Problema di fisica generale 1
Un corpo di massa $m=100 g$, che potremmo trattare come un punto materiale, si muove sulla superficie di metà cilindro (di raggio $R=50 cm$) la cui parte piana è appoggiata su un tavolo orizzontale. Si supponga che il coefficiente di attrito statico fra il corpo e il cilindro sia $u_s=0.20$. Il corpo viene inizialmente collocato fermo in modo da essere inclinato di un angolo $\theta$ rispetto al piano del tavolo.
1) Calcolare l'angolo minimo $\theta_0$ necessario affinchè il corpo inizi a scivolare verso il basso.
2) Supponendo che il corpo parta da fermo a $\theta_0$ e trascurando l'attrito dinamico, calcolare l'angolo $\theta_s$ a cui il corpo abbandonerà la superficie.
3) calcolare a quale distanza dal semicilindro il corpo toccherà la superficie del tavolo.
Questa è una rappresentazione grafica del problema:
1) Dunque, per calcolare $\theta$ ho considerato l'equazione: $mgcos\theta_0=ma_T$ , da cui: $a_T=(gcos\theta_0)/R$ . Poi ho usato anche questa equazione: $N-mgsen\theta_0=0$ , da cui $N=mgsen\theta_0$. Infine $g/Rcos\theta_0-u_smgsen\theta_0=ma_T$ , che viene: $tg\theta_0=m(g^2)u_s$.
Vorrei sapere se questo procedimento è corretto. Inoltre, se possibile, vorrei consigliato un metodo per risolvere il punto 2) perchè non ho proprio idea di come fare...
1) Calcolare l'angolo minimo $\theta_0$ necessario affinchè il corpo inizi a scivolare verso il basso.
2) Supponendo che il corpo parta da fermo a $\theta_0$ e trascurando l'attrito dinamico, calcolare l'angolo $\theta_s$ a cui il corpo abbandonerà la superficie.
3) calcolare a quale distanza dal semicilindro il corpo toccherà la superficie del tavolo.
Questa è una rappresentazione grafica del problema:
1) Dunque, per calcolare $\theta$ ho considerato l'equazione: $mgcos\theta_0=ma_T$ , da cui: $a_T=(gcos\theta_0)/R$ . Poi ho usato anche questa equazione: $N-mgsen\theta_0=0$ , da cui $N=mgsen\theta_0$. Infine $g/Rcos\theta_0-u_smgsen\theta_0=ma_T$ , che viene: $tg\theta_0=m(g^2)u_s$.
Vorrei sapere se questo procedimento è corretto. Inoltre, se possibile, vorrei consigliato un metodo per risolvere il punto 2) perchè non ho proprio idea di come fare...
Risposte
"Francesco.91":
l'equazione: $mgcos\theta_0=ma_T$
In riferimento al tuo disegno, la componente della forza peso lungo la tangente alla circonferenza è $mgsin\theta_0$ e la componente radiale è $mgcos\theta$. La condizione per la 1) è, quindi: $mgsin\theta_0 = \mu mgcos\theta_0$.
2)Lo "stacco" avviene quando la forza centrifuga (diretta radialmente verso l'esterno: $(mv_1^2)/R$) uguaglia la forza di "adesione" (componente della forza peso diretta radialmente verso l'interno:: $mgcos\theta_1$). Per determinare $v_1$ porrei la questione in termini energetici, praticamente $v_1^2=2gh$, dove $h$ è la differenza di quota che il punto subisce passando da $\theta_0$ a $\theta_1$.
Spero di essere stato utile.
Dunque, per quanto riguarda il punto 1) ho capito. Invece non ho ben capito perchè occorre ricavare che $v^2$ è uguale a $2gh$... Infatti se eguaglio $mv^2/R=mgcos\theta$ ottengo $v^2=Rcos\theta$. In seguito, sono state eguagliate l'energia cinetica e l'energia potenziale: $1/2mRcos\theta=mgh$, da cui $Rcos\theta=2gh=v^2$ . Come sfrutto $h$? dove devo inserirlo?
Grazie mille per l'aiuto e scusate se mi sono confuso un po'.
Grazie mille per l'aiuto e scusate se mi sono confuso un po'.
"Francesco.91":
occorre ricavare che $v^2$ è uguale a $2gh$... Infatti se eguaglio $mv^2/R=mgcos\theta$ ottengo ...
Nell'equazione che ho riportato, $cos\theta$ è l'incognita, per cui occorre ricavare $v_1$ in altro modo, appunto sfruttando la conservazione dell'energia, che porta a $v_1^2= 2gh$.
Nella figura $h$ è il segmento EF, che puoi ricavare trigonometricamente come EO - FO. L'angolo $B\hatOD$ è quello che ho chiamato $\theta_1$, l'angolo di stacco. In pratica $h=rcos\theta_0 - rcos\theta_1$
Trovato $v_1^2$ lo sostituisci in $mv_1^2/R=mgcos\theta_1$ e risolvi rispetto a $cos\theta_1$.
Chiaro!
A questo punto ho cercato di svolgere il punto 3):
Inanzitutto il corpo, dopo essersi staccato, si muove di moto parabolico. Il moto quindi può essere semplificato in un moto uniformemente accelerato (caduta del grave) lungo y e in un moto rettilineo uniforme lungo x. Ricavo $v_0$ con la formula analoga che abbiamo usato prima. In y, l'altezza è $FO$ e quindi $Rcos\theta_1$. Parto da $y(t)=Rcos\theta_1-v_0sen\gammat-1/2*g*t^2$ e poi pongo $v=v_0sen\gamma-g*t=0$ da cui $t=(v_0sen\gamma)/g$. Sostituisco $t$ in $y(t)=0$ e trovo $sen\gamma$. Con la relazione fondamentale della trigonometria, trovo $cos\gamma$. Sostituisco $(v_0sen\gamma)/g$ in $x(t)$, trovando così la distanza: $x(t)=vcos\gamma(v_0sen\gamma)/g$.
E' corretto?
A questo punto ho cercato di svolgere il punto 3):
Inanzitutto il corpo, dopo essersi staccato, si muove di moto parabolico. Il moto quindi può essere semplificato in un moto uniformemente accelerato (caduta del grave) lungo y e in un moto rettilineo uniforme lungo x. Ricavo $v_0$ con la formula analoga che abbiamo usato prima. In y, l'altezza è $FO$ e quindi $Rcos\theta_1$. Parto da $y(t)=Rcos\theta_1-v_0sen\gammat-1/2*g*t^2$ e poi pongo $v=v_0sen\gamma-g*t=0$ da cui $t=(v_0sen\gamma)/g$. Sostituisco $t$ in $y(t)=0$ e trovo $sen\gamma$. Con la relazione fondamentale della trigonometria, trovo $cos\gamma$. Sostituisco $(v_0sen\gamma)/g$ in $x(t)$, trovando così la distanza: $x(t)=vcos\gamma(v_0sen\gamma)/g$.
E' corretto?
"Francesco.91":
Parto da $y(t)=Rcos\theta_1-v_0sen\gammat-1/2*g*t^2$
Dalla relazione riportata posso supporre che hai posto l'origine degli assi nella proiezione di D sul piano del tavolo; indichiamola con H. Devi porre $y(t)=0$ (il corpo tocca il tavolo, e non v=0) e ricavare t (è un'equazione di 2° grado di cui considera, logicamente, la soluzione positiva). Quando avrai sostituito il valore trovato nella x(t), ricordati che quella non è la soluzione del quesito: dovrai sottrarre HA.
e come faccio a ricavare $sen\gamma$?
"Francesco.91":
e come faccio a ricavare $sen\gamma$?
Scusa, non mi sono accorto ... $\gamma$ è il nostro $\theta_1$, l'angolo che corrisponde al punto D, di stacco. Punto in cui il corpo ha la velocità che hai indicato con $v_0$
Ok!! grazie infinite per la disponibilità Geppo!, adesso ho capito come affrontare questa tipologia di problemi ^^.
Ciao!
Ciao!
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