Problema di fisica scala all'equilibrio statico.
Salve, qualcuno ha idea di come risolvere questo problema di fisica sull'equilibrio statico di una scala?
Una scala a pioli, lunga 5 m e di massa M, è appoggiata su un pavimento orizzontale scabro
e contro una parete verticale liscia. La massima distanza dalla parete alla quale possono
essere poggiati i piedi della scala senza che ci sia slittamento vale 4 m. Quando i piedi di
detta scala sono appoggiati a 3 m dalla parete, qual è la massima distanza lungo la scala
che un uomo (puntiforme) di massa 5M può risalire senza pericolo? (Per chiarezza, se tale
distanza fosse 5 m, l’uomo sarebbe arrivato in cima alla scala)
Ho provato considerando inizialmente il caso iniziale con la distanza $d=4m$. Quindi ho scritto la seconda legge di newton per gli assi x-y ponendo la forza uguale a zero. Successivamente ho posto anche i momenti nulli.
$\hat{x}: N_1-f=0$
$\hat{y}: N_2-Mg=0$
$\hat{z}: \frac{l}{2}Mgsin(\pi/2 + \theta)-N_1lsin(\pi-\theta)=\frac{l}{2}Mgcos(\theta)-N_1lsin(\theta)=0$
Sapendo che $d=lcos(\theta) \Leftrightarrow sin(\theta)=\frac{1}{l}\sqrt{l^2-d^2}$ ottengo l'espressione della forza di attrito statico $f$:
$f=\frac{Mgd}{2\sqrt{l^2-d^2}$
Adesso ho considerato il caso in cui la distanza della parete dai piedi della scala è $\hat{d}=3 m$ e ho riscritto le equazioni delle forze e dei momenti ponendo il tutto uguale a zero, con l'aggiunta di considerare anche una seconda forza peso dovuta al punto materiale di massa $m=5M$. Definendo $x$ la distanza dal punto materiale all'apice della scala, ossia la variabile ultima richiesta dall'esercizio:
$N_1-f=0$
$N_2-Mg-5Mg=0$
$\frac{l}{2}Mgcos(\theta')+5Mgxcos(\theta')-N_1lsin(\theta')=0$
Sapendo che $\hat{d}=lcos(\theta') \Leftrightarrow sin(\theta')=\frac{1}{l}\sqrt{l^2-\hat{d}^2}$ e risolvendo così in $x$ (M si elide), ottengo
$x=0.39 m$
Il quale è un risultato errato, in quando dovrebbe tornare $x=29/6=4,8333 m$
Idee? Grazie per la lettura!
Una scala a pioli, lunga 5 m e di massa M, è appoggiata su un pavimento orizzontale scabro
e contro una parete verticale liscia. La massima distanza dalla parete alla quale possono
essere poggiati i piedi della scala senza che ci sia slittamento vale 4 m. Quando i piedi di
detta scala sono appoggiati a 3 m dalla parete, qual è la massima distanza lungo la scala
che un uomo (puntiforme) di massa 5M può risalire senza pericolo? (Per chiarezza, se tale
distanza fosse 5 m, l’uomo sarebbe arrivato in cima alla scala)
Ho provato considerando inizialmente il caso iniziale con la distanza $d=4m$. Quindi ho scritto la seconda legge di newton per gli assi x-y ponendo la forza uguale a zero. Successivamente ho posto anche i momenti nulli.
$\hat{x}: N_1-f=0$
$\hat{y}: N_2-Mg=0$
$\hat{z}: \frac{l}{2}Mgsin(\pi/2 + \theta)-N_1lsin(\pi-\theta)=\frac{l}{2}Mgcos(\theta)-N_1lsin(\theta)=0$
Sapendo che $d=lcos(\theta) \Leftrightarrow sin(\theta)=\frac{1}{l}\sqrt{l^2-d^2}$ ottengo l'espressione della forza di attrito statico $f$:
$f=\frac{Mgd}{2\sqrt{l^2-d^2}$
Adesso ho considerato il caso in cui la distanza della parete dai piedi della scala è $\hat{d}=3 m$ e ho riscritto le equazioni delle forze e dei momenti ponendo il tutto uguale a zero, con l'aggiunta di considerare anche una seconda forza peso dovuta al punto materiale di massa $m=5M$. Definendo $x$ la distanza dal punto materiale all'apice della scala, ossia la variabile ultima richiesta dall'esercizio:
$N_1-f=0$
$N_2-Mg-5Mg=0$
$\frac{l}{2}Mgcos(\theta')+5Mgxcos(\theta')-N_1lsin(\theta')=0$
Sapendo che $\hat{d}=lcos(\theta') \Leftrightarrow sin(\theta')=\frac{1}{l}\sqrt{l^2-\hat{d}^2}$ e risolvendo così in $x$ (M si elide), ottengo
$x=0.39 m$
Il quale è un risultato errato, in quando dovrebbe tornare $x=29/6=4,8333 m$
Idee? Grazie per la lettura!
Risposte
Premesso che:
puoi procedere più speditamente prendendo come polo il "quarto vertice del rettangolo":
(b sta per braccio) e concludere con una semplice proporzione:
Reazione verticale pavimento
1° caso
$Mg$
2° caso
$6Mg$
puoi procedere più speditamente prendendo come polo il "quarto vertice del rettangolo":
Seconda equazione cardinale della statica
1° caso
$[\mu_s*Mg*3-Mg*2=0] rarr [\mu_s=2/3]$
2° caso
$[2/3*6Mg*4-Mg*3/2-5Mg*b=0] rarr [b=29/10]$
(b sta per braccio) e concludere con una semplice proporzione:
$[x=5/3b] rarr [x=29/6]$
Grazie mille! Non ho ben capito quale polo intendessi, comunque mi hai dato l'input per scovare l'errore che avevo fatto nel mio svolgimento :] 
"fede_1_1":
Non ho ben capito quale polo intendessi ...
Intendevo il vertice superiore destro del rettangolo la cui diagonale è la scala, rispetto al quale i momenti della reazione vincolare del pavimento e della reazione vincolare della parete sono nulli. In questo modo, quando si esplicita la seconda equazione cardinale della statica, è sufficiente esprimere i due momenti della forza peso e il momento della forza di attrito.
"anonymous_0b37e9":
[quote="fede_1_1"]
Non ho ben capito quale polo intendessi ...
Intendevo il vertice superiore destro del rettangolo la cui diagonale è la scala, rispetto al quale i momenti della reazione vincolare del pavimento e della reazione vincolare della parete sono nulli. In questo modo, quando si esplicita la seconda equazione cardinale della statica, è sufficiente esprimere i due momenti della forza peso e il momento della forza di attrito.[/quote]
Non è giusto Sergeant Elias. LA reazione vincolare del pavimento ha una componente verticale e una componente orizzontale, visto che il pavimento è scabro, e non passa per il punto che dici tu. Invece la parete verticale è liscia, quindi la sua reazione è tutta orizzontale.
Conviene assumere, come polo dei momenti, il punto di appoggio della scala sul pavimento, angolo inferiore sinistro . Il tal modo, il momento della reazione vincolare del pavimento è uguale a zero.
Ci sono a disposizione tre equazioni della statica piana :
equilibrio alla traslazione orizzontale
equilibrio alla traslazione verticale
equilibrio alla rotazione
piu che sufficienti per risolvere il problema.
"Shackle":
Non è giusto Sergeant Elias.
In che senso?
"anonymous_0b37e9":
In questo modo, quando si esplicita la seconda equazione cardinale della statica, è sufficiente esprimere i due momenti della forza peso e il momento della forza di attrito.
Dallo stralcio riportato, dovrebbe essere evidente che, per reazione vincolare del pavimento, io non abbia inteso anche la forza di attrito. Basta mettersi d'accordo. Per questo motivo, ho l'impressione che il tuo intervento sia un po' pretestuoso. Pazienza, me ne farò una ragione.
Dallo stralcio riportato, dovrebbe essere evidente che, per reazione vincolare del pavimento, io non abbia inteso anche la forza di attrito. Basta mettersi d'accordo. Per questo motivo, ho l'impressione che il tuo intervento sia un po' pretestuoso. Pazienza, me ne farò una ragione.
Niente di pretestuoso, di cui devi farti una ragione.
Nel disegno allegato, seconda figura, si vede che la reazione del pavimento $vecR_A $ incontra la retta di azione della reazione $vecR_C$ della parete in un punto $Q$ , che è diverso da C . La reazione $vecR_A$ ha un componente verticale $vecR_(AV)$ , il cui modulo è uguale al modulo del peso totale $P = 6Mg$ , e un componente orizzontale il cui modulo é uguale al modulo della reazione della parete $vecR_C$ .
Come vedi, le tre forze $vecP_T$ , $ vecR_A $ , $vecR_C$ formano in ogni caso un triangolo non degenere $AQC$; la reazione vincolare del pavimento, anche se ne consideri solo il componente verticale , non ha momento nullo rispetto al punto C , per cui conviene assumere come polo dei momenti il punto $A$ .
Questo è cio che intendevo.
"Shackle":
Niente di pretestuoso ...
Ok. A questo punto deve trattarsi di un malinteso.
"anonymous_0b37e9":
Intendevo il vertice superiore destro del rettangolo la cui diagonale è la scala ...
Mi stavo riferendo alla figura sottostante:
In questo modo, si può concludere senza scomodare la prima equazione cardinale della statica lungo l'asse orizzontale. Se ho capito bene, tu hai scelto come polo l'appoggio sul pavimento. Per questo motivo lo svolgimento mi sembra meno immediato.
Si, é stato un malinteso, che risulta evidente dal confronto della figura mia con la tua. Ma si risolve bene in entrambi i casi.
"Shackle":
... é stato un malinteso ...
Meno male. Colgo l'occasione per augurarti una buona Pasqua.
Anche a te Buona Pasqua...nonostante il momentaccio che sta attraversando il mondo.
Grazie @anonymous_0b37e9 e Shackle per l'intervento, ho compreso ^^
Approfitto allora per augurarvi una buona Pasquetta :]
Approfitto allora per augurarvi una buona Pasquetta :]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo