Problema di Termodinamica [RISOLTO]
Salve, vorrei chiedere un aiuto per questo problema che apparentemente (e forse anche realmente) pare semplice ma che mi sta dando molti dubbi.
Il testo dice: Una mole di gas monoatomico è racchiusa dentro un contenitore metallico a pareti rigide e si trova a $300$ Kelvin, mentre il contenitore e l'ambiente circostante si trovano ad una temperatura di $280$ K.
Determinare il calore scambiato dal gas, la variazione di entropia del gas e dell'universo".
Allora intanto se il gas è monoatomico io so che $C_v = 3/2 R$ e $C_p = 5/2 R$.
L'idea che mi sono fatto del contenitore è che se ha pareti rigide, allora ho volume costante, quindi il calore scambiato è
$Q = nC_v \Delta T$ e questo lo trovo facilmente (se è corretto).
Mi viene detto di schematizzare l'ambiente come un serbatoio di calore, e qui ho già dei dubbi.
La variazione di entropia del gas, come la tratto? Se la trattassi come una isocora avrei bisogno della temperatura finale del gas (?)
Inoltre non ho ben capito cosa sia un "serbatoio di calore", cosa intendono? Ha entropia nulla?
Grazie e scusate i molti dubbi, ma sto cercando di capire ogni dubbio (il nostro prof non è stato granché...)
Il testo dice: Una mole di gas monoatomico è racchiusa dentro un contenitore metallico a pareti rigide e si trova a $300$ Kelvin, mentre il contenitore e l'ambiente circostante si trovano ad una temperatura di $280$ K.
Determinare il calore scambiato dal gas, la variazione di entropia del gas e dell'universo".
Allora intanto se il gas è monoatomico io so che $C_v = 3/2 R$ e $C_p = 5/2 R$.
L'idea che mi sono fatto del contenitore è che se ha pareti rigide, allora ho volume costante, quindi il calore scambiato è
$Q = nC_v \Delta T$ e questo lo trovo facilmente (se è corretto).
Mi viene detto di schematizzare l'ambiente come un serbatoio di calore, e qui ho già dei dubbi.
La variazione di entropia del gas, come la tratto? Se la trattassi come una isocora avrei bisogno della temperatura finale del gas (?)
Inoltre non ho ben capito cosa sia un "serbatoio di calore", cosa intendono? Ha entropia nulla?
Grazie e scusate i molti dubbi, ma sto cercando di capire ogni dubbio (il nostro prof non è stato granché...)
Risposte
"Serbatoio di calore" non è di sicuro un termine formale, ma credo voglia dire che l'ambiente si comporta come un "serbatoio" di capacità termica "infinita", in altri termini, la sua temperatura non cambia a fronte dell'interazione con il tuo sistema. Questo significa che conosci la temperatura finale del gas.
Per l'entropia parti sempre così. L'entropia di un sistema chiuso di conserva a meno di trasformazioni irreversibili. Quindi:
$$ \Delta S_{universo} = 0 , \Delta S_{universo} \geq \Delta S_{sistema} + \Delta S_{ambiente} $$
Dove l'uguaglianza vale nel caso di trasformazioni reversibili, mentre il maggiore stretto nel caso irreversibile. Nota che un altro modo intelligente di scrivere la relazione sopra, è il seguente:
$$ \Delta S_{universo} = \Delta S_{sistema} + \Delta S_{ambiente} + S_{irr} = 0$$
Quindi, in sostanza la variazione di entropia dell'universo è S_{irr}, la quantità di entropia generata per irreversibilità, ossia la differenza tra la variazione di entropia dell'ambiente e del sistema. Hai quindi bisogno di scrivere i due termini (sistema e ambiente) in funzione delle variabili termodinamiche che conosci e delle trasformazioni coinvolte.
Per la derivazione dell'espressione per la variazione di entropia del sistema puoi fare così:
$$ dU = Tds - pdV $$
A V=cost. :
$$ dU = Tds $$
Ma è anche vero che, sempre a volume costante:
$$ dU = cv(T) dT $$
Mettendo le due insieme, integrando, e trascurando la dipendenza del calore specifico dalla temperatura si ottiene:
$$ \Delta S = cv ln \frac{T_f}{T_i} $$
Ti ho voluto far vedere anche da dove arriva l'espressione qui sopra.
Per quanto riguarda l'ambiente, ricordando che l'entropia aumenta quando il calore entra, si ha:
$$ \Delta S = \frac{Q_{scambiato}}{T_{amb}} $$
And, you're done.
Per l'entropia parti sempre così. L'entropia di un sistema chiuso di conserva a meno di trasformazioni irreversibili. Quindi:
$$ \Delta S_{universo} = 0 , \Delta S_{universo} \geq \Delta S_{sistema} + \Delta S_{ambiente} $$
Dove l'uguaglianza vale nel caso di trasformazioni reversibili, mentre il maggiore stretto nel caso irreversibile. Nota che un altro modo intelligente di scrivere la relazione sopra, è il seguente:
$$ \Delta S_{universo} = \Delta S_{sistema} + \Delta S_{ambiente} + S_{irr} = 0$$
Quindi, in sostanza la variazione di entropia dell'universo è S_{irr}, la quantità di entropia generata per irreversibilità, ossia la differenza tra la variazione di entropia dell'ambiente e del sistema. Hai quindi bisogno di scrivere i due termini (sistema e ambiente) in funzione delle variabili termodinamiche che conosci e delle trasformazioni coinvolte.
Per la derivazione dell'espressione per la variazione di entropia del sistema puoi fare così:
$$ dU = Tds - pdV $$
A V=cost. :
$$ dU = Tds $$
Ma è anche vero che, sempre a volume costante:
$$ dU = cv(T) dT $$
Mettendo le due insieme, integrando, e trascurando la dipendenza del calore specifico dalla temperatura si ottiene:
$$ \Delta S = cv ln \frac{T_f}{T_i} $$
Ti ho voluto far vedere anche da dove arriva l'espressione qui sopra.
Per quanto riguarda l'ambiente, ricordando che l'entropia aumenta quando il calore entra, si ha:
$$ \Delta S = \frac{Q_{scambiato}}{T_{amb}} $$
And, you're done.
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