Problema di meccanica
Ragazzi sono disperato. Non riesco a risolvere questo problema. Mi aiutate?
Il testo è:
Sia un sistema costituito da un disco di massa m1= 5kg che faccia da carrucola. Alla carrucola sia avvolto un filo inestensibile e privo di massa. A destra appendiamo una massa m2=2kg legata nella parte inferiore a una molla di costante elastica K=20 N/m. A sinistra sia legato al filo dela carrucola una massa m3=3kg. Il sistema è lasciato a se stesso quando la molla è a riposo e i blocchi sono fermi. Quindi il sistema comincia muoversi. Si calcoli: a) la velocità dei blocchi quando m3 è sceso di h=0.5m rispetto alla quota iniziale. b) la massima estensione raggiunta dalla molla, Xmax, durante il moto del sistema. Momento di inerzia del disco= mR^2. Vi prego sono disperato.
Io ho tentato applicando il teorema del momento angolare ma non ne sono sicuro.
Il testo è:
Sia un sistema costituito da un disco di massa m1= 5kg che faccia da carrucola. Alla carrucola sia avvolto un filo inestensibile e privo di massa. A destra appendiamo una massa m2=2kg legata nella parte inferiore a una molla di costante elastica K=20 N/m. A sinistra sia legato al filo dela carrucola una massa m3=3kg. Il sistema è lasciato a se stesso quando la molla è a riposo e i blocchi sono fermi. Quindi il sistema comincia muoversi. Si calcoli: a) la velocità dei blocchi quando m3 è sceso di h=0.5m rispetto alla quota iniziale. b) la massima estensione raggiunta dalla molla, Xmax, durante il moto del sistema. Momento di inerzia del disco= mR^2. Vi prego sono disperato.
Io ho tentato applicando il teorema del momento angolare ma non ne sono sicuro.
Risposte
Ho fatto alcuni ragionamenti, partendo da casi più semplici (una sola massa appesa da un lato, e molla dall'altro lato, con puleggia prima senza massa e poi con massa) , e sono arrivato a certe conclusioni che mi sembrano ragionevoli.
Poi ho esaminato il tuo esercizio, non semplice (almeno per me che gli esercizi con le molle li ho presi sempre con le molle…)
Vediamo se ci prendo stavolta.
A sinistra hai $m_3$ che è maggiore di $m_2$ a destra, poi hai la puleggia con massa $m_1$ .
Assumo un asse $y$ orientato positivamente verso il basso.
Se abbandoni il sistema lentamente a partire dalla condizione di molla scarica, intuitivamente la massa $m_3$ scende . Perché lentamente ? Perchè voglio prima determinare la condizione di equilibrio statico finale, e per fare questo non voglio che si inducano oscillazioni per ora, per cui lascio andare il sistema lentamente. Che succede? Siccome $m_3>m_2$ , l'abbassamento di $m_3$ , che poi è uguale all'innalzamento di $m_2$ e quindi alla deformazione statica della molla , deve valere :
$y_0 = ((m_3-m_2)g)/k $ --------(1)
dove k è la costante elastica della molla.
E qui finisce la "parte statica" .
Veniamo alla dinamica, e cioè ora abbandoniamo il sistema al suo moto senza accompagnarlo con lentezza. Il sistema si metterà a oscillare per la presenza della molla.
Se disegni i diagrammi di corpo libero di $m_3$ , della puleggia, di $m_2$ e pure della molla , e chiami $T_2$ il modulo della tensione nel filo che sostiene $m_3$ , e $T_1$ il modulo della tensione nel filo che sostiene $m_2$ , puoi scrivere le seguenti equazioni per il moto delle masse e della puleggia (ho proiettato tutti i vettori sull'asse $y$ orientato verso il basso):
$m_3*ddoty = m_3g - T_2$ -------(2)
$(T_2 - T_1)*R = I*ddot\theta = 1/2m_1 R^2* ddoty/R $ --------(2° eq. cardinale per la puleggia) -------------(3)
$-m_2ddoty = - T_1 + k(y + y_0) + m_2g$ ---------(4)
(le $y$ qui vanno considerate come differenze assolute $\Deltay$ )
da cui ricavo :
$m_3ddoty = m_3g - (T_1 + 1/2m_1ddoty) $ ------------(5)
$T_1 = m_2ddoty + ky +m_3g $ --------------(6)
sostituendo la (6) nella (5) ricavo :
$ddot y (m_3 + m_2 + 1/2m_1) + ky = 0 $ -------(7)
Ora questa è l'equazione di un moto armonico , attorno alla posizione di equilibrio $y_0$ prima determinata , avente pulsazione :
$\omega = sqrt(k/(m_3+m_2+1/2m_1) ) $ --------(8)
Ti dirò che, mettendo in questa formula $m_2 = 0 $ , e cioè assumendo il sistema più semplice costituito dalla massa $m_3$ a sinistra e la molla a destra, con puleggia dotata di massa $m_1$, ritrovo perfettamente il risultato che avevo calcolato per altra via , cioè direttamente, che è logico : nel moto armonico in questo caso si avrebbe che la forza peso agente su $m_3$, deve "tirarsi dietro" anche la puleggia oltre a dover allungare la molla, e questo si traduce in un aumento virtuale della massa $m_3$ pari a metà della massa della puleggia: $1/2m_1$ . Questo si vede dalla 2° eq. della dinamica applicata alla puleggia.
Se ho fatto bene (magari qualche esperto di fisica più bravo di me che bazzica il forum potrebbe dare una controllata….) questa pulsazione ti permette poi di scrivere la funzione $y = y(t)$ sotto forma di seni e coseni, e quindi ricavare quello che ti serve, spostamento e velocità, negli istanti assegnati di tempo.
Che te ne pare ?
Poi ho esaminato il tuo esercizio, non semplice (almeno per me che gli esercizi con le molle li ho presi sempre con le molle…)
Vediamo se ci prendo stavolta.
A sinistra hai $m_3$ che è maggiore di $m_2$ a destra, poi hai la puleggia con massa $m_1$ .
Assumo un asse $y$ orientato positivamente verso il basso.
Se abbandoni il sistema lentamente a partire dalla condizione di molla scarica, intuitivamente la massa $m_3$ scende . Perché lentamente ? Perchè voglio prima determinare la condizione di equilibrio statico finale, e per fare questo non voglio che si inducano oscillazioni per ora, per cui lascio andare il sistema lentamente. Che succede? Siccome $m_3>m_2$ , l'abbassamento di $m_3$ , che poi è uguale all'innalzamento di $m_2$ e quindi alla deformazione statica della molla , deve valere :
$y_0 = ((m_3-m_2)g)/k $ --------(1)
dove k è la costante elastica della molla.
E qui finisce la "parte statica" .
Veniamo alla dinamica, e cioè ora abbandoniamo il sistema al suo moto senza accompagnarlo con lentezza. Il sistema si metterà a oscillare per la presenza della molla.
Se disegni i diagrammi di corpo libero di $m_3$ , della puleggia, di $m_2$ e pure della molla , e chiami $T_2$ il modulo della tensione nel filo che sostiene $m_3$ , e $T_1$ il modulo della tensione nel filo che sostiene $m_2$ , puoi scrivere le seguenti equazioni per il moto delle masse e della puleggia (ho proiettato tutti i vettori sull'asse $y$ orientato verso il basso):
$m_3*ddoty = m_3g - T_2$ -------(2)
$(T_2 - T_1)*R = I*ddot\theta = 1/2m_1 R^2* ddoty/R $ --------(2° eq. cardinale per la puleggia) -------------(3)
$-m_2ddoty = - T_1 + k(y + y_0) + m_2g$ ---------(4)
(le $y$ qui vanno considerate come differenze assolute $\Deltay$ )
da cui ricavo :
$m_3ddoty = m_3g - (T_1 + 1/2m_1ddoty) $ ------------(5)
$T_1 = m_2ddoty + ky +m_3g $ --------------(6)
sostituendo la (6) nella (5) ricavo :
$ddot y (m_3 + m_2 + 1/2m_1) + ky = 0 $ -------(7)
Ora questa è l'equazione di un moto armonico , attorno alla posizione di equilibrio $y_0$ prima determinata , avente pulsazione :
$\omega = sqrt(k/(m_3+m_2+1/2m_1) ) $ --------(8)
Ti dirò che, mettendo in questa formula $m_2 = 0 $ , e cioè assumendo il sistema più semplice costituito dalla massa $m_3$ a sinistra e la molla a destra, con puleggia dotata di massa $m_1$, ritrovo perfettamente il risultato che avevo calcolato per altra via , cioè direttamente, che è logico : nel moto armonico in questo caso si avrebbe che la forza peso agente su $m_3$, deve "tirarsi dietro" anche la puleggia oltre a dover allungare la molla, e questo si traduce in un aumento virtuale della massa $m_3$ pari a metà della massa della puleggia: $1/2m_1$ . Questo si vede dalla 2° eq. della dinamica applicata alla puleggia.
Se ho fatto bene (magari qualche esperto di fisica più bravo di me che bazzica il forum potrebbe dare una controllata….) questa pulsazione ti permette poi di scrivere la funzione $y = y(t)$ sotto forma di seni e coseni, e quindi ricavare quello che ti serve, spostamento e velocità, negli istanti assegnati di tempo.
Che te ne pare ?
Ho lo stesso identico problema, che ho risolto nel seguente modo: scrivendo le tre equazioni del moto relative ai tre corpi e facendo sistema tra esse trovo una dipendenza dell'accelerazione dalla forza elastica ( che sappiamo essere Ky uy); ora ho considerato, siccome il filo è inestensibile, chenl allungamento verso il basso della massa m3 è pari all elongazione della molla quasta volta verso l alto. Con la formula della velocità in funzione della posizione riesci a ricavarti la V del sistema. A questo punto per calcolare la massima elongazione della molla ti scrivi la legge di conservazione dell'energia meccanica imponendo che tutta l'energia cinetica del sistema quando la molla è al suo massimo allungamento è pari all'energia potenziale della molla.
Attenzione però non so se è giusto ragionare in questi termini, e non ho ancora avuto conferme riguardo alla corretta o erronea risoluzione
Attenzione però non so se è giusto ragionare in questi termini, e non ho ancora avuto conferme riguardo alla corretta o erronea risoluzione
"blackcoffe":
Ho lo stesso identico problema, che ho risolto nel seguente modo: scrivendo le tre equazioni del moto relative ai tre corpi e facendo sistema tra esse trovo una dipendenza dell'accelerazione dalla forza elastica ( che sappiamo essere Ky uy); ora ho considerato, siccome il filo è inestensibile, chenl allungamento verso il basso della massa m3 è pari all elongazione della molla quasta volta verso l alto. Con la formula della velocità in funzione della posizione riesci a ricavarti la V del sistema. A questo punto per calcolare la massima elongazione della molla ti scrivi la legge di conservazione dell'energia meccanica imponendo che tutta l'energia cinetica del sistema quando la molla è al suo massimo allungamento è pari all'energia potenziale della molla.
Attenzione però non so se è giusto ragionare in questi termini, e non ho ancora avuto conferme riguardo alla corretta o erronea risoluzione
In questo tipo di problemi, quando non sono richieste le tensioni delle corde, conviene quasi sempre applicare il teorema delle forze vive (ovvero, nei casi senza attrito, la conservazione dell'energia meccanica). La soluzione data dal Navigatore e' corrette (io ho applicato il TDFV, con lo stesso risultato.
In pratica:
Il sistema di riferimento che ho preso ha origine nel punto di ancoraggio della molla e asse y rivolto verso l'alto.
In queste condizioni, la massa $m_$ ha posizione $y_0$ (per usare gli stessi simbolismi di Navigatore), dove $y_0$ e' anche la condizione di molla a riposo.
Tutto il sistema, essendo ad un grado di liberta', puo' essere descritto in termini della posizione y della massa 2.
il lavoro infinitesimo $dL$ per uno spostamento $dy$ e' dato da:
$dL=-k(y-y_0)dy-m_2gdy+m_3gdy$ (i tre addendi sono, rispettivamente: il lavoro della molla (negativo, la molla acquista energia potenziale), il lavoro della forza peso $m_2g$(negativo, perche mg e' opposta a dy), il lavoro della forza peso $m_3g$ (positivo, perche ad un aumento positivo $dy$ della massa $m_2$ equivale lo stesso spostamento della massa $m_3$, ma ovviamente, in questo caso concorde con $m_3g$.
L'unico momento in cui si puo' commettere un errore nell'impostazione del problema e' questo: l'errore nei segni calcolando il lavoro. Quindi fate attenzione li.
L'energia cinetica del sistema e':
$ E_k=\frac{1}2\frac{m_1R^2}{2}\dot\theta^2+\frac{1}2m_2doty^2+\frac{1}2m_3doty^2 $
Adesso, per una rotazione della carrucola $d\theta$, risulta $\doty=R\dot\theta$, quindi si puo' eliminare la $\theta$ nell'equazione dell'$E_k$ e raccogliere $1/2\doty^2$.
Si ottiene:
$ E_k=\frac{1}2(\frac{m_1}{2}+m_2+m_3)doty^2 $
Adesso si applica il PDFV:
$ \frac{d}{dt}(\frac{dE_k}{d\doty))=\frac{dL}{dy $
Allora eseguendo i calcoli:
$ (m_1/2+m_2+m_3)ddoty=-k(y-y_0)-m_2g+m_3g $
Se riordiniamo quest'espressione (magari per semplificare la scrittura chiamiamo imponiamo $ M= (m_1/2+m_2+m_3) $ , si ottiene l'equazione differenziale:
$ ddoty+\frac{k}{M}y+[\frac{(m_2-m_3)g-ky_0}{M}]=0 $
dove $\frac{k}{M}=\omega^2 $e' la pulsazione del sistema attorno alla posizione di equilibrio (e' uguale al Nav).
Il punto di equilibrio si ottiene azzerando $dL/dy$ (si ottiene $y_0=\frac{(m_23-m_2)g}{k}$ come al Nav.
La discussione della derivata seconda $d^2L/dy^2$ fornisce informazioni sulla stabilita' del punto di equilibrio.
La risoluzione dell'equazione differenziale e' semplice ed e' del tipo:
$ y(t)=Acos(\omegat+\phi)+C $ con $A$, $\phi$ e $C$ da determinarsi in funzione delle condizioni iniziali $y(0)=y_0$, $\doty(0)=0$, $C$ e' la soluzione particolare della differenziale.
Nota $y(t)$ si trova tutto quello che richiede il problema (equilibri, accelerazioni, elongazioni), proprio tutto tutto.
Il teorema delle forze vive e' particolarmente valido quando ci sono sistemi a un grado di liberta ma con 3 o piu' corpi, perche indipendentemente dal numero di corpi, bastano sempre e solo 2 equazioni per risolvere l'esercizio.
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