Problema di Fisica sui punti materiali e molla!
Un punto materiale di massa m è appoggiato su di un piattello (schematizzato anch'esso come un punto materiale di massa m) connesso ad una molla verticale di costante elastica k. La molla viene inizialmente compressa (con il punto materiale sul piattello), calcolare il valore minimo della compressione della molla y0 perchè punto e piattello si separino (dopo un certo tempo t).
Sono riuscito a capire (forse) che il pallino si stacca dal piattello quando l'accelerazione che la molla imprime sul piattello è maggiore a quella di gravità, giusto? Però non riesco a riportarmi ai numeri...
Grazie!
Sono riuscito a capire (forse) che il pallino si stacca dal piattello quando l'accelerazione che la molla imprime sul piattello è maggiore a quella di gravità, giusto? Però non riesco a riportarmi ai numeri...
Grazie!
Risposte
Dopo diverse interpretazioni, ho deciso di considerare la molla ancorata al pavimento e $[y_0]$ l'ulteriore compressione misurata a partire dalla configurazione di equilibrio corrispondente alla presenza della forza peso complessiva e della forza elastica. Del resto, mi sembrava l'interpretazione più aderente al testo. Allora, orientando l'asse verticale verso l'alto e ponendo l'origine nella posizione iniziale del sistema:
$\{(mddoty=-mg-k(y-(2mg)/k-y_0)-R),(mddoty=-mg+R),(R>=0):} rarr \{(mddoty=mg-k(y-y_0)-R),(mddoty=-mg+R),(R>=0):} rarr$
$rarr [2mddoty=-k(y-y_0)] rarr [ddoty+k/(2m)y=(ky_0)/(2m)]$
Quindi, si deve determinare l'integrale particolare dell'equazione differenziale ricavata con le seguenti condizioni iniziali:
$\{(y(0)=0),(doty(0)=0):} rarr [y(t)=y_0(1-cosomegat)] ^^ [omega=sqrt(k/(2m))]$
e sostituire, per semplicità, la soluzione $[y(t)]$ nella seconda equazione del sistema iniziale per determinare la reazione vincolare interna $[R(t,y_0)]$:
$[R(t,y_0)=mddoty+mg] rarr [R(t,y_0)=my_0omega^2cosomegat+mg] rarr [R(t,y_0)=m(y_0omega^2cosomegat+g)]$
Infine, si deve discutere la disequazione $[R(t,y_0)>=0]$:
$[R(t,y_0)>=0] rarr [m(y_0omega^2cosomegat+g)>=0] rarr [y_0omega^2cosomegat+g>=0] rarr [cosomegat>=-g/(y_0omega^2)] rarr$
$rarr [0<=omegat<=arccos(-g/(y_0omega^2))] rarr [0<=omegat<=pi-arccos(g/(y_0omega^2))] rarr [0<=t<=pi/omega-1/omegaarccos(g/(y_0omega^2))]$
Allora, se:
$[-g/(y_0omega^2)>=-1] rarr [g/(y_0omega^2)<=1] rarr [y_0>=g/omega^2]$
il distacco si verifica all'istante $[t=pi/omega-1/omegaarccos(g/(y_0omega^2))]$. Viceversa, se $[y_0
$\{(mddoty=-mg-k(y-(2mg)/k-y_0)-R),(mddoty=-mg+R),(R>=0):} rarr \{(mddoty=mg-k(y-y_0)-R),(mddoty=-mg+R),(R>=0):} rarr$
$rarr [2mddoty=-k(y-y_0)] rarr [ddoty+k/(2m)y=(ky_0)/(2m)]$
Quindi, si deve determinare l'integrale particolare dell'equazione differenziale ricavata con le seguenti condizioni iniziali:
$\{(y(0)=0),(doty(0)=0):} rarr [y(t)=y_0(1-cosomegat)] ^^ [omega=sqrt(k/(2m))]$
e sostituire, per semplicità, la soluzione $[y(t)]$ nella seconda equazione del sistema iniziale per determinare la reazione vincolare interna $[R(t,y_0)]$:
$[R(t,y_0)=mddoty+mg] rarr [R(t,y_0)=my_0omega^2cosomegat+mg] rarr [R(t,y_0)=m(y_0omega^2cosomegat+g)]$
Infine, si deve discutere la disequazione $[R(t,y_0)>=0]$:
$[R(t,y_0)>=0] rarr [m(y_0omega^2cosomegat+g)>=0] rarr [y_0omega^2cosomegat+g>=0] rarr [cosomegat>=-g/(y_0omega^2)] rarr$
$rarr [0<=omegat<=arccos(-g/(y_0omega^2))] rarr [0<=omegat<=pi-arccos(g/(y_0omega^2))] rarr [0<=t<=pi/omega-1/omegaarccos(g/(y_0omega^2))]$
Allora, se:
$[-g/(y_0omega^2)>=-1] rarr [g/(y_0omega^2)<=1] rarr [y_0>=g/omega^2]$
il distacco si verifica all'istante $[t=pi/omega-1/omegaarccos(g/(y_0omega^2))]$. Viceversa, se $[y_0
Per calcolare l'allungamento minimo della molla si poteva usare la conservazione dell'energia.
Se posso aggiungere un mio contributo, vorrei proporre un metodo di soluzione meno "contoso" e più fisico.
Premessa
Assumiamo una molla verticale appoggiata a terra. Orientiamo l'asse y verso l'alto e poniamo lo zero sulla posizione di equilibrio (molla scarica). Se poniamo sulla molla una massa 2m, la molla si comprimerà portando l'estremo alla posizione $y_0$. La relazione che lega questa ordinata con la massa è:
[tex]k{y_0} = - 2mg[/tex]
Se adesso consideriamo questa ordinata come l'ordinata di equilibrio e chiamiamo $\Deltay$ l'ulteriore spostamento da questa, la massa 2m posta sulla sommità della molla risente della forza di gravità più la forza dovuta alla compressione/allungamento della molla, ovvero vale la relazione:
[tex]k\left( {{y_0} + \Delta y} \right) + 2mg = - 2ma[/tex]
Sostituendo si ha finalmente la relazione:
[tex]k\Delta y = - 2ma[/tex]
dove lo spostamento $\Deltay$ si misura a partire dalla posizione di equilibrio $y_0$ di cui sopra.
Tutto ciò premesso faccio la seguente considerazione.
Se ci poniamo nel sistema accelerato solidale col piattino, la massa m posta sul piattino è soggetta a tre forze: la forza di gravità -mg, la forza apparente data dalla accelerazione a del piattino, che vale -ma, e la reazione d'appoggio del piattino [tex]{R_a}[/tex].
La massa m è in quiete nel sistema relativo quando la somma di queste 3 forze è nulla:
[tex]{F_r} = m\left( { - g - a} \right) + {R_a} = 0[/tex]
La quiete inizia a cessare, e quindi la massa m inizia a staccarsi dal piattino, esattamente nel momento in cui la reazione d'appoggio si annulla ovvero quando:
[tex]{F_r} = m\left( { - g - a} \right) = 0[/tex]
cioè [tex]a = - g[/tex]
Poiché l'accelerazione è massima (in valore assoluto) in corrispondenza alla massima elongazione della molla rispetto al punto di equilibrio, cioè proprio all'estensione [tex]\Delta y[/tex] esattamente simmetrica rispetto alla compressione con la quale si era caricata la molla, sostituendo questa relazione in quella della molla si ha la minima compressione che serve a dare luogo al fenomeno del distacco:
[tex]k\Delta {y_{\min }} = - 2ma = 2mg[/tex]
ovvero
[tex]\Delta {y_{\min }} = \frac{{2mg}}{k}[/tex]
(che d'altra parte è anche la soluzione trovata da speculor, e ciò mi conforta assai
)
(a rigore ci andrebbe un segno - visto che una compressione dà luogo a spostamento negativo rispetto al punto di equilibrio, dato il verso assegnato all'asse y, ma sorvoliamo e diciamo che si intende il valore assoluto...)
E.... a proposito: BUON 2012 A TUTTI !
Premessa
Assumiamo una molla verticale appoggiata a terra. Orientiamo l'asse y verso l'alto e poniamo lo zero sulla posizione di equilibrio (molla scarica). Se poniamo sulla molla una massa 2m, la molla si comprimerà portando l'estremo alla posizione $y_0$. La relazione che lega questa ordinata con la massa è:
[tex]k{y_0} = - 2mg[/tex]
Se adesso consideriamo questa ordinata come l'ordinata di equilibrio e chiamiamo $\Deltay$ l'ulteriore spostamento da questa, la massa 2m posta sulla sommità della molla risente della forza di gravità più la forza dovuta alla compressione/allungamento della molla, ovvero vale la relazione:
[tex]k\left( {{y_0} + \Delta y} \right) + 2mg = - 2ma[/tex]
Sostituendo si ha finalmente la relazione:
[tex]k\Delta y = - 2ma[/tex]
dove lo spostamento $\Deltay$ si misura a partire dalla posizione di equilibrio $y_0$ di cui sopra.
Tutto ciò premesso faccio la seguente considerazione.
Se ci poniamo nel sistema accelerato solidale col piattino, la massa m posta sul piattino è soggetta a tre forze: la forza di gravità -mg, la forza apparente data dalla accelerazione a del piattino, che vale -ma, e la reazione d'appoggio del piattino [tex]{R_a}[/tex].
La massa m è in quiete nel sistema relativo quando la somma di queste 3 forze è nulla:
[tex]{F_r} = m\left( { - g - a} \right) + {R_a} = 0[/tex]
La quiete inizia a cessare, e quindi la massa m inizia a staccarsi dal piattino, esattamente nel momento in cui la reazione d'appoggio si annulla ovvero quando:
[tex]{F_r} = m\left( { - g - a} \right) = 0[/tex]
cioè [tex]a = - g[/tex]
Poiché l'accelerazione è massima (in valore assoluto) in corrispondenza alla massima elongazione della molla rispetto al punto di equilibrio, cioè proprio all'estensione [tex]\Delta y[/tex] esattamente simmetrica rispetto alla compressione con la quale si era caricata la molla, sostituendo questa relazione in quella della molla si ha la minima compressione che serve a dare luogo al fenomeno del distacco:
[tex]k\Delta {y_{\min }} = - 2ma = 2mg[/tex]
ovvero
[tex]\Delta {y_{\min }} = \frac{{2mg}}{k}[/tex]
(che d'altra parte è anche la soluzione trovata da speculor, e ciò mi conforta assai
)(a rigore ci andrebbe un segno - visto che una compressione dà luogo a spostamento negativo rispetto al punto di equilibrio, dato il verso assegnato all'asse y, ma sorvoliamo e diciamo che si intende il valore assoluto...)
E.... a proposito: BUON 2012 A TUTTI !
Ineccepibile.
Reciprocamente confortati.
Buon anno anche a te!
"Falco5x":
...che d'altra parte è anche la soluzione trovata da speculor, e ciò mi conforta assai
Reciprocamente confortati.
"Falco5x":
BUON 2012 A TUTTI !
Buon anno anche a te!
Wow grazie mille, due spiegazioni veramente perfette . Adesso vi propongo il seguito dell'esercizio che a quanto pare non riesco proprio a digerire..
(Dopo aver calcolato la compressione minima della molla necessaria a far staccare il punto materiale dal piattello) Scrivere la dipendenza dal tempo della distanza fra il punto materiale ed il piattello, considerando il tempo t=0 nel momento in cui si separano i due oggetti.
Suppongo ci vogliano le leggi orarie dei due punti (piattello e pallina) e scrivere un equazione che ne descrive la loro distanza...giusto?
Grazie
. Adesso vi propongo il seguito dell'esercizio che a quanto pare non riesco proprio a digerire..(Dopo aver calcolato la compressione minima della molla necessaria a far staccare il punto materiale dal piattello) Scrivere la dipendenza dal tempo della distanza fra il punto materiale ed il piattello, considerando il tempo t=0 nel momento in cui si separano i due oggetti.
Suppongo ci vogliano le leggi orarie dei due punti (piattello e pallina) e scrivere un equazione che ne descrive la loro distanza...giusto?
Grazie
Con riferimento sempre al primo punto, con la conservazione dell'energia hai $T_i+V_i=T_(f)+V_f$, da cui $0+0=0+V_f$, quindi $1/2kx^2+mgx=0 -> x=-(2mg)/k$
ma usando la conservazione dell'energia non dovrebbe venire y=4mg/k
ponendo U=0 al livello della molla non compressa, mi risulta
T(iniz)+U(iniz)=T(fin)+U(fin)
T(iniz)=0 U(fin)=0
U(iniz)=-2mgy+0.5ky^2
quindi perchè la molla e piattino arrivino nella posizione con velocità>0 risulta che y>4mg/k
ponendo U=0 al livello della molla non compressa, mi risulta
T(iniz)+U(iniz)=T(fin)+U(fin)
T(iniz)=0 U(fin)=0
U(iniz)=-2mgy+0.5ky^2
quindi perchè la molla e piattino arrivino nella posizione con velocità>0 risulta che y>4mg/k
"Mirino06":
Con riferimento sempre al primo punto, con la conservazione dell'energia hai $T_i+V_i=T_(f)+V_f$, da cui $0+0=0+V_f$, quindi $1/2kx^2+mgx=0 -> x=-(2mg)/k$
Non ho capito come applichi la conservazione dell'energia per rispondere alla domanda, cioè come leghi la condizione di distacco al bilancio energetico. Se non spieghi questo la tua soluzione appare un caso in cui un ragionamento sbagliato porta ad un risultato corretto (dico risultato corretto perché uguale a quello trovato da Falco5x e speculor).
ho imposto che piattello e punto materiale arrivassero nella posizione di equilibrio della molla con velocità non nulla e da qui in poi il punto materiale si separasse, perché la molla comincia a trattenere il piattello
@miticocampo
Il mio commento era riferito a Mirino06.
Non ho letto il tuo ultimo messaggio in risposta a lui, in ogni caso mi riesce difficile pensare di risolvere il problema con l'energia e senza considerazioni simili o equivalenti a quelle di Falco...
Il mio commento era riferito a Mirino06.
Non ho letto il tuo ultimo messaggio in risposta a lui, in ogni caso mi riesce difficile pensare di risolvere il problema con l'energia e senza considerazioni simili o equivalenti a quelle di Falco...
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