Problema di Meccanica: proiettile e attrito viscoso acqua
[size=150]Testo del problema: [/size]
Un proiettile di massa m = 100 g viene sparato con velocita' verticale v0 = 30 m/sec. Il proiettile si
conficca su un blocco di massa M = 1 kg immerso in acqua ad una profondita' di h = 50 cm e fissato al
fondo ad un estremo di una molla di massa trascurabile e costante elastica K = 100 N/m. Supponendo
che nel suo moto in acqua il proiettile sia soggetto ad una forza viscosa F = -γv, γ = 30 N sec/m e
trascurando gli effetti della gravita', calcolare la compressione della molla ed il periodo delle piccole
oscillazioni.
L'idea era di calcolare l'energia cinetica al momento dell'impatto con la molla e da lì usare la conservazione dell'energia, ma non so come calcolare la forza media delll'attrito viscoso.
Un proiettile di massa m = 100 g viene sparato con velocita' verticale v0 = 30 m/sec. Il proiettile si
conficca su un blocco di massa M = 1 kg immerso in acqua ad una profondita' di h = 50 cm e fissato al
fondo ad un estremo di una molla di massa trascurabile e costante elastica K = 100 N/m. Supponendo
che nel suo moto in acqua il proiettile sia soggetto ad una forza viscosa F = -γv, γ = 30 N sec/m e
trascurando gli effetti della gravita', calcolare la compressione della molla ed il periodo delle piccole
oscillazioni.
L'idea era di calcolare l'energia cinetica al momento dell'impatto con la molla e da lì usare la conservazione dell'energia, ma non so come calcolare la forza media delll'attrito viscoso.
Risposte
"lauralex":
L'idea era di calcolare l'energia cinetica al momento dell'impatto con la molla e da lì usare la conservazione dell'energia
E se anche durante la compressione della molla dovessi tenera in considerazione dell'attrito dell'acqua ?
Comunque se vuoi calcolarti l'energia cinetica al momento dell'urto la prima cosa che mi viene in mente (anche se un po' lunga) è impostare le classiche equazioni di newton:
$$m\frac {d^2s}{dt^2} = -\gamma \frac {ds}{dt}$$
con le condizioni al contorno $\dot s(t) = v_0$ e $s(t=0)=0$. Risolvi l'eq differenziale e trovi la legge oraria s=s(t). Sai l'altezza h = 50m e quindi ti puoi ricavare la velocità.
"dRic":
[quote="lauralex"]
L'idea era di calcolare l'energia cinetica al momento dell'impatto con la molla e da lì usare la conservazione dell'energia
E se anche durante la compressione della molla dovessi tenera in considerazione dell'attrito dell'acqua ?
Comunque se vuoi calcolarti l'energia cinetica al momento dell'urto la prima cosa che mi viene in mente (anche se un po' lunga) è impostare le classiche equazioni di newton:
$$m\frac {d^2s}{dt^2} = -\gamma \frac {ds}{dt}$$
con le condizioni al contorno $\dot s(t) = v_0$ e $s(t=0)=0$. Risolvi l'eq differenziale e trovi la legge oraria s=s(t). Sai l'altezza h = 50m e quindi ti puoi ricavare la velocità.[/quote]
Grazie per i consigli. Ho risolto l'equazione differenziale omogenea in questo modo:
$ x(t) = v_0m/gamma(1-e^(-gamma/mt)) $
$ v(t) = v_0e^(-gamma/mt) $
mettendo a sistema le due equazioni ho trovato la velocità nel momento dell'impatto. In effetti non so se si può applicare la conservazione dell'energia, perché l'attrito comunque c'è. Hai delle dritte da darmi su come procedere?
"lauralex":
In effetti non so se si può applicare la conservazione dell'energia, perché l'attrito comunque c'è
Boh prova a trascurarlo e vedi quanto ti vieni, poi fai il metodo rigoroso e vedi la differenza se è trascurabile o meno.
Comunque per l'urto del proiettile con la massa l'attrito io trascurerei e farei con la conservazione della quantità di moto semplicemente quindi per il moto della molla imposterei newton nuovamente:
$$ (M+m)\frac{d^2s}{dt^2} = -\gamma \frac{ds}{dt} - ks$$
Prova, non so...
Mi pare che l'abbiate azzeccata:
la conservazione dell'energia non si puo' applicare nel moto del proiettile. Il lavoro fatto dalla forza d'attrito viscoso si riflette nella diminuzione di energia cinetica (infatti vedi dalla tua soluzione che la velocita' diminuisce esponenzialmente).
Una volta trovata la velocita' di impatto $v_i$, la velocita' dopo l'urto e' $v_f=m/(M+m)v_i$.
A questo punto, se trascuri attrito del blocco (il testo non e' chiaro, ma dubito che proiettile e blocco abbiano lo stesso $gamma$, e la velocita' $v_f$ e' molto bassa, meno del 10% della velocita' di impatto $v_i$, quindi trascurerei l'attrito tranquillamente), il sistema si riduce a un semplice oscillatore armonico: la massima compressione si calcola con la conservazione dell'energia e le oscillazioni avvengono secondo $y=y_0cos(omegat+phi)$ con $y_0$ e $phi$ da calcolarsi con le condizioni iniziali
la conservazione dell'energia non si puo' applicare nel moto del proiettile. Il lavoro fatto dalla forza d'attrito viscoso si riflette nella diminuzione di energia cinetica (infatti vedi dalla tua soluzione che la velocita' diminuisce esponenzialmente).
Una volta trovata la velocita' di impatto $v_i$, la velocita' dopo l'urto e' $v_f=m/(M+m)v_i$.
A questo punto, se trascuri attrito del blocco (il testo non e' chiaro, ma dubito che proiettile e blocco abbiano lo stesso $gamma$, e la velocita' $v_f$ e' molto bassa, meno del 10% della velocita' di impatto $v_i$, quindi trascurerei l'attrito tranquillamente), il sistema si riduce a un semplice oscillatore armonico: la massima compressione si calcola con la conservazione dell'energia e le oscillazioni avvengono secondo $y=y_0cos(omegat+phi)$ con $y_0$ e $phi$ da calcolarsi con le condizioni iniziali
"professorkappa":
Mi pare che l'abbiate azzeccata:
la conservazione dell'energia non si puo' applicare nel moto del proiettile. Il lavoro fatto dalla forza d'attrito viscoso si riflette nella diminuzione di energia cinetica (infatti vedi dalla tua soluzione che la velocita' diminuisce esponenzialmente).
Una volta trovata la velocita' di impatto $v_i$, la velocita' dopo l'urto e' $v_f=m/(M+m)v_i$.
A questo punto, se trascuri attrito del blocco (il testo non e' chiaro, ma dubito che proiettile e blocco abbiano lo stesso $gamma$, e la velocita' $v_f$ e' molto bassa, meno del 10% della velocita' di impatto $v_i$, quindi trascurerei l'attrito tranquillamente), il sistema si riduce a un semplice oscillatore armonico: la massima compressione si calcola con la conservazione dell'energia e le oscillazioni avvengono secondo $y=y_0cos(omegat+phi)$ con $y_0$ e $phi$ da calcolarsi con le condizioni iniziali
Grazie tante per la conferma. In effetti la velocità finale è bassa, dunque l'attrito si potrebbe trascurare. Se proprio bisogna essere rigorosi allora si dovrebbe risolvere l'equazione differenziale di un moto armonico smorzato, ma sinceramente non mi va, anche perché le equazioni differenziali non le ho ancora padroneggiate dato che si fanno al secondo anno di Ingegneria che inizierà a breve.
Tralasciando che il testo non dà il coefficiente di attrito per il blocco, per curiosità, non ho capito perché lo trascureresti.
PS: tralascia il fatto che nel mio secondo commento ho sbagliato perché ho considerato che il coefficiente d'attrito del blocco sia uguale a quello del proiettile.
PS: tralascia il fatto che nel mio secondo commento ho sbagliato perché ho considerato che il coefficiente d'attrito del blocco sia uguale a quello del proiettile.
"dRic":
Tralasciando che il testo non dà il coefficiente di attrito per il blocco, per curiosità, non ho capito perché lo trascureresti.
PS: tralascia il fatto che nel mio secondo commento ho sbagliato perché ho considerato che il coefficiente d'attrito del blocco sia uguale a quello del proiettile.
A quanto ho capito, essendo la velocità del sistema blocco-proiettile molto bassa (meno del 10% stando a quanto ha detto professorkappa) allora l'attrito viscoso che è proporzionale alla velocità si potrebbe trascurare. Questa è la mia interpretazione di quello che ha detto professorkappa.
"lauralex":
[quote="dRic"]Tralasciando che il testo non dà il coefficiente di attrito per il blocco, per curiosità, non ho capito perché lo trascureresti.
PS: tralascia il fatto che nel mio secondo commento ho sbagliato perché ho considerato che il coefficiente d'attrito del blocco sia uguale a quello del proiettile.
A quanto ho capito, essendo la velocità del sistema blocco-proiettile molto bassa (meno del 10% stando a quanto ha detto professorkappa) allora l'attrito viscoso che è proporzionale alla velocità si potrebbe trascurare. Questa è la mia interpretazione di quello che ha detto professorkappa.[/quote]
Si, la velocita' iniziale del sistema blocco-proiettile e' meno del 10$ di quella di impatto (che e' gia' bassa perche e' stata smorzata esponenzialmente dall'attrito viscoso). La molla rallenta ulteriormente quindi l'attrito (proporzionale alla velocita') si puo' trascurare.
Hai capito perche dico che e' meno del 10%?
"professorkappa":
La molla rallenta ulteriormente quindi l'attrito (proporzionale alla velocita') si puo' trascurare.
Il testo dà come dato solo $\gamma_{p}$ (riferito al proiettile). Post-urto dovremmo conoscere $\gamma_b$ (riferito al blocco). Siccome, presumo, che $\gamma$ dipenda fortemente dalla geometria dell'oggetto (e quindi dalle dimensioni) $$\gamma_b \gg \gamma_p$$ Quindi anche se la velocità post-urto è molto bassa, il coefficiente di proporzionalità dovrebbe essere molto più alto (e si compensano).
Mi sembra incorretto dire che siccome la velocità è bassa allora l'attrito è trascurabile perché considereresti $\gamma$ costante (uguale sia prima che dopo l'urto), ma non è vero. Lo fai solamente perché il testo non dà tutti i dati.
Se però consideri il blocco fatto di un materiale 10 volte più denso del proiettile, allora le dimensioni di entrambi sarebbero dello stesso ordine di grandezza e quindi $\gamma$ dovrebbe essere più o meno costante
Mi sembra tutti discorsi campati sul nulla. Non sai le dimensioni del blocco ne il coefficiente. Non puoi risolvere il problema senza questi dati. Sai pero' che la velocita e' molto bassa e la molla la diminuisce immediatamente. Per il resto non puoi dire altro.
Il coefficiente di penetrazione dei corpi e' uno degli argomenti piu 'complicati perche' molto empirico.
Il coefficiente di penetrazione dei corpi e' uno degli argomenti piu 'complicati perche' molto empirico.
Si lo so che sono un po' discorsi così. E' che pensavo che ci fosse una ragione oggettivamente valida per trascurare l'attrito oltre al fatto che non è dato nel testo. Come ripeto era una curiosità. Dubitavo sindal principio che l'esercizio puntasse a questo.
Ciao, potrei sapere da quale libro hai preso tale esercizio? Sono interessato.
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