Problema di idrodinamica
Il livello dell'acqua in un serbatoio sul tetto di un edificio è a 30 metri da terra. Il serbatoio fornisce acqua attraverso condutture di $ 20 cm^2 $ , cioè $ 0,02 m^2 $ di sezione ai vari appartamenti. Ogni rubinetto da cui esce acqua ha un orifizio con area efficace di $ 10 cm^2 $ , cioè $ 0,01 m^2 $. Calcolare:
a) il tempo necessario per riempire un secchio di $ 30 dm^3 $, cioè $ 0,03 m^3 $ in un appartamento a 20m sopra il livello della strada;
b) la pressione differenziale in una tubatura dell'acqua ( differenza tra pressione dell'acqua e quella atmosferica ) a livello di terra a rubinetto chiuso ed a rubinetto aperto.
Allora io ho pensato di risolverlo così:
Quesito A
la sezione del tubo è trascurabile rispetto a quella del serbatoio quindi la velocità con cui l'acqua entra nel tubo di sezione $ 20cm^2 $ è $ v=sqrt(2g(H-h)) $ , dove H=30m e h=20m e risulta 14m/s. Poi siccome la sezione del rubinetto è la metà di quella dei tubi, utilizzando la Legge di Continuità di Castelli, ottengo che la velocità di uscita è quindi il doppio, cioè 28m/s. Ora ho che $ Q=V/t $ quindi $ t=V/Q $ per cui $ t= 0.03/0.28 $ ed ottengo 0,1 sec. Peccato che sul libro risulti 2,14 secondi....
Quesito B
Nel tubo c'è pressione idrodinamica e a rubinetto aperto pressione atmosferica, poichè è a terra non c'è pressione idrostatica, quindi la pressione differenziale è $ 1/2dxv^2 $ dove $ v=sqrt(2g(H)) $ e risulta 294300Pa come sul libro. A rubinetto chiuso però non capisco come fare, il risultato che dà il libro è 220500Pa, ma sottraendo la pressione atmosferica mi viene 193000Pa, quindi vuol dire che sto tralasciando qualcosa...
Grazie in anticipo per l'aiuto.
a) il tempo necessario per riempire un secchio di $ 30 dm^3 $, cioè $ 0,03 m^3 $ in un appartamento a 20m sopra il livello della strada;
b) la pressione differenziale in una tubatura dell'acqua ( differenza tra pressione dell'acqua e quella atmosferica ) a livello di terra a rubinetto chiuso ed a rubinetto aperto.
Allora io ho pensato di risolverlo così:
Quesito A
la sezione del tubo è trascurabile rispetto a quella del serbatoio quindi la velocità con cui l'acqua entra nel tubo di sezione $ 20cm^2 $ è $ v=sqrt(2g(H-h)) $ , dove H=30m e h=20m e risulta 14m/s. Poi siccome la sezione del rubinetto è la metà di quella dei tubi, utilizzando la Legge di Continuità di Castelli, ottengo che la velocità di uscita è quindi il doppio, cioè 28m/s. Ora ho che $ Q=V/t $ quindi $ t=V/Q $ per cui $ t= 0.03/0.28 $ ed ottengo 0,1 sec. Peccato che sul libro risulti 2,14 secondi....
Quesito B
Nel tubo c'è pressione idrodinamica e a rubinetto aperto pressione atmosferica, poichè è a terra non c'è pressione idrostatica, quindi la pressione differenziale è $ 1/2dxv^2 $ dove $ v=sqrt(2g(H)) $ e risulta 294300Pa come sul libro. A rubinetto chiuso però non capisco come fare, il risultato che dà il libro è 220500Pa, ma sottraendo la pressione atmosferica mi viene 193000Pa, quindi vuol dire che sto tralasciando qualcosa...
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
partiamo dal punto A: innanzitutto è sbagliata l'equivalenza della sezione efficace: $10cm^2=0.001m^2$e analogamente per quella del tubo.
Inoltre non ha senso considerare prima il teo di Bernoulli (che è quella da cui ricavi una specie di teorema di torricelli da te usato) sulla superficie esterna (perchè imponi che all'uscita la pressione sia quella atmosferica come quella in cima al serbatoio) e poi applicare un'equazione di continuità sulla superficie stessa.. La velocità che ottieni è già quella all'uscita, se mai puoi chiederti qual è quella lungo il tubo, sapendo che ha sezione doppia dell'uscita...
Non so se si capisca molto come l'ho spiegata...Se mai chiedi pure..Senza poter fare un disegnino ho difficoltà
abbiamo quindi che la portata volumica in uscita è $Q=SV=14m/s*0.001m^2=0.014m^3/s$ e quindi come giustamente hai scritto l'equazione per il tempo è $t=Q/V=0.03/0.014s=2.14s$.
Risultato peraltro più realistico, era impensabile che un secchio delle dimensioni di un contenitore da frullatori si riempisse in un decimo di secondo
Ci sei? Capito tutto?
Inoltre non ha senso considerare prima il teo di Bernoulli (che è quella da cui ricavi una specie di teorema di torricelli da te usato) sulla superficie esterna (perchè imponi che all'uscita la pressione sia quella atmosferica come quella in cima al serbatoio) e poi applicare un'equazione di continuità sulla superficie stessa.. La velocità che ottieni è già quella all'uscita, se mai puoi chiederti qual è quella lungo il tubo, sapendo che ha sezione doppia dell'uscita...
Non so se si capisca molto come l'ho spiegata...Se mai chiedi pure..Senza poter fare un disegnino ho difficoltà
abbiamo quindi che la portata volumica in uscita è $Q=SV=14m/s*0.001m^2=0.014m^3/s$ e quindi come giustamente hai scritto l'equazione per il tempo è $t=Q/V=0.03/0.014s=2.14s$.
Risultato peraltro più realistico, era impensabile che un secchio delle dimensioni di un contenitore da frullatori si riempisse in un decimo di secondo
Ci sei? Capito tutto?
Pardon, ho dimenticato un zero sì! Ahah
Se ho capito bene con il teorema di Torricelli che ho usato ottengo già la velocità con cui esce l'acqua dal rubinetto... Giusto ? La velocità ( anche se non mi serve, è giusto per completare il ragionamento ) lungo il tubo sarebbe la metà di quella ottenuta con $ v=sqrt(2g(H-h)) $ ...
Quindi poi con la portata di volume trovo il tempo
Mi potresti illuminare anche sulla seconda parte ? Grazie mille.
Se ho capito bene con il teorema di Torricelli che ho usato ottengo già la velocità con cui esce l'acqua dal rubinetto... Giusto ? La velocità ( anche se non mi serve, è giusto per completare il ragionamento ) lungo il tubo sarebbe la metà di quella ottenuta con $ v=sqrt(2g(H-h)) $ ...
Quindi poi con la portata di volume trovo il tempo
Mi potresti illuminare anche sulla seconda parte ? Grazie mille.
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