Problema di gravitazione: coppia di stelle

[Bonny941]

Buondì,
ho questo problema di gravitazione che non riesco a capire:
una coppia di stelle ruota intorno al comune centro di massa.
La massa M della stella più grande è doppia della massa m dell'altra (M=2m).
I loro centri sono a una distanza d molto grande rispetto alle dimensioni dei due astri (i raggi sono quindi trascurabili).
Ricavare un'espressione del loro periodo di rivoluzione attorno al centro di massa in funziona di d, m e G.

Non vengono dati valori numerici. La soluzione fornita è $T = \sqrt{\frac{4pi^2 d^3}{G(m+2m)}}$ ma il motivo non mi è chiaro:
questa è una formula che, sì, uso abitualmente, ma il termine d che appare al numeratore l'ho sempre considerato come il raggio dell'orbita del caso, o comunque la distanza tra il centro di massa e l'oggetto che si trova sull'orbita. d in questo caso è invece la distanza fra le due stelle: perché non viene considerata anche la distanza fra il centro di massa e la prima stella? Non dovrebbe apparire un termine R+d?

E al contrario, se la richiesta fosse calcolare R (che io considero come la distanza fra il centro di massa e la prima orbita/stella), come dovrei fare?

Grazie mille!

[donald_zeka]

questa è una formula che, sì, uso abitualmente, ma il termine d che appare al numeratore l'ho sempre considerato come il raggio dell'orbita del caso, o comunque la distanza tra il centro di massa e l'oggetto che si trova sull'orbita

Questo perché sei abituato a qualcosa che orbita attorno a qualcosa di "fisso", ma in verità non è così, il problema dei due corpi dice che, dati due corpi che interagiscono con mutua attrazione gravitazionale, allora il "moto relativo" di uno rispetto all'altro è un'ellisse (che può degenerare in una circonferenza, in una parabola o iperbole, a seconda dei casi), come vedi si parla di moto relativo, ossia, nel tuo caso, prendi una delle stelle, ti ci metti sopra e osservi cosa fa l'altra stella, osserverai che l'altra stella si muoverà attorno a te di moto circolare con raggio d, da cui quella formula, valida in generale anche per moti non circolari ma ellittici, in quel caso d diventa il semiasse maggiore dell'ellisse.

[Bonny941]

"Vulplasir":

questa è una formula che, sì, uso abitualmente, ma il termine d che appare al numeratore l'ho sempre considerato come il raggio dell'orbita del caso, o comunque la distanza tra il centro di massa e l'oggetto che si trova sull'orbita

Questo perché sei abituato a qualcosa che orbita attorno a qualcosa di "fisso", ma in verità non è così, il problema dei due corpi dice che, dati due corpi che interagiscono con mutua attrazione gravitazionale, allora il "moto relativo" di uno rispetto all'altro è un'ellisse (che può degenerare in una circonferenza, in una parabola o iperbole, a seconda dei casi), come vedi si parla di moto relativo, ossia, nel tuo caso, prendi una delle stelle, ti ci metti sopra e osservi cosa fa l'altra stella, osserverai che l'altra stella si muoverà attorno a te di moto circolare con raggio d, da cui quella formula, valida in generale anche per moti non circolari ma ellittici, in quel caso d diventa il semiasse maggiore dell'ellisse.

E riguardo la seconda domanda, se la richiesta fosse il calcolo della distanza tra il centro di massa e la prima orbita, quale sarebbe il procedimento?

Oltretutto viene richiesto in seguito di confrontare i momenti angolari delle due stelle attorno al CM (sostanzialmente facendo il rapporto di uno rispetto all'altro), ma appunto, come braccio dei due momenti angolari cosa dovrei considerare? Sempre d, per entrambi? E la velocità angolare, è sempre la stessa per le due stelle? Che confusione!

[donald_zeka]

Se le stelle si trovano a distanza d tra loro e una ha massa doppia dell'altra, dove si troverà il centro di massa?