Problema di termodinamica.
buon giorno a tutti, sto provando a fare esercizi su Termodinamica ma questo non riesco a risolverlo, se qualcuno poteva risolverlo:
'''0.5 mol di un gas perfetto biatomico si trovano inizialmente
nello stato A di parametri VA = 0:01 m3
e TA = 420 K. Mediante
una trasformazione reversibile , nella quale il gas fornisce un lavoro
L= 1100 J, si portano nello stato B di volume doppio e temperatura
TB = 350 K. Si supponga ora di effettuare una serie di trasformazioni reversibili che partendo dallo stesso stato A raggiungono lo stesso
stato B attraverso un’adiabatica (AA’), un’isoterma (A’B’) e infine
un’adiabatica (B’B).
Se il lavoro fornito dal gas nella trasformazione complessiva AA’B’B
ha lo stesso valore di quello fornito nella prima trasformazione AB,
calcolare:
a) la temperatura del gas nell’isoterma;
b) le quantità di calore scambiate dal gas rispettivamente nelle
due trasformazioni;'''
grazie
ciao
'''0.5 mol di un gas perfetto biatomico si trovano inizialmente
nello stato A di parametri VA = 0:01 m3
e TA = 420 K. Mediante
una trasformazione reversibile , nella quale il gas fornisce un lavoro
L= 1100 J, si portano nello stato B di volume doppio e temperatura
TB = 350 K. Si supponga ora di effettuare una serie di trasformazioni reversibili che partendo dallo stesso stato A raggiungono lo stesso
stato B attraverso un’adiabatica (AA’), un’isoterma (A’B’) e infine
un’adiabatica (B’B).
Se il lavoro fornito dal gas nella trasformazione complessiva AA’B’B
ha lo stesso valore di quello fornito nella prima trasformazione AB,
calcolare:
a) la temperatura del gas nell’isoterma;
b) le quantità di calore scambiate dal gas rispettivamente nelle
due trasformazioni;'''
grazie
ciao
Risposte
Credo che il problema stia nella seconda trasformazione $A\ A'\ B'\ B$.
Possiamo provare a impostare delle equazioni e vedere se abbiamo tutti i dati sufficienti per fissare le 3 curve (adiabatica+isoterma+adiabatica)
Nelle due adiabatiche vale sempre $\Delta U = Q - W$, con $Q=0$ in quanto adiabatica, quindi rimane $\Delta U = - W$.
Questa ci è utile siccome abbiamo come dato il lavoro. D'altra parte $\Delta U = n c_V \Delta T$.
Se chiamiamo $T_(A')=T_(B')$ la temperatura dell'isoterma, abbiamo per le due adiabatiche:
AA'
$\Delta U_(A A') = -W_(A A') = n c_V (T_(A')-T_A)$
B'B
$\Delta U_(B' B) = -W_(B' B) = n c_V (T_B-T_(B'))= n c_V (T_B-T_(A'))$
Infine nell'isoterma $A'B'$ abbiamo che $Q_(A'B')=W_(A'B')= nc_V T_(A') ln((V_(B'))/(V_(A')))$
Per calcolare il rapporto $(V_(B'))/(V_(A'))$ dobbiamo ricordare che nelle adiabatiche vale questa relazione
$(T_1)/(T_0)=(V_0^(\gamma-1))/(V_1^(\gamma-1))$ per una trasformazione dal punto 1 al punto 0 o viceversa.
Quindi, nelle due adiabatiche possiamo scrivere
$(T_(A'))/(T_A)=(V_A^(\gamma-1))/(V_(A')^(\gamma-1))$
$(T_(B))/(T_B')=(V_(B')^(\gamma-1))/(V_B^(\gamma-1))$
Ricordando che $T_(A')=T_(B')$ e moltiplicando membro a membro le ultime due espressioni:
$(T_B)/(T_A)=(V_A^(\gamma-1))/(V_(A')^(\gamma-1))(V_(B')^(\gamma-1))/(V_B^(\gamma-1))$
ovvero
$((T_B)/(T_A))^(1/(\gamma-1))(V_B)/(V_A)=V_(B')/V_(A')$
Quindi il rapporto $V_(B')/V_(A')$ lo possiamo calcolare esplicitamente, siccome abbiamo tutti i dati.
Ora sommiamo le espressioni dei lavori cioè:
$W=W_(A A')+W_(A'B')+W_(B'B)= -n c_V (T_(A')-T_A)-n c_V (T_B-T_(A'))+nc_V T_(A') ln((V_(B'))/(V_(A')))$,
l'esercizio ci dice che la somma è $W=1100 J$.
Abbiamo quindi tutto per calcolare $T_(A')$.
Adesso che sono note tutte le coordinate termodinamiche, gli altri quesiti dovrebbero essere facili.
Possiamo provare a impostare delle equazioni e vedere se abbiamo tutti i dati sufficienti per fissare le 3 curve (adiabatica+isoterma+adiabatica)
Nelle due adiabatiche vale sempre $\Delta U = Q - W$, con $Q=0$ in quanto adiabatica, quindi rimane $\Delta U = - W$.
Questa ci è utile siccome abbiamo come dato il lavoro. D'altra parte $\Delta U = n c_V \Delta T$.
Se chiamiamo $T_(A')=T_(B')$ la temperatura dell'isoterma, abbiamo per le due adiabatiche:
AA'
$\Delta U_(A A') = -W_(A A') = n c_V (T_(A')-T_A)$
B'B
$\Delta U_(B' B) = -W_(B' B) = n c_V (T_B-T_(B'))= n c_V (T_B-T_(A'))$
Infine nell'isoterma $A'B'$ abbiamo che $Q_(A'B')=W_(A'B')= nc_V T_(A') ln((V_(B'))/(V_(A')))$
Per calcolare il rapporto $(V_(B'))/(V_(A'))$ dobbiamo ricordare che nelle adiabatiche vale questa relazione
$(T_1)/(T_0)=(V_0^(\gamma-1))/(V_1^(\gamma-1))$ per una trasformazione dal punto 1 al punto 0 o viceversa.
Quindi, nelle due adiabatiche possiamo scrivere
$(T_(A'))/(T_A)=(V_A^(\gamma-1))/(V_(A')^(\gamma-1))$
$(T_(B))/(T_B')=(V_(B')^(\gamma-1))/(V_B^(\gamma-1))$
Ricordando che $T_(A')=T_(B')$ e moltiplicando membro a membro le ultime due espressioni:
$(T_B)/(T_A)=(V_A^(\gamma-1))/(V_(A')^(\gamma-1))(V_(B')^(\gamma-1))/(V_B^(\gamma-1))$
ovvero
$((T_B)/(T_A))^(1/(\gamma-1))(V_B)/(V_A)=V_(B')/V_(A')$
Quindi il rapporto $V_(B')/V_(A')$ lo possiamo calcolare esplicitamente, siccome abbiamo tutti i dati.
Ora sommiamo le espressioni dei lavori cioè:
$W=W_(A A')+W_(A'B')+W_(B'B)= -n c_V (T_(A')-T_A)-n c_V (T_B-T_(A'))+nc_V T_(A') ln((V_(B'))/(V_(A')))$,
l'esercizio ci dice che la somma è $W=1100 J$.
Abbiamo quindi tutto per calcolare $T_(A')$.
Adesso che sono note tutte le coordinate termodinamiche, gli altri quesiti dovrebbero essere facili.
grazie mille, la spiegazione è stato molto chiara.
ho provato a mettere i dati e sembra che sia venuto un risultato accettabile =)
ho provato a mettere i dati e sembra che sia venuto un risultato accettabile =)
forse sto sbagliano io, ma ho provato a rifare tutti i conti possibili, il risultato non mi viene deve venire T= 358K, a me continua venire -31K; ho provato a rifare i conti e mi sembra che tu abbia sbagliato a scrivere la formula per il calcolo del rapporto di Vb'/Va' (ripeto mi sembra), perche a me viene Vb'/Va' = (Vb/Va) * ( Tb/Ta)^(1/lambda - 1), facendo cosi mi viene la temperatura di 150K. quindi mi potresti fare anche i conti per trovare la temperatura per cortesia ? cosi vedo dove sbaglio.
Si hai ragione, è un errore.
ce un altro piccolo errore che sballava tutti i conti quello nel isoterma il Wa'b'=Qa'b'= n R Ta' ln(vb'/va')..... era R apposto del Cv che faceva sballare tutti i conti, adesso i conti tornano.
grazie mille per aiuto Quinzio.
grazie mille per aiuto Quinzio.
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