiamo mai trattato le macchine di Atwood. O meglio non le abbiamo trattate nel dettaglio.
Potresti spiegarmi per piacere da dove vengono fuori, le seguenti relazioni
$a_b= (m_2-m_3)/(m_2+m3)*g$ (del sistema $B$) e l'altra relativa al sistema $A$ $a_1= (m_1-(m_2+m_3))/(m_1+m_2+m_3)$? scusami per la mia ignoranza
LA macchina di Atwood è un dispositivo, costituito da una puleggia che si suppone di massa ( e quindi momento di inerzia) trascurabile, su cui passa un filo che regge, ai due estremi, due masse $m_1$ ed $m_2$.
Se le due masse sono uguali, si fanno equilibrio, e non si muove nulla. Se una massa è maggiore dell'altra, supponiamo $m_1>m_2$ , succede che il sistema masse+filo si muove di moto accelerato, perchè ovviamente la massa maggiore trascina verso il basso la minore. Questa accelerazione è tanto più grande quanto maggiore è la differenza $m_1-m_2$.
Analizzando le forze agenti e scrivendo la legge del moto per entrambe si arriva appunto alla relazione che ti ho detto tra $a$ e $g$ . Questo permette una misura indiretta di $g$, perchè è più facile misurare una accelerazione minore $a$, chiaramente.
Qui trovi più dettagli : http://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_di_Atwood
e anche qui : http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegn ... mica_I.pdf
e trovi anche il calcolo della tensione $T$ nel filo.
Nel tuo esercizio, le due masse pendenti da $B$ sono sicuramente una macchina di Atwood rispetto a $B$.
Poi, considerando $A$ , ti rendi conto che hai ugualmente una macchina di atwood, mettendo da una parte la massa $m_1$ e dall'altra la puleggia $B$ .
Aggiungo ora qualche conto . Assumo un asse $z$ con versore $veck$ orientato verso il basso.
L'accelerazione della massa $m_1$ risulta pari a : $veca_1 = 1/7gveck$
Perciò l'accelerazione della puleggia $B$ è uguale a : $ -1/7gveck$ . Questa è l'accelerazione di "trascinamento" della puleggia $B$. L'accelerazione di $m_2$ relativa a $B$ è pari a : $1/3gveck$, perciò l'accelerazione assoluta di $m_2$ vale : $(-1/7+1/3)gveck = 4/(21)gveck$.
Invece l'accelerazione assoluta di $m_3$ vale : $(-1/7 - 1/3)gveck = -(10)/(21)gveck$
Se le due masse sono uguali, si fanno equilibrio, e non si muove nulla. Se una massa è maggiore dell'altra, supponiamo $m_1>m_2$ , succede che il sistema masse+filo si muove di moto accelerato, perchè ovviamente la massa maggiore trascina verso il basso la minore. Questa accelerazione è tanto più grande quanto maggiore è la differenza $m_1-m_2$.
Analizzando le forze agenti e scrivendo la legge del moto per entrambe si arriva appunto alla relazione che ti ho detto tra $a$ e $g$ . Questo permette una misura indiretta di $g$, perchè è più facile misurare una accelerazione minore $a$, chiaramente.
Qui trovi più dettagli : http://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_di_Atwood
e anche qui : http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegn ... mica_I.pdf
e trovi anche il calcolo della tensione $T$ nel filo.
Nel tuo esercizio, le due masse pendenti da $B$ sono sicuramente una macchina di Atwood rispetto a $B$.
Poi, considerando $A$ , ti rendi conto che hai ugualmente una macchina di atwood, mettendo da una parte la massa $m_1$ e dall'altra la puleggia $B$ .
Aggiungo ora qualche conto . Assumo un asse $z$ con versore $veck$ orientato verso il basso.
L'accelerazione della massa $m_1$ risulta pari a : $veca_1 = 1/7gveck$
Perciò l'accelerazione della puleggia $B$ è uguale a : $ -1/7gveck$ . Questa è l'accelerazione di "trascinamento" della puleggia $B$. L'accelerazione di $m_2$ relativa a $B$ è pari a : $1/3gveck$, perciò l'accelerazione assoluta di $m_2$ vale : $(-1/7+1/3)gveck = 4/(21)gveck$.
Invece l'accelerazione assoluta di $m_3$ vale : $(-1/7 - 1/3)gveck = -(10)/(21)gveck$
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