Problema di meccanica statistica quantistica
Si consideri un gas di DH(molecola di idrogeno e deuterio con distanza fra i nuclei all'equilibrio $a$.
1)Scrivere l'espressione generale della funzione di partizione rotazionale(di singola particella) $Z$.Si consideri la sola rotazione attorno ad un asse
perpendicolare a quello della molecola.
ora... $Z=Gl e^(-1/(kT)El)$ Ho 2 domande:
perchè $Gl$(degenerazione dei livelli energetici di indice $l$) è uguale a $2l+1$?
Perchè il momento d' inerzia della molecola non è $I=(a/2)^2(m1+m2)$ ?dove m1 ed m2 sono la massa dei due atomi.
Questa è la parte che non capisco di un esercizio svolto in classe.
1)Scrivere l'espressione generale della funzione di partizione rotazionale(di singola particella) $Z$.Si consideri la sola rotazione attorno ad un asse
perpendicolare a quello della molecola.
ora... $Z=Gl e^(-1/(kT)El)$ Ho 2 domande:
perchè $Gl$(degenerazione dei livelli energetici di indice $l$) è uguale a $2l+1$?
Perchè il momento d' inerzia della molecola non è $I=(a/2)^2(m1+m2)$ ?dove m1 ed m2 sono la massa dei due atomi.
Questa è la parte che non capisco di un esercizio svolto in classe.
Risposte
Ciao!
L'energia della molecola è $E = 1/2 I (omega)^2 = 1/2 (L^2)/I = 1/2 bar(h)^2 l (l+1)/I$
(questo perchè gli autovalori di $L^2$ sono $bar(h) l (l+1)$).
L'energia, quindi, dipende dal numero quantico $l$, che "seleziona" il modulo (quadro) di $L$, ma non dipende da $m$, che invece descrive la componente di $L$ lungo uno dei tre assi cartesiani. Al variare di $m$, quindi, l'autovalore dell'energia rimane sempre lo stesso, mentre lo stato del sistema (descritto dalla terna $n$, $l$ e $m$) invece varia. Siccome vale la regola $-l <= m <= l$, ci sono $2l + 1$ valori possibili per $m$, quindi (a $n$ e $l$ fissati) ci sono $2l + 1$ stati associati allo stesso valore di energia.
Non ho copiato tutti i passaggi dell'esercizio, quindi non so quale espressione sia stata usata per $I$...è diversa?
L'energia della molecola è $E = 1/2 I (omega)^2 = 1/2 (L^2)/I = 1/2 bar(h)^2 l (l+1)/I$
(questo perchè gli autovalori di $L^2$ sono $bar(h) l (l+1)$).
L'energia, quindi, dipende dal numero quantico $l$, che "seleziona" il modulo (quadro) di $L$, ma non dipende da $m$, che invece descrive la componente di $L$ lungo uno dei tre assi cartesiani. Al variare di $m$, quindi, l'autovalore dell'energia rimane sempre lo stesso, mentre lo stato del sistema (descritto dalla terna $n$, $l$ e $m$) invece varia. Siccome vale la regola $-l <= m <= l$, ci sono $2l + 1$ valori possibili per $m$, quindi (a $n$ e $l$ fissati) ci sono $2l + 1$ stati associati allo stesso valore di energia.
Non ho copiato tutti i passaggi dell'esercizio, quindi non so quale espressione sia stata usata per $I$...è diversa?
Per quanto riguarda il momento di inerzia mi pare di capire che tu l'abbia calcolato rispetto al punto medio tra le due masse...forse dovresti calcolarlo rispetto al centro di massa...magari è una cavolata, prova a postare l'espressione che ti da l'esercizio così vediamo.
Si Vinx hai ragione ,grazie.Da quando non copi tutti i passaggi? 
Comunque stando agli appunti della silvia il momento d'inerzia è:$(m1 m2)/(m1+m2) a^2)$
Calcolando il momento d'inerzia rispetto al centro di massa i due risultati non coincidono.
Comunque mi sembra strano ,premetto che io e vinx non abbiamo ancora studiato fisica atomica però le molecole non dovrebbero ruotare come dici tu attorno
al centro di massa?
Comunque stando agli appunti della silvia il momento d'inerzia è:$(m1 m2)/(m1+m2) a^2)$
Calcolando il momento d'inerzia rispetto al centro di massa i due risultati non coincidono.
Comunque mi sembra strano ,premetto che io e vinx non abbiamo ancora studiato fisica atomica però le molecole non dovrebbero ruotare come dici tu attorno
al centro di massa?
Quella espressione è calcolata come se $I$ fosse trovato non rispetto al CM ma rispetto a una delle due molecole.
Se, per esempio, $I$ si calcola rispetto ad un asse passante per $m_1$, si ha $I = m_2 a^2$
Siccome, però, le due masse sono finite e confrontabili fra loro, bisogna sostituire $m_2$ con $mu = (m_1 m_2)/(m_1 + m_2)$
Bah...
Se, per esempio, $I$ si calcola rispetto ad un asse passante per $m_1$, si ha $I = m_2 a^2$
Siccome, però, le due masse sono finite e confrontabili fra loro, bisogna sostituire $m_2$ con $mu = (m_1 m_2)/(m_1 + m_2)$
Bah...
Si lo sò vinx lo avevo capito anche io, mi associo bah....
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