Problema di meccanica razionale

[lorsalva]

ciao ragazzi, volevo proporvi un problema di meccanica razionale



come lagrangiana trovo
$L=ml_1^2dot(alpha)^2+ m/2l_2^2dot(beta)^2 + ml_1l_2cos(alpha - beta)dot(alpha)dot(beta) + mgl_2cos(beta) + 2mgl_1cos(alpha)$

quindi le configurazione di equilibrio sono $(0,0) (0,pi) (pi,0) (pi,pi)$ di cui solo la prima stabile

i problemi sono nella seconda parte del problema, inserendo la lagrangiana nelle equazioni di Lagrange e dopo aver linearizzato attorno a (0,0) trovo

$l_1ddot(alpha) + l_2ddot(beta) = -gbeta$
$2l_1ddot(alpha) + l_2ddot(beta) = -2galpha$

tali sistema di equazioni non riesco a risolverlo
ottenete gli stessi risultati?
vi ringrazio se riuscite a darmi una mano
ciao

[cyd1]

a me la linearizzazione viene
$ddot(alpha) = -g/(l1) alpha$
$ddot(beta) = -g/(l2) beta$

non so se sia giusto però

[lorsalva]

grazie per la pronta risposta
ma io continuo a trovare il risultato riportato sopra
potresti spiegarmi più dettagliatamente i tuoi passaggi?
ciao

[Sk_Anonymous]

A me risulta il tuo stesso risultato:

$\{(2l_1ddot \alpha+l_2ddot \beta=-2g\alpha),(l_1ddot \alpha+l_2ddot \beta=-g\beta):}$

Per determinare le pulsazioni dei modi normali non è necessario risolvere il sistema. Viceversa, è necessario diagonalizzare simultaneamente le due matrici a primo e secondo membro.

[cyd1]

rifaccio i passaggi per una equazione cosi mi di te cosa sbaglio,
$(del L)/(del dot(alpha)) = 2ml_1^2 dot(alpha) + ml_1l_2dot (beta) cos(alpha - beta)$

$d/(dt) (del L)/(del dot(alpha)) = 2 m l_1 ^2 ddot(alpha) + m l_1 l_2 cos(alpha-beta) ddot(beta) - m l_1 l_2 dot(beta) sin(alpha - beta) (dot(alpha) - dot(beta))$

$(del L)/(del alpha) = - m l_1 l_2 dot(alpha) dot(beta) sin(alpha-beta) -2m g l_1 sin alpha$

quindi l'equazione del moto è $ddot(alpha) = - l_2/(2 l_1) cos(alpha-beta) ddot(beta) + l_2/(2 l_1) dot(beta) sin(alpha - beta) (dot(alpha) - dot(beta)) - l_2/(2 l_1) dot(alpha) dot(beta) sin(alpha-beta) - g/l_1 sin alpha$

è nella forma $ddot(alpha) = f(alpha,beta)$

sviluppo in serie e mi fermo alla prima approssimazione, $f(alpha,beta) ~ = f(0,0) + (del f)/(del alpha) |_(0,0) * (alpha - alpha0) + (del f)/(del beta) |_(0,0) * (beta- beta0)$

onsidero le pure variazioni $del alpha = alpha - alpha0$ -> $del ddot(alpha) = f -f(0,0)$ e quindi la linearizzazione mi diventa (identifico $alpha$ con $del alpha$)
(lo stesso vale per beta)
$ddot(alpha) ~ = (del f)/(del alpha) |_(0,0) * (alpha) + (del f)/(del beta) |_(0,0) * (beta)$

$(del f)/(del alpha) |_(0,0) = -g/l_1$
$(del f)/(del beta) |_(0,0) = 0$

[Sk_Anonymous]

Io, senza applicare tutte quelle formule, faccio le seguenti approssimazioni:

$cos(\alpha-\beta)~~1$

$sin(\alpha-\beta)~~\alpha-\beta$

Devono venire le stesse equazioni. Mi sembra che tu abbia dimenticato il termine contenente $ddot(\beta)$.

[cyd1]

eh ma nella mia equazione $sin(alpha-beta)|_(0,0) = 0$

[lorsalva]

"speculor":A me risulta il tuo stesso risultato:

$\{(2l_1ddot \alpha+l_2ddot \beta=-2g\alpha),(l_1ddot \alpha+l_2ddot \beta=-g\beta):}$

Per determinare le pulsazioni dei modi normali non è necessario risolvere il sistema. Viceversa, è necessario diagonalizzare simultaneamente le due matrici a primo e secondo membro.

diagonalizzando simultaneamente le due matrici a primo e secondo membro ottengo:

$lambda_1=(g(l_1+l_2) + gsqrt(l_1^2 + l_2^2 - 6l_1l_2))/(2l_1l_2)$

$lambda_2=(g(l_1+l_2) - gsqrt(l_1^2 + l_2^2 - 6l_1l_2))/(2l_1l_2)$

sono queste le soluzioni?

[cyd1]

ho notato che il termine in $ddot(beta)$ viene dato, nello sviluppo in serie , da $f(0,0) = -l_2/(2 l_1) ddot(beta)$
quindi l'equazione sarebbe $ddot(alpha) = -l_2/(2 l_1) ddot(beta) - g/l_1 alpha$ che è quella che viene a voi,
però stiamo considerando pure variazioni no? quindi se $f = f0 + Delta f$ cioè f è la somma di una componente costante piu le variazioni relative ad essa allora $Delta f = f - f0$
dunque dato che nel sistema lineare che corrisponde alla linearizzazione devo parlare in termini di pure variazioni, cioè il modello linearizzato diventa $f- f(0,0) = (del f)/(del alpha) |_(0,0) * (alpha - alpha0)$ cioè poichè $ddot(alpha) = f$ , $f(0,0)=-l_2/(2 l_1) ddot(beta)$ e $(del f)/(del alpha) |_(0,0)=-g/l_1$
l'equazione linearizzata che dovrebbe essere $del ddot(alpha) = -g/l_1 * (del alpha)$ poichè $del alpha = alpha -alpha0 = alpha$ diventa $ddot(alpha) + l_2/(2 l_1) ddot(beta) = -g/l_1 alpha$

quindi si sono equivalenti però una è in termini di pure variazioni, l'altra no

[Sk_Anonymous]

@cyd
Se consideri solo il primo termine dello sviluppo, allora evidentemente $sin(\alpha-\beta)=0$.
Ma siccome stiamo facendo uno sviluppo fino a comprendere i termini del primo ordine, allora $sin(\alpha-\beta)~~\alpha-\beta$.

@lorsalva
Se sei interessato solo alle pulsazioni dei modi normali, devi trovare gli autovalori della matrice a primo membro. Puoi anche non parlare esplicitamente di diagonalizzazione simultanea delle due matrici.

[lorsalva]

"speculor":
Se sei interessato solo alle pulsazioni dei modi normali, devi trovare gli autovalori della matrice a primo membro. Puoi anche non parlare esplicitamente di diagonalizzazione simultanea delle due matrici.

scusami se ti disturbo nuovamente, ma a te quanto vengono le pulsazioni dei modi normali di oscillazione?

[Sk_Anonymous]

Ho detto una sciocchezza, non bisogna trovare gli autovalori della matrice a primo membro. Non so perchè, forse cercavo una scorciatoia, in realtà il procedimento corretto è quello della diagonalizzazione simultanea di cui abbiamo parlato all'inizio. In ogni modo, piuttosto che procedere con la diagonalizzazione completa, esiste una formula per le pulsazioni. Immagino sia quella che tu hai utilizzato. Se vuoi me la vado a cercare e confronto i risultati.

[lorsalva]

le pulsazioni che io ottengo sono le radici quadrate di $lambda_1$ e $lambda_2$ riportate in precedenza
ottieni lo stesso risultato?

[Sk_Anonymous]

A me risulta:

$\omega^2=(g(l_1+l_2)+-gsqrt(l_1^2+l_2^2))/(l_1l_2)$

Non vorrei che avessi utilizzato solo in parte la formula risolutiva ridotta. Del resto, il tuo radicando non è sempre positivo per ogni valore delle due lunghezze.

[lorsalva]

ma qual è la formula per le pulsazioni che hai utilizzato? potresti riportarla?

[Sk_Anonymous]

Quella che puoi trovare anche su Wikipedia.

[lorsalva]

grazie speculor
avevo sbagliato un passaggio, ora ottengo il tuo stesso risultato per quanto riguarda le pulsazioni
credo che il problema si possa considerare risolto