Problema di meccanica...cinematica
il testo dice:
in un relly automobilistico una macchina deve percorrere nel minor tempo possibile un tratto d=1km, partendo e arrivando da fermo. le caratteristiche dell'auto sono tali che l'accelerazione max è $a_1=2.5m/s^2$, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima di $a_2=-3.8m/s^2$. supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il tempo ottenuto nella prova.
io ho risolto così:
considero il tratto d diviso in 2: un tratto A in cui la macchina accelera, e un tratto B dove la macchina frena per fermarsi.
il punto in cui inizia a frenare lo chiamo $x_1$.
se nel tratto A la macchina accelera la legge oraria sarà: $x(t)=x_0+V_0*t_a+(1/2)*a_1*t_a^2=(1/2)*a_1*t_a^2$ dove $t_a$ è il tempo di percorrenza di tale tratto. la velocità nel punto $x_1$ è $V(t_a)=V_1=a_1*t_a$
nel tratto B, considerando come velocità iniziale $V_1$ e spazio inizialmente percorso $x_1$ ho che la legge oraria è:
$x(t)=x_1+V_1*t-(1/2)*a_2*t^2$ con $x(t_b)=d => (1/2)*a_2*t_b^2 - V_1*t_b + d- x_1=0$ (*)
poichè $v(x)^2=V_1^2-2a_2(x-x_1)$ e se $x=d->V_1^2-2a_2(d-x_1)=0$ allora $d-x_1=V_1^2/(2*a_2)$ e $x_1=d-V_1^2/(2*a_2)$
ora considerando $x(t)=(1/2)*a_1*t_a^2$ e $(1/2)*a_2*t_b^2 - V_1*t + d- x_1=0$ dove $d-x_1=V_1^2/(2*a_2)$ e $x_1=d-V_1^2/(2*a_2)$ e $V_1=a_1*t_a$ risolvo il sistema a 2 incognite (tempi) con $d-(a_1*t_a)^2/(2a_2)=1/2*a_1*t_a^2 $ e $1/2*a_2*t_b^2-a_1*t_a*t_b-(a_1*t_a)^2/(2a_2)$
mi risulta che $t=t_a+t_b=21.97s+14.15s=36.13s$
è giusto? il risultato viene ma alla fine mi sono accorto che la formula (*) era corretta scritta così:
$(1/2)*a_2*(t_b-t_a)^2 - V_1*(t_b-t_a) + d- x_1=0$
però così facendo non viene più giusto il risultato...
in un relly automobilistico una macchina deve percorrere nel minor tempo possibile un tratto d=1km, partendo e arrivando da fermo. le caratteristiche dell'auto sono tali che l'accelerazione max è $a_1=2.5m/s^2$, mentre il sistema di freni permette una decelerazione massima di $a_2=-3.8m/s^2$. supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il tempo ottenuto nella prova.
io ho risolto così:
considero il tratto d diviso in 2: un tratto A in cui la macchina accelera, e un tratto B dove la macchina frena per fermarsi.
il punto in cui inizia a frenare lo chiamo $x_1$.
se nel tratto A la macchina accelera la legge oraria sarà: $x(t)=x_0+V_0*t_a+(1/2)*a_1*t_a^2=(1/2)*a_1*t_a^2$ dove $t_a$ è il tempo di percorrenza di tale tratto. la velocità nel punto $x_1$ è $V(t_a)=V_1=a_1*t_a$
nel tratto B, considerando come velocità iniziale $V_1$ e spazio inizialmente percorso $x_1$ ho che la legge oraria è:
$x(t)=x_1+V_1*t-(1/2)*a_2*t^2$ con $x(t_b)=d => (1/2)*a_2*t_b^2 - V_1*t_b + d- x_1=0$ (*)
poichè $v(x)^2=V_1^2-2a_2(x-x_1)$ e se $x=d->V_1^2-2a_2(d-x_1)=0$ allora $d-x_1=V_1^2/(2*a_2)$ e $x_1=d-V_1^2/(2*a_2)$
ora considerando $x(t)=(1/2)*a_1*t_a^2$ e $(1/2)*a_2*t_b^2 - V_1*t + d- x_1=0$ dove $d-x_1=V_1^2/(2*a_2)$ e $x_1=d-V_1^2/(2*a_2)$ e $V_1=a_1*t_a$ risolvo il sistema a 2 incognite (tempi) con $d-(a_1*t_a)^2/(2a_2)=1/2*a_1*t_a^2 $ e $1/2*a_2*t_b^2-a_1*t_a*t_b-(a_1*t_a)^2/(2a_2)$
mi risulta che $t=t_a+t_b=21.97s+14.15s=36.13s$
è giusto? il risultato viene ma alla fine mi sono accorto che la formula (*) era corretta scritta così:
$(1/2)*a_2*(t_b-t_a)^2 - V_1*(t_b-t_a) + d- x_1=0$
però così facendo non viene più giusto il risultato...
Risposte
Ti do una traccia: il tempo minimo lo otteniamo accelerando al massimo e frenando al massimo (questo dovrebbe essere abbastanza ovvio, in caso contrario ragionaci).
Quindi gli spazi percorsi nel tratto di accelerazione e di frenata $s_a , s_f$ sono dati da $s = 1 / 2 a t^2$, dato che parti e arrivi con velocità nulle.
Ma possiamo anche scrivere la velocità di punta raggiunta come $v = a_acdot t_a = a_f cdot t_f$, sostituendo nelle due equazioni sopra e conoscendo $s_a + s_f$ si ottiene il risultato
Quindi gli spazi percorsi nel tratto di accelerazione e di frenata $s_a , s_f$ sono dati da $s = 1 / 2 a t^2$, dato che parti e arrivi con velocità nulle.
Ma possiamo anche scrivere la velocità di punta raggiunta come $v = a_acdot t_a = a_f cdot t_f$, sostituendo nelle due equazioni sopra e conoscendo $s_a + s_f$ si ottiene il risultato
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