Problema di meccanica
Ciao ragazzi. Questo problema di meccanica è da un bel po' di tempo che mi manda "in bestia" 
. E' tratto dall'Halliday.
Un blocco di massa $m$ è fermo su un cuneo, che funge da piano inclinato, di massa $M$, fermo a sua volta su un piano orizzontale. Tutte le superfici sono senza attrito. Se il sistema parte da fermo quando il blocco è a quota $h$ dal piano, calcolare la velocità del cuneo nell'istante in cui il punto P tocca il piano.
Il metodo più valido per risolverlo che ho usato io ritengo sia questo: il blocco esercita sul cuneo una forza normale al piano inclinato e di modulo $mgcosalpha$. Questa, scomposta in un sistema di riferimento cartesiano solidale con il piano orizzontale, ha una componente orizzontale di $F = mgcosalphasinalpha$, che provoca un'accelerazione del cuneo di modulo $a = m/Mgcosalphasinalpha$.
Si calcola facilmente con le formule della cinematica che il tempo che il blocco impiega per raggiungere il piano orizzontale è $t = sqrt((2h)/(gsin^2alpha))$. La forza $F$ agisce sul cuneo in questo lasso di tempo, e usando la formula cinematica $v = at$, dato che la velocità iniziale è 0, si arriva a
$v = m/Mgcosalphasinalphasqrt((2h)/(gsin^2alpha))$, che semplificata un minimo dà $m/Mcosalphasqrt(2gh)$. Se proprio vogliamo essere "spartani", è anche verosimile questo risultato: più $m$ è grande e $M$ è piccola, maggiore sarà la velocità del cuneo; più il blocco parte dall'alto, maggiore sarà la velocità del cuneo. (So benissimo che questo non dà assolutamente la certezza della correttezza, ma spesso aiuta studiare qualitativamente i risultati).
Tutto ciò è sbagliato: il risultato del libro è TOTALMENTE diverso. Ho provato a farlo usando la quantità di moto, ma mi ritrovo in un vicolo cieco: AIUTOO!!!
Se riusciste a darmi qualche chiarimento ve ne sarei infinitamente grato.
. E' tratto dall'Halliday.Un blocco di massa $m$ è fermo su un cuneo, che funge da piano inclinato, di massa $M$, fermo a sua volta su un piano orizzontale. Tutte le superfici sono senza attrito. Se il sistema parte da fermo quando il blocco è a quota $h$ dal piano, calcolare la velocità del cuneo nell'istante in cui il punto P tocca il piano.
Il metodo più valido per risolverlo che ho usato io ritengo sia questo: il blocco esercita sul cuneo una forza normale al piano inclinato e di modulo $mgcosalpha$. Questa, scomposta in un sistema di riferimento cartesiano solidale con il piano orizzontale, ha una componente orizzontale di $F = mgcosalphasinalpha$, che provoca un'accelerazione del cuneo di modulo $a = m/Mgcosalphasinalpha$.
Si calcola facilmente con le formule della cinematica che il tempo che il blocco impiega per raggiungere il piano orizzontale è $t = sqrt((2h)/(gsin^2alpha))$. La forza $F$ agisce sul cuneo in questo lasso di tempo, e usando la formula cinematica $v = at$, dato che la velocità iniziale è 0, si arriva a
$v = m/Mgcosalphasinalphasqrt((2h)/(gsin^2alpha))$, che semplificata un minimo dà $m/Mcosalphasqrt(2gh)$. Se proprio vogliamo essere "spartani", è anche verosimile questo risultato: più $m$ è grande e $M$ è piccola, maggiore sarà la velocità del cuneo; più il blocco parte dall'alto, maggiore sarà la velocità del cuneo. (So benissimo che questo non dà assolutamente la certezza della correttezza, ma spesso aiuta studiare qualitativamente i risultati).
Tutto ciò è sbagliato: il risultato del libro è TOTALMENTE diverso. Ho provato a farlo usando la quantità di moto, ma mi ritrovo in un vicolo cieco: AIUTOO!!!
Se riusciste a darmi qualche chiarimento ve ne sarei infinitamente grato.
Risposte
Credo che il tuo errore sia il modo in cui calcoli la forza che agisce sul cuneo.
La forza normale e poi orizzontale che tu calcoli sarebbe giusta se il cuneo fosse fermo; non lo è più se il cuneo si muove.
Prova a pensare il caso limite di un cuneo avente massa zero: il blocco non risentirebbe affatto della presenza del cuneo, cadrebbe con accelerazione g, dunque il cuneo non eserciterebbe alcuna forza normale su di lui, e pertanto nemmeno lui sul cuneo. Stando alle tue formule invece sembrerebbe che la $F$ fosse indipendente dalla massa del cuneo.
Il modo giusto per risolvere il problema credo sia invece quello di impostare la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto globale del sistema (che deve essere in ogni momento nulla), e in più l'eguaglianza tra l'energia cinetica totale del sistema e l'energia potenziale perduta dal blocco mentre si abbassa.
La forza normale e poi orizzontale che tu calcoli sarebbe giusta se il cuneo fosse fermo; non lo è più se il cuneo si muove.
Prova a pensare il caso limite di un cuneo avente massa zero: il blocco non risentirebbe affatto della presenza del cuneo, cadrebbe con accelerazione g, dunque il cuneo non eserciterebbe alcuna forza normale su di lui, e pertanto nemmeno lui sul cuneo. Stando alle tue formule invece sembrerebbe che la $F$ fosse indipendente dalla massa del cuneo.
Il modo giusto per risolvere il problema credo sia invece quello di impostare la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto globale del sistema (che deve essere in ogni momento nulla), e in più l'eguaglianza tra l'energia cinetica totale del sistema e l'energia potenziale perduta dal blocco mentre si abbassa.
Puoi dirmi la soluzione del problema ( o a che pagina si trova nell'Halliday) così controllo se è giusta la mia soluzione prima di postarla?
Oh ragazzi ho provato un'altra strada ma non c'è stato nulla da fare. Ecco cosa ho provato.
Chiamiamo $v_1$ la velocità finale del blocco, sceso dal cuneo, e $v_2$ la velocità finale del cuneo.
Sarà $mv_1 + Mv_2 = 0$ per la conservazione della q.d.m. in quanto non ci sono componenti verticali, da cui $v_1 = -M/mv_2$.
Tiriamo ora in ballo il principio di conservazione dell'energia totale, in quanto solo la forza di gravità (che è conservativa) agisce sul sistema. Sarà $1/2mv_1^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ e sostituendo il valore di $v_1$ trovato prima si ha $1/(2m)M^2v_2^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ da cui si ricava
$v_2 = sqrt((2m^2gh)/(M(M+m)))$. Tuttavia questo risultato è ancora più lontano dalla soluzione data dal libro.
Per informazione, il libro dà
$v_2 = sqrt((2m^2ghcos^2alpha)/((M+m)(M+msinalpha)))
Chiamiamo $v_1$ la velocità finale del blocco, sceso dal cuneo, e $v_2$ la velocità finale del cuneo.
Sarà $mv_1 + Mv_2 = 0$ per la conservazione della q.d.m. in quanto non ci sono componenti verticali, da cui $v_1 = -M/mv_2$.
Tiriamo ora in ballo il principio di conservazione dell'energia totale, in quanto solo la forza di gravità (che è conservativa) agisce sul sistema. Sarà $1/2mv_1^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ e sostituendo il valore di $v_1$ trovato prima si ha $1/(2m)M^2v_2^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ da cui si ricava
$v_2 = sqrt((2m^2gh)/(M(M+m)))$. Tuttavia questo risultato è ancora più lontano dalla soluzione data dal libro.
Per informazione, il libro dà
$v_2 = sqrt((2m^2ghcos^2alpha)/((M+m)(M+msinalpha)))
Non sono ancora riuscito a risolverlo, ma c'è una cosa che mi fa pensare. Impostando la conservazione dell'energia totale si ha
$ 1/2mv_1^2+1/2Mv_2^2 = mgh $
quindi:
$ v_2^2 = (2gh - v_1^2) m/M $
Se a $ v_1 $ sostituiamo la prima formula che viene in mente ovvero $ at = gsinalphasqrt(2h/(gsin^2alpha)) = sqrt(2hg) $
diviene $ v_2 = 0 $
Quindi deve essere $ v_1 $ più piccola per "lasciare spazio" a $ v_2 $ , e quindi $a$ e/o $t$ devono essere minori. Continuo a pensarci.
$ 1/2mv_1^2+1/2Mv_2^2 = mgh $
quindi:
$ v_2^2 = (2gh - v_1^2) m/M $
Se a $ v_1 $ sostituiamo la prima formula che viene in mente ovvero $ at = gsinalphasqrt(2h/(gsin^2alpha)) = sqrt(2hg) $
diviene $ v_2 = 0 $
Quindi deve essere $ v_1 $ più piccola per "lasciare spazio" a $ v_2 $ , e quindi $a$ e/o $t$ devono essere minori. Continuo a pensarci.
La trama si infittisce! quanto mi fanno specie questi problemi semplici che nn si riescono a risolvere! ahah
quanto mi fanno specie questi problemi semplici che nn si riescono a risolvere! ahah
"Gauss91":
Oh ragazzi ho provato un'altra strada ma non c'è stato nulla da fare. Ecco cosa ho provato.
Chiamiamo $v_1$ la velocità finale del blocco, sceso dal cuneo, e $v_2$ la velocità finale del cuneo.
Sarà $mv_1 + Mv_2 = 0$ per la conservazione della q.d.m. in quanto non ci sono componenti verticali, da cui $v_1 = -M/mv_2$.
Tiriamo ora in ballo il principio di conservazione dell'energia totale, in quanto solo la forza di gravità (che è conservativa) agisce sul sistema. Sarà $1/2mv_1^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ e sostituendo il valore di $v_1$ trovato prima si ha $1/(2m)M^2v_2^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ da cui si ricava
$v_2 = sqrt((2m^2gh)/(M(M+m)))$. Tuttavia questo risultato è ancora più lontano dalla soluzione data dal libro.
Per informazione, il libro dà
$v_2 = sqrt((2m^2ghcos^2alpha)/((M+m)(M+msinalpha)))
L'errore sta nel considerare le velocità del corpo dopo che esso ha lasciato il cuneo, ovvero sul piano orizzontale.
Il calcolo va fatto invece un istante prima che il blocco lasci il cuneo, e allora la formula vera è $mv_1cos\alpha+Mv_2=0.
Questo perché quando il blocco lascia il cuneo c'è un momento di discontinuità nella traiettoria che coinvolge una specie di urto, dunque ci sarebbe un rimbalzo, ecc. ecc. la dinamica diventa complicata. Facendo il calcolo un istante prima del punto di discontinuità, invece, tutto dovrebbe tornare.
"Falco5x":
L'errore sta nel considerare le velocità del corpo dopo che esso ha lasciato il cuneo, ovvero sul piano orizzontale.
Il calcolo va fatto invece un istante prima che il blocco lasci il cuneo, e allora la formula vera è $mv_1cos\alpha+Mv_2=0.
Questo perché quando il blocco lascia il cuneo c'è un momento di discontinuità nella traiettoria che coinvolge una specie di urto, dunque ci sarebbe un rimbalzo, ecc. ecc. la dinamica diventa complicata. Facendo il calcolo un istante prima del punto di discontinuità, invece, tutto dovrebbe tornare.
Ho provato a sostituire la $v_1$ ricavata dalla tua espressione, in
$ v_2^2 = (2gh - v_1^2) m/M $
e ho trovato $v_2= sqrt((2ghm^2cos^2alpha)/(mM - mMsin^2alpha - M^2))
o forse anche nella conservazione dell'energia andava considerata $v_1cosalpha$?
"duff18":
[quote="Falco5x"]
L'errore sta nel considerare le velocità del corpo dopo che esso ha lasciato il cuneo, ovvero sul piano orizzontale.
Il calcolo va fatto invece un istante prima che il blocco lasci il cuneo, e allora la formula vera è $mv_1cos\alpha+Mv_2=0.
Questo perché quando il blocco lascia il cuneo c'è un momento di discontinuità nella traiettoria che coinvolge una specie di urto, dunque ci sarebbe un rimbalzo, ecc. ecc. la dinamica diventa complicata. Facendo il calcolo un istante prima del punto di discontinuità, invece, tutto dovrebbe tornare.
Ho provato a sostituire la $v_1$ ricavata dalla tua espressione, in
$ v_2^2 = (2gh - v_1^2) m/M $
e ho trovato $v_2= sqrt((2ghm^2cos^2alpha)/(mM - mMsin^2alpha - M^2))
o forse anche nella conservazione dell'energia andava considerata $v_1cosalpha$?[/quote]
No, scusate tutti, ho detto io una castroneria.
La componente orizzontale della $v_1$ non è affatto $v_1cos\alpha$.
Infatti è vero che il corpo scende lungo il piano, ma il piano non sta fermo per cui il corpo scende secondo un angolo maggiore di alfa!!!
Occorre scrivere un sistema un po' più complicato, ma mettendo insieme energia e quantità di moto penso che se ne venga a capo.
Anche se a questo punto credo che esista un metodo più semplice per risolvere questo problema, che dovrebbe basarsi su una analisi più accurata delle forze tra corpo e piano inclinato. Magari mettendoci in un sistema accelerato (il piano inclinato) e considerando la forza apparente che si crea in esso nei confronti del corpo...
Però non ci giuro; ho già detto una grossa sciocchezza e non ho il tempo di verificare se ne ho dette altre.
"Gauss91":
Oh ragazzi ho provato un'altra strada ma non c'è stato nulla da fare. Ecco cosa ho provato.
Chiamiamo $v_1$ la velocità finale del blocco, sceso dal cuneo, e $v_2$ la velocità finale del cuneo.
Sarà $mv_1 + Mv_2 = 0$ per la conservazione della q.d.m. in quanto non ci sono componenti verticali, da cui $v_1 = -M/mv_2$.
Tiriamo ora in ballo il principio di conservazione dell'energia totale, in quanto solo la forza di gravità (che è conservativa) agisce sul sistema. Sarà $1/2mv_1^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ e sostituendo il valore di $v_1$ trovato prima si ha $1/(2m)M^2v_2^2 + 1/2Mv_2^2 = mgh$ da cui si ricava
$v_2 = sqrt((2m^2gh)/(M(M+m)))$. Tuttavia questo risultato è ancora più lontano dalla soluzione data dal libro.
Per informazione, il libro dà
$v_2 = sqrt((2m^2ghcos^2alpha)/((M+m)(M+msinalpha)))
Ciao,
la tua soluzione è impeccabile.... ....se alla fine hai che il cuneo viaggia orizzontalmente da una parte e il blocco orizzontalmente dall'altra.
Il punto credo sia che scrivendo quelle equazioni tu assumi implicitamente che alla fine il cuneo sia raccordato in modo da dare al blocco una velocità orizzontale.
Osserva infatti che al limite di $alpha$ piccolo le tua soluzione coincide con quella del libro.
Il problema credo sia scritto un po' male, devi supporre che il blocco alla fine abbia velocità diretta lungo il piano inclinato... In questo caso l'unico modo per risolvere è scrivere le equazioni di bilancio per la massa e per il cuneo più la condizione di vincolo che implica che il blocco sia sempre aderente al piano inclinato.
Adesso non ho tempo di fare i conti ma sono sicuro che hai gli strumenti per andare avanti
Occorre tenere conto che l'angolo di discesa non è $\alpha$ ma un angolo maggiore, che si ottiene facilmente imponendo che l'ascissa orizzontale del baricentro del sistema rimanga inalterata.
Detto $\beta$ questo angolo di discesa, mi sembra che stia in relazione con $\alpha$ nel modo seguente:
$tan\beta=tan\alpha(m/M+1)$
Detto $\beta$ questo angolo di discesa, mi sembra che stia in relazione con $\alpha$ nel modo seguente:
$tan\beta=tan\alpha(m/M+1)$
Niente da fare... anche con i vostri consigli non riesco proprio a venirne a capo! Strano che un problema così semplice sia così difficile da risolvere! Ho provato in molti modi diversi, ogni volta più raffinati: usando il fatto che il C.M. del sistema si sposta solo verticalmente; il fatto che il cuneo è accelerato (ho calcolato anche la risultante delle accelerazioni, che ha una componente verticale di $gsin^2alpha$, e componente orizzontale $gsinalphacosalpha((M-m)/M)$), e usando poi metodi cinematici; e infine ho tentato di usare la conservazione della q.d.m. alla luce dei risultati precedenti...
In tutti i casi mi vengono soluzioni diverse, e in nessun caso la soluzione coincide con il libro.
Non so più cosa fare ragazzi: mi arrovello a nn finire, chiedo a qualche professore oppure lo accantono e vado avanti?
In tutti i casi mi vengono soluzioni diverse, e in nessun caso la soluzione coincide con il libro.
Non so più cosa fare ragazzi: mi arrovello a nn finire, chiedo a qualche professore oppure lo accantono e vado avanti?
Vabbè, mi sono stufato, questo problema ha resistito fin troppo.
Allora partendo da equazioni già menzionate in questo topic e cioè:
$v_2^2=(2gh-v_1^2)m/M
e
$Mv_2=-mv_1cos\beta$
dove $tan\beta=tan\alpha(m/M+1)
e facendo passaggi di sola sostituzione pervengo alla seguente soluzione:
$v_2=\sqrt((2ghm^2cos^2\alpha)/((m+M)(M+msin^2\alpha)))$
da cui mi viene il sospetto che nella soluzione del libro sia stato dimenticato un quadrato sul seno a denominatore
Allora partendo da equazioni già menzionate in questo topic e cioè:
$v_2^2=(2gh-v_1^2)m/M
e
$Mv_2=-mv_1cos\beta$
dove $tan\beta=tan\alpha(m/M+1)
e facendo passaggi di sola sostituzione pervengo alla seguente soluzione:
$v_2=\sqrt((2ghm^2cos^2\alpha)/((m+M)(M+msin^2\alpha)))$
da cui mi viene il sospetto che nella soluzione del libro sia stato dimenticato un quadrato sul seno a denominatore
Scusa Falco, ma potresti indicarmi esplicitamente come hai fatto a trovare quel $tanbeta$?
"Gauss91":
Scusa Falco, ma potresti indicarmi esplicitamente come hai fatto a trovare quel $tanbeta$?
Il corpo scende lingo il cuneo dal punto iniziale A (ad altezza h e avente ascissa A') fino alla punta del cuneo. Supponiamo che inizialmente la punta del cuneo si trovi in un punto che chiamiamo B. Quando il corpo raggiunge la punta del cuneo questa non si trova più in B, ma si trova un po' più vicina ad A'. Chiamiamo B' questo punto, che è lo stesso nel quale il corpo tocca il terreno. L'angolo $\beta$ è quello dunque di inclinazione della retta AB', mentre la retta AB è inclinata di $\alpha$.
Detta $b$ la lunghezza del segmento A'B' e $a$ la lunghezza del segmente A'B si ha:
$tan\alpha=h/a$
$tan\beta=h/b$
L'immobilità del centro di massa durante la discesa del corpo impone:
$M(a-b)=mb$
da cui sostituendo $tan\beta=tan\alpha(m/M+1)$
ok tutto chiaro. Grazie mille Falco per la soluzione... era davvero tanto che ci rimangiavo su.
Ho ora una domanda più generale... notando quante soluzioni diverse (sbagliate ma plausibili qualitativamente e con belle dimostrazioni) ha avuto questo problema, si vede che è molto difficile, generalmente, vedere se una soluzione è giusta o sbagliata, in assenza della "soluzione ufficiale". Teoricamente, anche questa sarebbe imprecisa, dato che ci sarebbe da tenere conto anche della resistenza dell'aria (che il testo non dice di trascurare) e cose del genere.
Come si fa dunque a dire a priori che una soluzione di un problema è giusta o sbagliata?
Ho ora una domanda più generale... notando quante soluzioni diverse (sbagliate ma plausibili qualitativamente e con belle dimostrazioni) ha avuto questo problema, si vede che è molto difficile, generalmente, vedere se una soluzione è giusta o sbagliata, in assenza della "soluzione ufficiale". Teoricamente, anche questa sarebbe imprecisa, dato che ci sarebbe da tenere conto anche della resistenza dell'aria (che il testo non dice di trascurare) e cose del genere.
Come si fa dunque a dire a priori che una soluzione di un problema è giusta o sbagliata?
"Gauss91":
Come si fa dunque a dire a priori che una soluzione di un problema è giusta o sbagliata?
Io mi affido prima all'intuito fisico per "vedere" la soluzione. Certo in casi complessi non è molto facile farlo, ma in casi semplici aiuta. Poi io di solito faccio delle considerazioni al limite, ovvero pongo a zero o a infinito alcuni elementi e vedo se la soluzione così tirata per i capelli mi sembra convincente. In questo caso ad esempio posso porre m e M rispettivamente uguali a zero e all'infinito e immaginare cosa succede (ad esempio se il cuneo ha massa infinita rimane sicuramente immobile e la soluzione deve coincidere con quella del semplice piano inclinato).
Poi posso vedere se la soluzione regge dal punto di vista dimensionale (ad esempio in un'uguaglianza il secondo membro deve venire dimensionalmente omogeneo al primo membro, poi non è possibile che ci sia una somma di elementi non omogenei dimensionalmente, ecc. ecc.)
Tutto ciò certo non basta, ma in qualche caso può far scoprire errori grossolani.
certamente... ma nel caso di errori più sottili la questione è diversa. Le mie soluzioni, sia dimensionalmente sia qualitativamente, erano più che plausibili, e avevano come caso particolare quello del piano inclinato "semplice", con cuneo fermo.
Certo, alla luce della tua soluzione, si vede bene che il suo grado di correttezza è molto maggiore; ma senza saper "né leggere né scrivere" c'era il rischio di chiudere il quaderno e autoconvincersi di aver risolto qualcosa, quando in realtà la soluzione era sbagliata. Se in un esercizio per conto proprio questo non è troppo distruttivo, le cose cambiano in altre circostanze, quali un test di ammissione ad un'università di eccellenza (qualsiasi riferimento alla Normale è casuale
ahah) o ad un esame.
Questo problema, oltre che farci esercitare sui principi di conservazione, ci ha insegnato che spesso il grado di attenzione alla situazione fisica, e di astrazione, deve mantenersi mooolto elevato, più di qualsiasi limite. Forse non è così, o forse sto scopredo l'acqua calda, ma vorrei ringraziarvi perché tramite un semplice problema siete riusciti a farmi capire questo punto importante. Grazie, ecco il caso in cui un problema irrisolto vale più di 10 risolti!
Certo, alla luce della tua soluzione, si vede bene che il suo grado di correttezza è molto maggiore; ma senza saper "né leggere né scrivere" c'era il rischio di chiudere il quaderno e autoconvincersi di aver risolto qualcosa, quando in realtà la soluzione era sbagliata. Se in un esercizio per conto proprio questo non è troppo distruttivo, le cose cambiano in altre circostanze, quali un test di ammissione ad un'università di eccellenza (qualsiasi riferimento alla Normale è casuale
ahah) o ad un esame.Questo problema, oltre che farci esercitare sui principi di conservazione, ci ha insegnato che spesso il grado di attenzione alla situazione fisica, e di astrazione, deve mantenersi mooolto elevato, più di qualsiasi limite. Forse non è così, o forse sto scopredo l'acqua calda, ma vorrei ringraziarvi perché tramite un semplice problema siete riusciti a farmi capire questo punto importante. Grazie, ecco il caso in cui un problema irrisolto vale più di 10 risolti!
Comunque in effetti come avevo scritto la tua soluzione applicando i principi di conservazione non era sacrilega, 
se il cuneo fosse stato un quarto di circonferenza sarebbe stata la soluzione corretta....
Anche qui un ragionamento al limite ti aiuta però perché nel caso della soluzione corretta per il cuneo inclinato vedi che al limite di cuneo verticale la velocità del cuneo diventa nulla, mentre la soluzione che avevi scritto tu presupponeva una velocità indipendente dall'inclinazione...
se il cuneo fosse stato un quarto di circonferenza sarebbe stata la soluzione corretta.... Anche qui un ragionamento al limite ti aiuta però perché nel caso della soluzione corretta per il cuneo inclinato vedi che al limite di cuneo verticale la velocità del cuneo diventa nulla, mentre la soluzione che avevi scritto tu presupponeva una velocità indipendente dall'inclinazione...
A scopo di verifica per altra via è interessante notare come alla stessa soluzione si possa giungere partendo da principi diversi.
Possiamo infatti considerare il cuneo come un sistema di riferimento accelerato nel quale si trova il corpo che scivola. Allora la dinamica del corpo dipenderà sia dalla forza di gravità sia dalla forza orizzontale apparente determinata dal fatto che il sistema è accelerato.
Se chiamiamo $a_(x2)$ l'accelerazione orizzontale del cuneo, questa forza aggiuntiva orizzontale sul corpo vale $-ma_(x2)$.
Prendiamo allora le componenti delle due forze di gravità, vericale e orizzontale, nella direzione di scivolamento. Detta $a'_1$ l'accelerazione totale relativa del corpo che scivola (lungo la pendenza del cuneo) si avrà:
$a'_1=gsin\alpha-a_2cos\alpha$
La sua componente orizzontale sarà:
$a'_(x1)=gsin\alphacos\alpha-a_2cos^2\alpha$
Tornando adesso nel sistema assoluto scriviamo una relazione che discende dalla conservazione dell'ascissa orizzontale del centro di massa:
$ma_(x1)+Ma_(x2)=0
Ricordando poi la relazione dei moti relativi accelerati:
$a_(x1)=a'_(x1)+a_(x2)$
consegue:
$a_(x2)=-(m/(m+M))a'_(x1)$
e sostituendo si ha:
$a'_(x1)=(gsin\alphacos\alpha)/(1-m/(m+M)cos^2\alpha)$
$a_(x2)=-(m/(m+M))(gsin\alphacos\alpha)/(1-m/(m+M)cos^2\alpha)$
Ora noi sappiamo che $a'_(x1)$ è l'accelerazione orizzontale del corpo nel sistema relativo. Il corpo deve percorrere in tale sistema una lunghezza orizzontale pari a $l_(x1)$:
$l_(x1)=h/tan\alpha$
La relazione del moto accelerato in questione è:
$l_(x1)=1/2a'_(x1)t^2$
da cui si ricava il tempo totale necessario per la discesa del corpo:
$t=\sqrt((2h(1-m/(m+M)cos^2\alpha))/(gsin^2\alpha))$
Moltiplicando questo tempo per l'accelerazione orizzontale del cuneo si ottiene la velocità finale del cuneo:
$v_(x2)=a_(x2)t=-\sqrt((2ghm^2cos^2\alpha)/((m+M)(M+msin^2\alpha)))$
Possiamo infatti considerare il cuneo come un sistema di riferimento accelerato nel quale si trova il corpo che scivola. Allora la dinamica del corpo dipenderà sia dalla forza di gravità sia dalla forza orizzontale apparente determinata dal fatto che il sistema è accelerato.
Se chiamiamo $a_(x2)$ l'accelerazione orizzontale del cuneo, questa forza aggiuntiva orizzontale sul corpo vale $-ma_(x2)$.
Prendiamo allora le componenti delle due forze di gravità, vericale e orizzontale, nella direzione di scivolamento. Detta $a'_1$ l'accelerazione totale relativa del corpo che scivola (lungo la pendenza del cuneo) si avrà:
$a'_1=gsin\alpha-a_2cos\alpha$
La sua componente orizzontale sarà:
$a'_(x1)=gsin\alphacos\alpha-a_2cos^2\alpha$
Tornando adesso nel sistema assoluto scriviamo una relazione che discende dalla conservazione dell'ascissa orizzontale del centro di massa:
$ma_(x1)+Ma_(x2)=0
Ricordando poi la relazione dei moti relativi accelerati:
$a_(x1)=a'_(x1)+a_(x2)$
consegue:
$a_(x2)=-(m/(m+M))a'_(x1)$
e sostituendo si ha:
$a'_(x1)=(gsin\alphacos\alpha)/(1-m/(m+M)cos^2\alpha)$
$a_(x2)=-(m/(m+M))(gsin\alphacos\alpha)/(1-m/(m+M)cos^2\alpha)$
Ora noi sappiamo che $a'_(x1)$ è l'accelerazione orizzontale del corpo nel sistema relativo. Il corpo deve percorrere in tale sistema una lunghezza orizzontale pari a $l_(x1)$:
$l_(x1)=h/tan\alpha$
La relazione del moto accelerato in questione è:
$l_(x1)=1/2a'_(x1)t^2$
da cui si ricava il tempo totale necessario per la discesa del corpo:
$t=\sqrt((2h(1-m/(m+M)cos^2\alpha))/(gsin^2\alpha))$
Moltiplicando questo tempo per l'accelerazione orizzontale del cuneo si ottiene la velocità finale del cuneo:
$v_(x2)=a_(x2)t=-\sqrt((2ghm^2cos^2\alpha)/((m+M)(M+msin^2\alpha)))$
Ottimo direi! Grazie per i chiarimenti, a tutti quelli che mi hanno risposto. Al prossimo problema! (che nn penso tarderà... ahah)
Grazie per i chiarimenti, a tutti quelli che mi hanno risposto. Al prossimo problema! (che nn penso tarderà... ahah)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo