Problema di fisica molla verticale con 2 masse
Salve, mi sono imbattuto in questo interessante problema di fisica di cui non riesco a venirne a capo:
Abbiamo il seguente sistema: https://ibb.co/JRMqSC2
Sappiamo che la massa 1 è vincolata alla molla, mentre la massa 2 è solo appoggiata su m1. Con i seguenti dati:
k,$l_0$,m1,m2 (considerando che m1=m2) e sapendo che inizialmente la molla è completamente compressa e i blocchi sono fermi.
Calcolare la massima altezza a cui arriva m2, una volta lasciata libera la molla?
Lo schema di ragionamento è il seguente: dal diagramma a corpo libero del sistema si ricava il punto in cui la massa 2 si stacca da 1. Poi usando la conservazione dell'energia si giunge al risultato. Il problema che a livello di calcoli non mi esce la tesi corretta...Probabilmente sbaglio il diagramma a corpo libero, help!
Il risultato dovrebbe essere:
$ h_max=l_0+frac{1}{2g}(frac{k(l_0)^2}{2m}-2gl_0) $
Grazie in anticipo!
Buona fisica a tutti :]
Abbiamo il seguente sistema: https://ibb.co/JRMqSC2
Sappiamo che la massa 1 è vincolata alla molla, mentre la massa 2 è solo appoggiata su m1. Con i seguenti dati:
k,$l_0$,m1,m2 (considerando che m1=m2) e sapendo che inizialmente la molla è completamente compressa e i blocchi sono fermi.
Calcolare la massima altezza a cui arriva m2, una volta lasciata libera la molla?
Lo schema di ragionamento è il seguente: dal diagramma a corpo libero del sistema si ricava il punto in cui la massa 2 si stacca da 1. Poi usando la conservazione dell'energia si giunge al risultato. Il problema che a livello di calcoli non mi esce la tesi corretta...Probabilmente sbaglio il diagramma a corpo libero, help!
Il risultato dovrebbe essere:
$ h_max=l_0+frac{1}{2g}(frac{k(l_0)^2}{2m}-2gl_0) $
Grazie in anticipo!
Buona fisica a tutti :]
Risposte
Il risultato suggerito si semplifica in:
$ h_max=l_0+frac{1}{2g}(frac{k(l_0)^2}{2m}-2gl_0) = frac{k(l_0)^2}{4gm}$
Intanto ci chiediamo quando $m_2$ si stacca da $m_1$.
Il punto e' quando la molla raggiunge la sua lunghezza di riposo $l_0$.
Oltre quel punto la molla fornisce a $m_1$ una accelerazione verso il basso (oltre alla gravita'), mentre $m_2$ ha la sola forza di gravita' ad accelerarla verso il basso. Quindi si staccano.
Allora facciamo il bilancio delle energie potenziali (molla e gravita') tra il punto di partenza e il punto di riposo, trovando:
$1/2\ k\ l_0^2 - (m_1+m_2)\ g\ l_0$.
Questa differenza di energia e' diventata energia cinetica, quindi:
$1/2\ k\ l_0^2 - (m_1+m_2)\ g\ l_0 = 1/2\ (m_1+m_2) v^2$,
da cui potremmo ricavare la velocità' di $m_2$ al momento del distacco.
Ora, un corpo lanciato verticalmente con velocità' $v$ raggiunge un altezza di $1/2 v^2/g$,
quindi $m_2$ raggiunge un'altezza di $l_0 + 1/2 v^2/g$.
Ricavando $v^2$ dalla formula precedente, e semplificando, troviamo il risultato $1/2 (k l_0^2) /(g (m_1+m_2)) $,
che e' uguale a quello suggerito, a meno di un fattore $1/2$. (Forse un errore di copiatura ?)
$ h_max=l_0+frac{1}{2g}(frac{k(l_0)^2}{2m}-2gl_0) = frac{k(l_0)^2}{4gm}$
Intanto ci chiediamo quando $m_2$ si stacca da $m_1$.
Il punto e' quando la molla raggiunge la sua lunghezza di riposo $l_0$.
Oltre quel punto la molla fornisce a $m_1$ una accelerazione verso il basso (oltre alla gravita'), mentre $m_2$ ha la sola forza di gravita' ad accelerarla verso il basso. Quindi si staccano.
Allora facciamo il bilancio delle energie potenziali (molla e gravita') tra il punto di partenza e il punto di riposo, trovando:
$1/2\ k\ l_0^2 - (m_1+m_2)\ g\ l_0$.
Questa differenza di energia e' diventata energia cinetica, quindi:
$1/2\ k\ l_0^2 - (m_1+m_2)\ g\ l_0 = 1/2\ (m_1+m_2) v^2$,
da cui potremmo ricavare la velocità' di $m_2$ al momento del distacco.
Ora, un corpo lanciato verticalmente con velocità' $v$ raggiunge un altezza di $1/2 v^2/g$,
quindi $m_2$ raggiunge un'altezza di $l_0 + 1/2 v^2/g$.
Ricavando $v^2$ dalla formula precedente, e semplificando, troviamo il risultato $1/2 (k l_0^2) /(g (m_1+m_2)) $,
che e' uguale a quello suggerito, a meno di un fattore $1/2$. (Forse un errore di copiatura ?)
No, è giusto, $m_1+m_2=2m$
Grazie mille, non avevo pensato a questa soluzione! Una domanda aggiuntiva, quando è stata applicata la conservazione dell'energia tra il punto iniziale (masse ferme) al punto di stacco, la lunghezza della molla completamente compressa è stata considerata nulla, o sbaglio?
Inoltre, per pura curiosità, quale sarebbe il diagramma a corpo libero delle forze agenti sulle masse 1,2? Sfruttando il secondo principio della dinamica, imponendo la reazione normale tra i corpi uguale zero, sarebbe possibile dimostrare matematicamente che il punto di stacco è proprio $/l_0$, immagino. Sarebbe interessante vederlo, nonostante sia palese che il punto di stacco è proprio quello dalla considerazione sulle accelerazioni.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità! :]
Inoltre, per pura curiosità, quale sarebbe il diagramma a corpo libero delle forze agenti sulle masse 1,2? Sfruttando il secondo principio della dinamica, imponendo la reazione normale tra i corpi uguale zero, sarebbe possibile dimostrare matematicamente che il punto di stacco è proprio $/l_0$, immagino. Sarebbe interessante vederlo, nonostante sia palese che il punto di stacco è proprio quello dalla considerazione sulle accelerazioni.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità! :]
1. Calcoli la legge del moto del sistema y(t).
2. Da li trovi l'accelerazione $ddoty$
3. Le leggi della dinamica sul corpo superiore 2 ti assicurano che $T-mg=mddoty$, dove $T$ é la forza che 1 fa su 2
4. Il distacco avviene quando T=0, e cioe $ddoty=-g$ e da qui ricavi il tempo di distacco
5. Sostituisci il tempo di distacco in (1) e trovi il punto di distacco che é proprio $l_0$
2. Da li trovi l'accelerazione $ddoty$
3. Le leggi della dinamica sul corpo superiore 2 ti assicurano che $T-mg=mddoty$, dove $T$ é la forza che 1 fa su 2
4. Il distacco avviene quando T=0, e cioe $ddoty=-g$ e da qui ricavi il tempo di distacco
5. Sostituisci il tempo di distacco in (1) e trovi il punto di distacco che é proprio $l_0$
"fede_1_1":
Grazie mille, non avevo pensato a questa soluzione! Una domanda aggiuntiva, quando è stata applicata la conservazione dell'energia tra il punto iniziale (masse ferme) al punto di stacco, la lunghezza della molla completamente compressa è stata considerata nulla, o sbaglio?
Si certo. E' il testo dell'esercizio che lo dice.
Inoltre, per pura curiosità, quale sarebbe il diagramma a corpo libero delle forze agenti sulle masse 1,2? Sfruttando il secondo principio della dinamica, imponendo la reazione normale tra i corpi uguale zero, sarebbe possibile dimostrare matematicamente che il punto di stacco è proprio $/l_0$, immagino. Sarebbe interessante vederlo, nonostante sia palese che il punto di stacco è proprio quello dalla considerazione sulle accelerazioni.
Beh, sulla massa 1 agisce la forza di gravita' e la molla quindi la forza e' $F_1 = k(l-l_0) + m_1g$.
Sulla massa 2 agisce la sola forza di gravita' quindi $F_2 = m_2 g $.
Ora, quando l'accelerazione della massa 1 e' maggiore di quella della massa 2 si verifica il distacco.
In formule:
$a_1 > a_2 $
$F_1/m_1 > F_2/ m_2 $
$k/ m_1 (l-l_0) + g > g$
$l > l_0$
Ti ringrazio ancora per la disponibilità! :]
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