Problema di fisica matematica
Buongiorno; ho dei problemi con questo esercizio.
Nel piano $Oxy$, un punto $P$ si muove su una circonferenza di centro $C$ e raggio $R$, che ruota attorno ad un suo punto fisso coincidente con l'origine $O$ del sistema di riferimento con velocità angolare $\omega$.
Detto $\theta$ l'angolo che $PC$ forma con il diametro $AO$, determinare il modulo della velocità assoluta del punto $P$.
Ho ragionato in questo modo: le equazioni del moto, rispetto ad un sistema di riferimento avente asse delle ascisse coincidente con $AO$, sono:
$p_{1}=Rcos\theta(t)$
$p_{2}=Rsin\theta(t)$
Per il teorema di composizione delle velocità so che la velocità assoluta del punto P è uguale alla somma tra la velocità relativa e la velocità di trascinamento:
$v_a=v_r+v_{\tau}$
dove la velocità relativa è uguale a:
$v_r=dot p_{1}^{2}+dot p_{2}^{2}=-R dot \theta sin \theta(t) + Rdot \theta cos\theta(t)$
mentre la velocità di trascinamento è:
$v_{\tau}= \omega R$
E alla fine il modulo si ottiene tramite radice quadrata della somma dei quadrati delle suddette velocità
Purtroppo l'esercizio non esce e quindi sto sbagliando qualcosa...qualcuno è in grado di aiutarmi?
Nel piano $Oxy$, un punto $P$ si muove su una circonferenza di centro $C$ e raggio $R$, che ruota attorno ad un suo punto fisso coincidente con l'origine $O$ del sistema di riferimento con velocità angolare $\omega$.
Detto $\theta$ l'angolo che $PC$ forma con il diametro $AO$, determinare il modulo della velocità assoluta del punto $P$.
Ho ragionato in questo modo: le equazioni del moto, rispetto ad un sistema di riferimento avente asse delle ascisse coincidente con $AO$, sono:
$p_{1}=Rcos\theta(t)$
$p_{2}=Rsin\theta(t)$
Per il teorema di composizione delle velocità so che la velocità assoluta del punto P è uguale alla somma tra la velocità relativa e la velocità di trascinamento:
$v_a=v_r+v_{\tau}$
dove la velocità relativa è uguale a:
$v_r=dot p_{1}^{2}+dot p_{2}^{2}=-R dot \theta sin \theta(t) + Rdot \theta cos\theta(t)$
mentre la velocità di trascinamento è:
$v_{\tau}= \omega R$
E alla fine il modulo si ottiene tramite radice quadrata della somma dei quadrati delle suddette velocità
Purtroppo l'esercizio non esce e quindi sto sbagliando qualcosa...qualcuno è in grado di aiutarmi?
Risposte
Quando scrivi la velocità assoluta e la velocità relativa devi fare attenzione a esprimere i versori nello stesso sistema di riferimento altrimenti fai confusione quando vai a sommare le velocità.
I versori del sistema di riferimento che ha l'asse delle ascisse come OA non coincidono con i versori del sistema fisso.
Ti conviene scrivere le componenti della velocità relativa e di trascinamento come funzione dei versori della terna che ha le ascisse come OA, sommarne le componenti a ottenere la velocità assoluta e poi infine esprimere i versori di quella terna in funzione della terna assoluta.
I versori del sistema di riferimento che ha l'asse delle ascisse come OA non coincidono con i versori del sistema fisso.
Ti conviene scrivere le componenti della velocità relativa e di trascinamento come funzione dei versori della terna che ha le ascisse come OA, sommarne le componenti a ottenere la velocità assoluta e poi infine esprimere i versori di quella terna in funzione della terna assoluta.
Il problema è che non riesco proprio a trovare l'angolo che $OA$ forma con l'asse delle $x$ in modo da potermi ricavare poi le relazioni tra i versori del sistema fisso e quelli del sistema mobile...come posso fare?
io farei in questo modo : "fotografiamo" la situazione all'istante in cui OA si trova sull'asse delle x
la velocità $vecV$ di C ha modulo $omegaR$ ed è parallela all'asse delle y
detta $vecv_r$ la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento con centro in C ed assi paralleli a quelli del sistema di riferimento di origine O,si ha che l'angolo tra $vecV$ e $vecv_r$ è proprio $ vartheta $
detta $v$ la velocità asssoluta del punto P,per il teorema di Carnot si ha
$v^2=omega^2R^2+v_r^2-2omegaRv_rcos(180°-vartheta)$
cioè
$v=sqrt{omega^2R^2+v_r^2+2omegaRv_rcosvartheta}$
la velocità $vecV$ di C ha modulo $omegaR$ ed è parallela all'asse delle y
detta $vecv_r$ la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento con centro in C ed assi paralleli a quelli del sistema di riferimento di origine O,si ha che l'angolo tra $vecV$ e $vecv_r$ è proprio $ vartheta $
detta $v$ la velocità asssoluta del punto P,per il teorema di Carnot si ha
$v^2=omega^2R^2+v_r^2-2omegaRv_rcos(180°-vartheta)$
cioè
$v=sqrt{omega^2R^2+v_r^2+2omegaRv_rcosvartheta}$
Non mi ero reso conto che si chiedesse la velocità in modulo, allora non occorre neanche porsi il problema di trasoformare i versori dal sistema fisso a quello rotante visto che il modulo è invariante rispetto ai versori.
Conviene scegliere i versori più comodi che sono quelli del sistema rotante avente come ascissa OA.
Detti quindi $hat i$ e $hat j$ i versori di questo riferimento si può scrivere per la velocità relativa e di trascinamento
$vec v_r=-R dot theta sin theta hat i + R dot theta cos theta hat j$
$vec v_t= omega R hat j$
La velocità di P allora sarà
$vec v_r+ vec v_t= -R dot theta sin theta hat i + (R dot theta cos theta hat + omega R) hat j$
Per cui il modulo di questa velocità sarà
$|v| = sqrt ((dot theta R)^2 + (omega R)^2 + 2 omega R^2 dot theta cos theta)$
Conviene scegliere i versori più comodi che sono quelli del sistema rotante avente come ascissa OA.
Detti quindi $hat i$ e $hat j$ i versori di questo riferimento si può scrivere per la velocità relativa e di trascinamento
$vec v_r=-R dot theta sin theta hat i + R dot theta cos theta hat j$
$vec v_t= omega R hat j$
La velocità di P allora sarà
$vec v_r+ vec v_t= -R dot theta sin theta hat i + (R dot theta cos theta hat + omega R) hat j$
Per cui il modulo di questa velocità sarà
$|v| = sqrt ((dot theta R)^2 + (omega R)^2 + 2 omega R^2 dot theta cos theta)$
Ho incontrato anche io questo esercizio, ma non riesco a trovare nelle vostre spiegazioni un modo per risolverlo... Devo trovare il modulo della velocità... Anche io ho iniziato esprimendo le velocità in due sistemi di riferimenti diversi come indicato nelle varie risposte... Però il risultato deve essere:
$|v|=R\sqrt((\dot\theta)^2+2\omega(1+cos\theta)(\omega+\dot\theta))$
Io non riesco a tirar fuori questo valore... Io ho usato questo procedimento... Indicando con $e_1,e_2,e_3$ i versori del sistema con origine in $C$ ed ascisse lungo $CA$:
$v_r=-R\sen\thetae_1 +R\sen\theta e_2$
$v_\tau=2\omegaRe_2$
$v_a=R(-\dot\thetasen\thetae_1+\dot\thetacos\thetae_2+2\omega)$
$|v|=Rsqrt((-\dot\thetasen\thetae_1+\dot\thetacos\thetae_2+2\omega)^2)=R\sqrt((\dot\theta)^2+4\omega-2(\dot\theta)^2sen\thetacos\theta-4\omega\dot\thetasen\theta+4\omega\dot\thetacos\theta)=R\sqrt((\dot\theta)^2+4\omega(\dot\theta(sen\theta+cos\theta)+1)-2(\dot\theta)^2sen\thetacos\theta)$
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato? Grazie
$|v|=R\sqrt((\dot\theta)^2+2\omega(1+cos\theta)(\omega+\dot\theta))$
Io non riesco a tirar fuori questo valore... Io ho usato questo procedimento... Indicando con $e_1,e_2,e_3$ i versori del sistema con origine in $C$ ed ascisse lungo $CA$:
$v_r=-R\sen\thetae_1 +R\sen\theta e_2$
$v_\tau=2\omegaRe_2$
$v_a=R(-\dot\thetasen\thetae_1+\dot\thetacos\thetae_2+2\omega)$
$|v|=Rsqrt((-\dot\thetasen\thetae_1+\dot\thetacos\thetae_2+2\omega)^2)=R\sqrt((\dot\theta)^2+4\omega-2(\dot\theta)^2sen\thetacos\theta-4\omega\dot\thetasen\theta+4\omega\dot\thetacos\theta)=R\sqrt((\dot\theta)^2+4\omega(\dot\theta(sen\theta+cos\theta)+1)-2(\dot\theta)^2sen\thetacos\theta)$
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato? Grazie
IL vettore $P$ è dato da:
[tex]P=\begin{pmatrix} R cos \alpha\\ R sin \alpha \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} R cos \beta\\ R sin \beta \end{pmatrix}[/tex],
dove $\alpha = \omega t$ e $\beta = \alpha + \theta$.
Si deriva $P$ e, poi, con facili, calcoli si arriva al risultato.
[tex]P=\begin{pmatrix} R cos \alpha\\ R sin \alpha \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} R cos \beta\\ R sin \beta \end{pmatrix}[/tex],
dove $\alpha = \omega t$ e $\beta = \alpha + \theta$.
Si deriva $P$ e, poi, con facili, calcoli si arriva al risultato.
Io lascerei perdere le componenti e userei la trigonometria.
$$\eqalign{
& L = 2R\cos \frac{\theta }
{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(distanza di p da O)}} \cr
& {v_{pt}} = L\omega = 2\omega R\cos \frac{\theta }
{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(velocita' di trascinamento di p)}} \cr
& {v_{pr}} = R\dot \theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(velocita' relativa di p)}} \cr
& {v_p} = \sqrt {{v_{pt}}^2 + {v_{pr}}^2 + 2{v_{pt}}{v_{pr}}\cos \frac{\theta }
{2}} \quad \quad {\text{(Carnot)}} \cr
& {v_p} = \sqrt {4{\omega ^2}{R^2}{{\cos }^2}\frac{\theta }
{2} + {R^2}{{\dot \theta }^2} + 4\omega R\cos \frac{\theta }
{2}R\dot \theta \cos \frac{\theta }
{2}} \cr
& {v_p} = R\sqrt {2\omega \left( {\omega + \dot \theta } \right)2{{\cos }^2}\frac{\theta }
{2} + {{\dot \theta }^2}} \cr
& {v_p} = R\sqrt {2\omega \left( {\omega + \dot \theta } \right)\left( {1 + \cos \theta } \right) + {{\dot \theta }^2}} \cr} $$
$$\eqalign{
& L = 2R\cos \frac{\theta }
{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(distanza di p da O)}} \cr
& {v_{pt}} = L\omega = 2\omega R\cos \frac{\theta }
{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(velocita' di trascinamento di p)}} \cr
& {v_{pr}} = R\dot \theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{(velocita' relativa di p)}} \cr
& {v_p} = \sqrt {{v_{pt}}^2 + {v_{pr}}^2 + 2{v_{pt}}{v_{pr}}\cos \frac{\theta }
{2}} \quad \quad {\text{(Carnot)}} \cr
& {v_p} = \sqrt {4{\omega ^2}{R^2}{{\cos }^2}\frac{\theta }
{2} + {R^2}{{\dot \theta }^2} + 4\omega R\cos \frac{\theta }
{2}R\dot \theta \cos \frac{\theta }
{2}} \cr
& {v_p} = R\sqrt {2\omega \left( {\omega + \dot \theta } \right)2{{\cos }^2}\frac{\theta }
{2} + {{\dot \theta }^2}} \cr
& {v_p} = R\sqrt {2\omega \left( {\omega + \dot \theta } \right)\left( {1 + \cos \theta } \right) + {{\dot \theta }^2}} \cr} $$
Perché "lasciare perdere" il metodo vettoriale? Oltre che irrispettoso, trovo il tuo intervento non didattico. Con i vettori si fa la gran parte della fisica. Prima si impara ad usarli bene, meglio è. Infine, risolvere un problema, non è solo arrivare ad un risultato corretto. Il metodo conta più del risultato!
Devo ancora controllare la soluzione "trigonometrica" di persona, ma il metodo "vettori" non mi è chiaro... Non li ho mai usati così, potresti spiegare meglio come hai creato il vettore???
Meglio conoscere due soluzioni di un problema, si può sempre riutilizzare per altro...
Meglio conoscere due soluzioni di un problema, si può sempre riutilizzare per altro...
Il vettore $P$ è semplicemente la somma dei due vettori che ho indicato (nella forma di vettori colonna che mi piace di più). In alto stanno le componenti $x$, in basso le componenti $y$.
Questo grafico potrebbe esserti utile:
https://drive.google.com/open?id=0B93bnHiXNlz6VTE3VnZXRmZFaE0.
Il primo vettore (della somma che ho scritto sopra) è quello che dal centro degli assi va al centro del cerchio, il secondo vettore è quello che dal centro del cerchio va al punto $P$.
https://drive.google.com/open?id=0B93bnHiXNlz6VTE3VnZXRmZFaE0.
Il primo vettore (della somma che ho scritto sopra) è quello che dal centro degli assi va al centro del cerchio, il secondo vettore è quello che dal centro del cerchio va al punto $P$.
"anonymous_48c761":
irrispettoso
che vuoi farci... sono un vecchiaccio dissacratore 
Caro deltaesse0 compatiscimi, sono troppo abituato ad andare al sodo.
Per questo sono molto poco italiano:
"Ennio Flaiano":
In Italia infatti la linea più breve tra due punti è l'arabesco
Ovvero, per usare un linguaggio a te familiare, nella geometria non euclidea tipica del nostro Paese l'arabesco è una geodetica.
Scherzi a parte, se lo scopo è didattico ben venga la via da te indicata, o deltaesse0!
Che altro scopo, se non quello didattico, dovremmo avere noi vecchiacci? Con la sola e semplice trigonometria mi sembra di regredire, con tutto il rispetto, alla quarta liceo...
"anonymous_48c761":
Che altro scopo, se non quello didattico, dovremmo avere noi vecchiacci? Con la sola e semplice trigonometria mi sembra di regredire, con tutto il rispetto, alla quarta liceo...
Antica questione.
Vedi, io penso che prima di tutto occorre far toccare con mano le cose e poi teorizzare con strumenti superiori, per far capire che i due procedimenti portano allo stesso risultato, quando si può, in modo da far familiarizzare con gli strumenti più avanzati che risulteranno utili quando le cose non potranno più essere toccate con mano. Io sono bravo nella prima parte, tu nella seconda. Completiamoci.
Il ragazzo che ha aperto il topic evidentemente non ha idea di come usare neanche lo strumento elementare, dunque parto da quello.
Il nostro scopo, io penso è duplice: per prima cosa non rendere la materia subito ostica per evitare che chi vi approccia dopo poco si scoraggi e cambi strada, dedicandosi allo studio dei papiri greci; poi fornirlo via via degli strumenti più adatti ad affrontare problemi sempre più astratti e complessi.
La prima parte io la so fare benissimo, ci sono 2068 messaggi che testimoniano quante cose sono riuscito a far capire a ragazzi spaesati in questo forum.
La seconda meno, per cui te la lascio tutta.
D'accordo, però mi sembra strano che uno studente universitario, penso di ingegneria, non conosca i rudimenti del cacolo vettoriale, visto anche lo spessore di questo esercizio che è tutt'altro che elementare (coinvolgendo il concetto di velocità, cioè di derivata temporale di un vettore).
Ps. Non sono all'altezza di nominarmi risolutore dei problemi del secondo tipo. Magari lo fossi, per cui, da vecchiacci saggi, proviamo a fare quello che possiamo per dare una mano ai giovani
Ps. Non sono all'altezza di nominarmi risolutore dei problemi del secondo tipo. Magari lo fossi, per cui, da vecchiacci saggi, proviamo a fare quello che possiamo per dare una mano ai giovani
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