Problema di Meccanica Razionale

[squalllionheart]

Stranamente oggi ho capito come inserire le immagini sul forum quindi mi sono evitata mezz'ora a scrivere il testo, il compito è questo:

Ovviamente vorrei capire se è giusta la mia soluzione Ve ne sarei molto grata.
In particolare vorrei sapere se ho scritto bene la Lagrangiana.
Prendo come coordinate Lagrangiane $x$ e $y$.
A questo punto sapendo che $P$ e $Q$ sono sulla falda superiore e inferiore del paraboloide, inoltre i due punti avendo stessa proiezione sul piano $oxy$ avranno coordinate:
$P(x,y,sqrt(x^2+y^2+c^2))$
$Q(x,y,-sqrt(x^2+y^2+c^2))$
Mi calcolo le due velocità che sono rispettivamente:
$v_P=(dot x,dot y,1/2 (x^2+y^2+c^2)^(-1/2)(2x dot x+ 2 y dot y))$
$v_Q=(dot x,dot y,-1/2 (x^2+y^2+c^2)^(-1/2)(2x dot x+ 2 y dot y))$
Il quadrato delle velocità è:
$v_P^2=v_Q^2=(dot x)^2+(dot y)^2+1/4 (x^2+y^2+c^2)^(-1)(2x dot x+ 2 y dot y)^2$

Segue che $T=1/2(m+M)v_P^2$
Rimane il potenziale:
$U=Mg(sqrt(x^2+y^2+c^2))+mg(-sqrt(x^2+y^2+c^2))+1/2k_1 bar (PQ)^2+1/2k_2 bar (PP')^2$

Colcoliamoci le due distanze:
$bar (PQ)^2=4(x^2+y^2+c^2)$
Per $bar (PP')^2$ occorre prima calcolare le coordinate di $P'$ ma dalle informazioni che abbiamo si trova che sono:
$P'(x,0,2c)$
Dunque $bar (PP')=y^2+(2c-sqrt(x^2+y^2+c^2))^2$

Abbiamo che $L=T-U=1/2(m+M)(dot x)^2+(dot y)^2+1/4 (x^2+y^2+c^2)^(-1)(2x dot x+ 2 y dot y)^2-Mg(sqrt(x^2+y^2+c^2))-mg(-sqrt(x^2+y^2+c^2))-1/2k_1 (4(x^2+y^2+c^2))-1/2k_2 (y^2+(2c-sqrt(x^2+y^2+c^2))^2)$


E' bella lunga ma credo che sia giusta, che dite?
Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

Dovrebbe andar bene. In ogni modo, $U$ è l'energia potenziale, non il potenziale. Inoltre, devi aver dimenticato una parentesi nella formula finale.

[squalllionheart]

Si si hai ragione è energia potenziale, per la parentesi forse ho capito quale dici:

$L=T-U=1/2(m+M)((dot x)^2+(dot y)^2+1/4 (x^2+y^2+c^2)^(-1)(2x dot x+ 2 y dot y)^2)-Mg(sqrt(x^2+y^2+c^2))-mg(-sqrt(x^2+y^2+c^2))-1/2k_1 (4(x^2+y^2+c^2))-1/2k_2 (y^2+(2c-sqrt(x^2+y^2+c^2))^2)$

Grazie.