Problema di gravitazione
Buongiorno a tutti, ho avuto alcune difficoltà a impostare il seguente problema:
Gli astronomi rilevano un meteorite distante che si muove in linea retta che, se estesa, passerebbe a una distanza di $3R_T$ dal centro della Terra, dove $R_T$ è il raggio terrestre. Quale minima velocità deve avere il meteoroide se la gravità terrestre non lo fa deflettere tanto da colpire la Terra?
In teoria dovrebbe risultare
\[
v_{min}=\sqrt{\frac{GM_T}{4R_T}}
\]
ma non mi è chiaro come sia possibile applicare la conservazione dell'energia. Infatti, nel testo non si precisa a che distanza sia stato rilevato l'asteroide, quindi immagino che la $v_{min}$ sia intesa a distanza infinita dal pianeta; inoltre, il caso limite (ma forse qui sbaglio) per cui esso non colpisce la Terra è quando entra in orbita attorno ad essa con un certo raggio $r$. Pertanto ho scritto la conservazione dell'energia e del momento angolare tra gli stati in cui il corpo è a distanza infinita e quando orbita attorno al pianeta:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}mv^2=-G\frac{M_Tm}{r}+\frac{1}{2}mv_O^2\\
3mvR_T=mv_Or
\end{cases}
\]
dove $v_O$ è la velocità di orbita
\[
v_O=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}
\]
In questo modo, però, la prima equazione risulta impossibile, perché, sostituendo il valore di $v_O$, il membro di destra è negativo. Vi chiedo quindi quali assunzioni sbagliate ho fatto o come voi interpretereste il problema.
Grazie a tutti in anticipo!
Gli astronomi rilevano un meteorite distante che si muove in linea retta che, se estesa, passerebbe a una distanza di $3R_T$ dal centro della Terra, dove $R_T$ è il raggio terrestre. Quale minima velocità deve avere il meteoroide se la gravità terrestre non lo fa deflettere tanto da colpire la Terra?
In teoria dovrebbe risultare
\[
v_{min}=\sqrt{\frac{GM_T}{4R_T}}
\]
ma non mi è chiaro come sia possibile applicare la conservazione dell'energia. Infatti, nel testo non si precisa a che distanza sia stato rilevato l'asteroide, quindi immagino che la $v_{min}$ sia intesa a distanza infinita dal pianeta; inoltre, il caso limite (ma forse qui sbaglio) per cui esso non colpisce la Terra è quando entra in orbita attorno ad essa con un certo raggio $r$. Pertanto ho scritto la conservazione dell'energia e del momento angolare tra gli stati in cui il corpo è a distanza infinita e quando orbita attorno al pianeta:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}mv^2=-G\frac{M_Tm}{r}+\frac{1}{2}mv_O^2\\
3mvR_T=mv_Or
\end{cases}
\]
dove $v_O$ è la velocità di orbita
\[
v_O=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}
\]
In questo modo, però, la prima equazione risulta impossibile, perché, sostituendo il valore di $v_O$, il membro di destra è negativo. Vi chiedo quindi quali assunzioni sbagliate ho fatto o come voi interpretereste il problema.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Ci ho pensato un po', prima di rispondere , perchè avevo qualche dubbio, inizialmente, sulla conservazione del momento angolare, poi risolto.
La distanza $3R_T$ della traiettoria iniziale rettilinea dalla terra ti consente di scrivere la conservazione del momento angolare, che è in ogni caso un vettore perpendicolare al piano orbitale , e, pure se l'asteroide "curva" verso la terra avvicinandosi ad essa , $vecL$ si conserva certamente anche in modulo, oltre che in direzione. Hai scritto l'equazione relativa, ma non l'hai sfruttata. Però , prima di sfruttare la conservazione del momento angolare, facciamo qualche considerazione.
Giustamente dici : " Se l'asteroide non deve cadere sulla terra, potrà tutt'al più avvicinarsi ad essa, fino mettersi in un'orbita circolare , di raggio $r$" . Ora ti chiedo : qual è il minimo valore di questo raggio $r$ , che è sufficiente sia di "pochissimo" maggiore del raggio terrestre $R_T$ , purché l'oggetto non tocchi la terra ? (Siamo in un caso teorico, senza attrito con l'aria, senza montagne e valli sulla terra , e il globo perfettamente sferico). Questo non è altro che il problema del calcolo della "prima velocità cosmica" , che è la velocità che deve avere un oggetto, lanciato da una piccola sporgenza terrestre in direzione orizzontale , affinché faccia il giro della terra senza cadere e torni al punto di lancio ! E questa velocità ( ripeto, in condizioni assolutamente e totalmente teoriche) , si calcola assumendo che il raggio dell'orbita sia pressoché uguale al raggio terrestre : $r \approx R_T$ , e uguagliando la forza centripeta alla forza gravitazionale.
PErcio , ottieni la formula della velocità orbitale , che tu hai chiamato $v_0$ , e altro non è che la prima velocità cosmica, mettendo $r = R_T $ :
Adesso è facile . Dalla conservazione del momento angolare hai :
$ 3mvR_T = mv_0R_T \rarr v= v_0/3 $
e questo risultato c'era da aspettarselo , se fai un disegno : la distanza diminuisce di un fattore $3$ , perciò la velocità nell'orbita attorno alla terra aumenta di tre volte rispetto alla velocità iniziale, proprio per la conservazione di $L$ . Adesso passa alla conservazione dell'energia ( divido per $m$ , si semplifica) sostituendo il valore trovato:
$1/2(v_0/3)^2 = - (GM)/R_T + 1/2 v_0^2 \rarr 1/2(1/9-1) v_0^2 =- (GM)/R_T \rarr -4/9v_0^2 =- (GM)/R_T $
da cui :
che è il risultato da te pubblicato.
Desidero solo aggiungere che la meccanica celeste è, in realtà , una materia alquanto complessa, ma vale la pena di darci un'occhiata.
La distanza $3R_T$ della traiettoria iniziale rettilinea dalla terra ti consente di scrivere la conservazione del momento angolare, che è in ogni caso un vettore perpendicolare al piano orbitale , e, pure se l'asteroide "curva" verso la terra avvicinandosi ad essa , $vecL$ si conserva certamente anche in modulo, oltre che in direzione. Hai scritto l'equazione relativa, ma non l'hai sfruttata. Però , prima di sfruttare la conservazione del momento angolare, facciamo qualche considerazione.
Giustamente dici : " Se l'asteroide non deve cadere sulla terra, potrà tutt'al più avvicinarsi ad essa, fino mettersi in un'orbita circolare , di raggio $r$" . Ora ti chiedo : qual è il minimo valore di questo raggio $r$ , che è sufficiente sia di "pochissimo" maggiore del raggio terrestre $R_T$ , purché l'oggetto non tocchi la terra ? (Siamo in un caso teorico, senza attrito con l'aria, senza montagne e valli sulla terra , e il globo perfettamente sferico). Questo non è altro che il problema del calcolo della "prima velocità cosmica" , che è la velocità che deve avere un oggetto, lanciato da una piccola sporgenza terrestre in direzione orizzontale , affinché faccia il giro della terra senza cadere e torni al punto di lancio ! E questa velocità ( ripeto, in condizioni assolutamente e totalmente teoriche) , si calcola assumendo che il raggio dell'orbita sia pressoché uguale al raggio terrestre : $r \approx R_T$ , e uguagliando la forza centripeta alla forza gravitazionale.
PErcio , ottieni la formula della velocità orbitale , che tu hai chiamato $v_0$ , e altro non è che la prima velocità cosmica, mettendo $r = R_T $ :
$v_0 = sqrt ( (GM_T)/(R_T) ) = sqrt (gR_T) $
Adesso è facile . Dalla conservazione del momento angolare hai :
$ 3mvR_T = mv_0R_T \rarr v= v_0/3 $
e questo risultato c'era da aspettarselo , se fai un disegno : la distanza diminuisce di un fattore $3$ , perciò la velocità nell'orbita attorno alla terra aumenta di tre volte rispetto alla velocità iniziale, proprio per la conservazione di $L$ . Adesso passa alla conservazione dell'energia ( divido per $m$ , si semplifica) sostituendo il valore trovato:
$1/2(v_0/3)^2 = - (GM)/R_T + 1/2 v_0^2 \rarr 1/2(1/9-1) v_0^2 =- (GM)/R_T \rarr -4/9v_0^2 =- (GM)/R_T $
da cui :
$v = v_0/3 = sqrt( (GM)/(4R_T) $
che è il risultato da te pubblicato.
Desidero solo aggiungere che la meccanica celeste è, in realtà , una materia alquanto complessa, ma vale la pena di darci un'occhiata.
Grazie mille, adesso è molto più chiaro!
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