Problema di Meccanica Razionale
Scrivo tutto il testo e la soluzione mia e del proff che credo abbia fatto un pò di confusione nella soluzione lasciata:
Un sistema meccanico pesante, appartenente al piano verticale $Oxy$ (dove l'asse delle $x$ è orizzontale e quella delle $y$ è verticale ascendente), è costituito da due punti materiali $P$ e $Q$; sia m la massa di $P$ e si supponga che la massa di $Q$ sia trascurabile. Il punto $Q$ è vincolato in modo tale da mantenere inalterata la sua distanza $R>0$ dall'origine $O$ del sistema di riferimento. Il punto $P$ è libero di muoversi su una guida rettilinea (di massa trascurabile) passante per l'origine e per il punto $Q$. I vincoli sono realizzait in modo tale che il punto $P$ possa attravesare $Q$. Il punto $P$ è collegato alla sua proiezione $H$ sull'asse $x$ mediante una molla di costante $k_1>0$; invece, il punto $Q$ è collegato alla sua proiezione sull'asse $y$ mediante una molla di costante $k_2>0$ Entrambe le molle sono da considerarsi ideali e di lunghezza a riposo nulla.
(1) Lagrangiana
(2) Punti di equilibrio e stabilità
[img ]http://imageshack.us/photo/my-images/5/senzaolot.jpg/ [/img]
L'immagine non so come farla vedere... l'url è quello che potete vedere, le due molle non sapevo come disegnarle, inoltre ho messo $alpha$ invece di $theta$, spero possiate perdonarmi ;P...Forse un giorno compreò una tavoletta wacom ;p
(1)
Come da disegno ho usato come coordinate $(rho,theta)$.
A questo punto riportiato energia cinetica, potenziale, e lagrangiana...
$P(rhosintheta,-rhocostheta)$
$Q(Rsintheta, -Rcostheta)$
La velocità di $P$ è $(dot rho sintheta+rhocostheta dot theta,-dot rhocostheta+rhosinthetadottheta)$
Osservando che la massa di $Q$ è trascurabile, posso affermare che $Q$ contribuirà solo per il potenziale non dando nessun contributo per l'energia cinetica.
Segue che l'energia cinetica è:
$T=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)$
Mentre per il potenziale abbiamo che è determinato da due fattori, quello della forza peso e quello della forza elastica inoltre in questo caso influisce anche $Q$ alla determinazione del potenziale.
Il potenziale gravitazionale è:
$U_g=-mgrhocostheta$
$U_e=1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
$U=-mgrhocostheta+1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
Segue che la Lagrangiana è:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2+1/2k_2R^2sintheta^2$
Il proff invece ci mette un termine in meno, cioè:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2$
(2) Continuano le discripanze...
Io coerentemente a come fatto nel punto precendente uso il potenziale trovato da me...
derivo rispetto a $p$ e $theta$:
$U=-mgrhocostheta+1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
$\{((partialU)/(partial rho)=0), ((partialU)/(partial rho)=0 ):}$
$\{(-mgcostheta+k_1rhocostheta^2=0), (mgrhosintheta-k_1rho^2costhetasintheta-k_2R^2sinthetacostheta=0 ):}$
Il mio proff sembra essersi ricordato che nel primo punto ha dimenticato un termine ma il segno è diverso...
$\{(-mgcostheta+k_1rhocostheta^2=0), (mgrhosintheta-k_1rho^2costhetasintheta+k_2R^2sinthetacostheta=0 ):}$
Io non so che dire...Voi che ne pensate sapete aiutarmi?
Grazie
Un sistema meccanico pesante, appartenente al piano verticale $Oxy$ (dove l'asse delle $x$ è orizzontale e quella delle $y$ è verticale ascendente), è costituito da due punti materiali $P$ e $Q$; sia m la massa di $P$ e si supponga che la massa di $Q$ sia trascurabile. Il punto $Q$ è vincolato in modo tale da mantenere inalterata la sua distanza $R>0$ dall'origine $O$ del sistema di riferimento. Il punto $P$ è libero di muoversi su una guida rettilinea (di massa trascurabile) passante per l'origine e per il punto $Q$. I vincoli sono realizzait in modo tale che il punto $P$ possa attravesare $Q$. Il punto $P$ è collegato alla sua proiezione $H$ sull'asse $x$ mediante una molla di costante $k_1>0$; invece, il punto $Q$ è collegato alla sua proiezione sull'asse $y$ mediante una molla di costante $k_2>0$ Entrambe le molle sono da considerarsi ideali e di lunghezza a riposo nulla.
(1) Lagrangiana
(2) Punti di equilibrio e stabilità
[img ]http://imageshack.us/photo/my-images/5/senzaolot.jpg/ [/img]
L'immagine non so come farla vedere... l'url è quello che potete vedere, le due molle non sapevo come disegnarle, inoltre ho messo $alpha$ invece di $theta$, spero possiate perdonarmi ;P...Forse un giorno compreò una tavoletta wacom ;p
(1)
Come da disegno ho usato come coordinate $(rho,theta)$.
A questo punto riportiato energia cinetica, potenziale, e lagrangiana...
$P(rhosintheta,-rhocostheta)$
$Q(Rsintheta, -Rcostheta)$
La velocità di $P$ è $(dot rho sintheta+rhocostheta dot theta,-dot rhocostheta+rhosinthetadottheta)$
Osservando che la massa di $Q$ è trascurabile, posso affermare che $Q$ contribuirà solo per il potenziale non dando nessun contributo per l'energia cinetica.
Segue che l'energia cinetica è:
$T=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)$
Mentre per il potenziale abbiamo che è determinato da due fattori, quello della forza peso e quello della forza elastica inoltre in questo caso influisce anche $Q$ alla determinazione del potenziale.
Il potenziale gravitazionale è:
$U_g=-mgrhocostheta$
$U_e=1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
$U=-mgrhocostheta+1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
Segue che la Lagrangiana è:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2+1/2k_2R^2sintheta^2$
Il proff invece ci mette un termine in meno, cioè:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2$
(2) Continuano le discripanze...
Io coerentemente a come fatto nel punto precendente uso il potenziale trovato da me...
derivo rispetto a $p$ e $theta$:
$U=-mgrhocostheta+1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
$\{((partialU)/(partial rho)=0), ((partialU)/(partial rho)=0 ):}$
$\{(-mgcostheta+k_1rhocostheta^2=0), (mgrhosintheta-k_1rho^2costhetasintheta-k_2R^2sinthetacostheta=0 ):}$
Il mio proff sembra essersi ricordato che nel primo punto ha dimenticato un termine ma il segno è diverso...
$\{(-mgcostheta+k_1rhocostheta^2=0), (mgrhosintheta-k_1rho^2costhetasintheta+k_2R^2sinthetacostheta=0 ):}$
Io non so che dire...Voi che ne pensate sapete aiutarmi?
Grazie
Risposte
Più che un post è un lenzuolo! 
lo so ma... è questo... poi si lamentano che siamo troppo sintetici ;p
Mi pare che l'ultima del tuo prof sia giusta. Non è altro che il bilancio dei momenti sull'origine. Il tuo potenziale ha un segno sbagliato, infatti il potenziale deve crescere e non calare quando la molla k2 si estende perché l'angolo aumenta.
Premetto che non sono un matematico ma uno studente di ingegneria, però mi sembra che il segno del potenziale della forza peso sia sbagliato, infatti scegliendo un sistema di riferimento con la y rivolta verso l'alto si avrebbe
$U(y)=-mgOP_y+cost$
quindi sostituendo i valori
$U(y)=mgpcos(\theta)+cost$
$U(y)=-mgOP_y+cost$
quindi sostituendo i valori
$U(y)=mgpcos(\theta)+cost$
Scusate il sengno del potenziale della forza elastica come lo determino?
in generale è $1/2kx^2$ con $x$ allungamento della molla.
Allora il segno è sempre positivo?
Io ho considerato il potenziale elastico con un membro negativo e uno positivo perchè avevo pensato che in un caso l'allungamento è contrario agli assi e un altro concorde, allora sbaglio?
La benedetta Lagrangiana è quindi:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
Il proff si era dimenticato un termine?
Ricordo che aveva scritto:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2$.
Grazie in anticipo.
in generale è $1/2kx^2$ con $x$ allungamento della molla.
Allora il segno è sempre positivo?
Io ho considerato il potenziale elastico con un membro negativo e uno positivo perchè avevo pensato che in un caso l'allungamento è contrario agli assi e un altro concorde, allora sbaglio?
La benedetta Lagrangiana è quindi:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2-1/2k_2R^2sintheta^2$
Il proff si era dimenticato un termine?
Ricordo che aveva scritto:
$L=1/2m(dot rho^2+rho^2 dot theta^2)+mgrhocostheta-1/2k_1rho^2costheta^2$.
Grazie in anticipo.
se hai dubbi sul segno basta che segui la definizione: $U_k = int_(a)^(b) -k*x dx$
intendo
$U = int_0^(y_p) -k_1 y dy |_(y_p=- rho cos theta) + int_0^(x_q) -k_2 x dx |_(x_q=R sin theta) + (int_0^(y_p) -mg dy )|_(y_p=- rho cos theta) = -1/2 k_1 rho^2 cos^2 theta - 1/2 k_2 R^2 sin^2 theta + mg rho cos theta$
equilibrio:
poi $(del U)/(del theta) = k_1 rho^2 cos theta sin theta - k_2 R^2 sin theta cos theta -mg rho sin theta = 0$
$(del U)/(del rho) = - k_1 rho cos^2 theta + mg cos theta = 0$
come vedi sono le stesse cambiate di segno, questo perchè io ho considerato il potenziale e lui probabilmente l'energia potenziale.
a livello di soluzioni è identico. invece cambia quando vai a vedere la stabilità , è duale
$U = int_0^(y_p) -k_1 y dy |_(y_p=- rho cos theta) + int_0^(x_q) -k_2 x dx |_(x_q=R sin theta) + (int_0^(y_p) -mg dy )|_(y_p=- rho cos theta) = -1/2 k_1 rho^2 cos^2 theta - 1/2 k_2 R^2 sin^2 theta + mg rho cos theta$
equilibrio:
poi $(del U)/(del theta) = k_1 rho^2 cos theta sin theta - k_2 R^2 sin theta cos theta -mg rho sin theta = 0$
$(del U)/(del rho) = - k_1 rho cos^2 theta + mg cos theta = 0$
come vedi sono le stesse cambiate di segno, questo perchè io ho considerato il potenziale e lui probabilmente l'energia potenziale.
a livello di soluzioni è identico. invece cambia quando vai a vedere la stabilità , è duale
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