Problema di fisica sul piano inclinato
Salve ragazzi, mi chiedevo se qualcuno potesse darmi una mano con un problema. In realtà la materia in questione è meccanica delle macchine (Ingegneria), ma visto che siamo agli inizi credo che questo possa considerarsi un problema di Fisica I.
Un carrello di massa complessiva $ m=150 $ sta scendendo lungo un piano inclinato dell'angolo $alpha=30°$ con velocità $ V_0=4 $m/s quando, all'istante $ t=0 $s, viene applicata una forza $ vec(P) $ al cavo come mostrato in figura. L'intensità della forza varia linearmente nel tempo passando dal valore nullo al valore di $ 600 $ N all'istante $ t=4 $s, mantenendosi poi costante. Calcolare il tempo $ t_1 $ nel quale il carrello inverte il verso di moto e la sua velocità all'istante $ t_2=8 $ s.
$ [t_1=6,46 s; V_2=4,76 m/s] $
Purtroppo l'immagine non riesco ad aggiungerla, comunque è il classico piano inclinato ma la forza $ vec(P) $ è ORIZZONTALE (Praticamente frena la discesa del carrello (e quindi successivamente lo tira su) dal punto più alto del piano inclinato, dove c'è una carrucola collegata con un filo al carrello)
Vorrei soffermarmi sullla prima domanda, visto che credo che la seconda verrà da sé una volta risolta appunto la prima.
Io ho pensato di usare la legge secondo cui la variazione della quantità di moto = l'impulso delle forze in un intervallo di tempo, cioè:
$ int_(t_0)^(t_1)sum(vecF_i ) dt=Delta vec(Q) $
Ho inoltre interpretato questa frase: "L'intensità della forza varia linearmente nel tempo passando dal valore nullo al valore di $ 600 $ N all'istante $ t=4 $s, mantenendosi poi costante.", dicendo che $ P=kt $ N, dove $ k=(P_t)/t $, con $ t=4 s$ e perciò $k=150$.
Perciò:
$ int_(0)^(t_1)(mgsinalpha-ktcosalpha) dt= mV_f - m V_0 $
Impongo $ V_f=0 $ perché in quel punto significa che il carrello si è fermato e sta per invertire il suo moto. Risolvo l'integrale in funzione di t e dovrebbe venir fuori questa equazione di secondo grado:
$ 1/2(kcosalpha)t^2-(mgsinalpha)t-mV_0=0 $
Escludendo il valore negativo ottengo $ t=12,092 s$, perciò i conti non tornano. Avete qualche idea? Dite che il mio ragionamento è una gran "boiata"??? Grazie
Un carrello di massa complessiva $ m=150 $ sta scendendo lungo un piano inclinato dell'angolo $alpha=30°$ con velocità $ V_0=4 $m/s quando, all'istante $ t=0 $s, viene applicata una forza $ vec(P) $ al cavo come mostrato in figura. L'intensità della forza varia linearmente nel tempo passando dal valore nullo al valore di $ 600 $ N all'istante $ t=4 $s, mantenendosi poi costante. Calcolare il tempo $ t_1 $ nel quale il carrello inverte il verso di moto e la sua velocità all'istante $ t_2=8 $ s.
$ [t_1=6,46 s; V_2=4,76 m/s] $
Purtroppo l'immagine non riesco ad aggiungerla, comunque è il classico piano inclinato ma la forza $ vec(P) $ è ORIZZONTALE (Praticamente frena la discesa del carrello (e quindi successivamente lo tira su) dal punto più alto del piano inclinato, dove c'è una carrucola collegata con un filo al carrello)
Vorrei soffermarmi sullla prima domanda, visto che credo che la seconda verrà da sé una volta risolta appunto la prima.
Io ho pensato di usare la legge secondo cui la variazione della quantità di moto = l'impulso delle forze in un intervallo di tempo, cioè:
$ int_(t_0)^(t_1)sum(vecF_i ) dt=Delta vec(Q) $
Ho inoltre interpretato questa frase: "L'intensità della forza varia linearmente nel tempo passando dal valore nullo al valore di $ 600 $ N all'istante $ t=4 $s, mantenendosi poi costante.", dicendo che $ P=kt $ N, dove $ k=(P_t)/t $, con $ t=4 s$ e perciò $k=150$.
Perciò:
$ int_(0)^(t_1)(mgsinalpha-ktcosalpha) dt= mV_f - m V_0 $
Impongo $ V_f=0 $ perché in quel punto significa che il carrello si è fermato e sta per invertire il suo moto. Risolvo l'integrale in funzione di t e dovrebbe venir fuori questa equazione di secondo grado:
$ 1/2(kcosalpha)t^2-(mgsinalpha)t-mV_0=0 $
Escludendo il valore negativo ottengo $ t=12,092 s$, perciò i conti non tornano. Avete qualche idea? Dite che il mio ragionamento è una gran "boiata"??? Grazie
Risposte
Scusami ma cosa sono $P_c$ e $t_c$? E in più l'integrale credo che sia sbagliato perché
$ k(int_(t_0)^(t_1)t dt)vec(u) =1/2kt^2vec(u) $ e non $ktvec(u)$
$ k(int_(t_0)^(t_1)t dt)vec(u) =1/2kt^2vec(u) $ e non $ktvec(u)$
Si scusa andando veloce... (sopra ho modificato) Comunque al tempo \(t_{c}\) il modulo della forza assume il valore costante \(P_{c}\) (la funzione è continua in \(t_{c}\) quindi lo si può fare).
Ok grazie ma non credo che il problema sia risolto perché quello che hai fatto in sostanza è stato trovare il valore di k, ma l'avevo già fatto anch'io..
A questo punto non so se hai letto i passaggi del mio ragionamento che si differenzia dal tuo semplicemente per il fatto che io ho considerato anche la componente parallela (al piano inclinato) della forza peso e la componente parallela di P (e non semplicemente P che invece è orizzontale).. Può darsi che il tuo metodo sia quello giusto eppure mi pare che qualcosa non torna.
Tra l'altro sostituendo il risultato della prima domanda $ t=6,46 s$ nella tua equazione, viene fuori un valore della velocità finale che è diverso da zero quindi non credo sia corretto visto che il carrello deve necessariamente fermarsi per un istante per poter invertire il proprio moto e POI ripartire
A questo punto non so se hai letto i passaggi del mio ragionamento che si differenzia dal tuo semplicemente per il fatto che io ho considerato anche la componente parallela (al piano inclinato) della forza peso e la componente parallela di P (e non semplicemente P che invece è orizzontale).. Può darsi che il tuo metodo sia quello giusto eppure mi pare che qualcosa non torna.
Tra l'altro sostituendo il risultato della prima domanda $ t=6,46 s$ nella tua equazione, viene fuori un valore della velocità finale che è diverso da zero quindi non credo sia corretto visto che il carrello deve necessariamente fermarsi per un istante per poter invertire il proprio moto e POI ripartire
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