Problema di fisica 2 - Elettrostatica
Date due cariche puntiformi q1,q2, fisse ad a una distanza d una dall'altra, si determinino gli eventuali punti di equilibrio di una terza carica q.
In allegato il mio svolgimento che però non va bene... Qualche suggerimento?
In allegato il mio svolgimento che però non va bene... Qualche suggerimento?
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[/URL]Risposte
Nessuno?
La tua soluzione non si legge (foto troppo grandi), cmq la risoluzione dovrebbe essere banale, pero' vorrei vedere prima come l'hai svolta tu ...
ho messo le immagini ridimensionate
Altra domanda: le due cariche fisse q1 e q2 hanno stesso modulo (valgono tutt'e due q)? se si la soluzione nel primo foglio e' giusta, altrimenti rifai quel conto (che e' corretto) pero' ponendo [tex]q_1\not= q_2[/tex] e otterrai un'equazione di secondo grado.
Tuttavia questa soluzione presuppone che l'unico/gli unici punti di equilibrio siano sull'asse x, ti basta questo o vuoi trovare tutti i punti dello spazio dove la carica di prova starebbe in equilibrio?
Tuttavia questa soluzione presuppone che l'unico/gli unici punti di equilibrio siano sull'asse x, ti basta questo o vuoi trovare tutti i punti dello spazio dove la carica di prova starebbe in equilibrio?
Hanno lo stesso modulo. Voglio trovare TUTTI i punti nello spazio... Non riesco...
Vediamo un po':
il sistema e' simmetrico rispetto ad un asse che e' perpendicolare alla congiungente le due cariche, quindi se esistono punti in cui l'eventuale carica di prova stara' in equilibrio dovranno appartenere a quest'asse, fin qui ti torna?
Se si, prendiamo un sistema di riferimento con asse x coincidente con la congiungente le cariche e asse y coincidente con l'asse di simmetria del sistema.
Le due cariche genereranno un campo elettrico [tex]\vec E_1\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1^2}\hat e_{r1},\ \vec E_2\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2^2}\hat e_{r2}[/tex], dove $\hat e_{r1},\hat e_{r2}$ sono i versori della congiungente la carica con il punto (chiaramente le cariche puntiformi generano un campo con simmetria sferica, quindi con sola componente radiale).
Ciascun punto dell'asse di simmetria, rispetto al sistema di riferimento scelto, avra' coordinate $(0,y)$, le due cariche invece avranno coordinate $(\pm d/2,\ 0)$
In ogni punto dell'asse di simmetria la carica 1 (che diciamo sta a sinistra dell'asse di simmetria), genera un campo , rispetto alle componenti x e y del sistema di riferimento
[tex]\begin{array}{l}
E_1^x\ =\ \vec E_1\cdot \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1^2}\hat e_{r1}\cdot\ \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((-d/2)^2\ +\ y^2)}\ \cos\alpha\\
E_1^y\ =\ \vec E_1\cdot \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1}\hat e_{r1}\cdot\ \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((-d/2)^2+y^2)}\ \sin\alpha
\end{array}[/tex]
allo stesso modo la carica due (che sta a destra dell'asse di simmetria) generera' un campo
[tex]\begin{array}{l}
E_2^x\ =\ \vec E_2\cdot \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2^2}\hat e_{r2}\cdot\ \hat e_x\ =\ -\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 =\ ((d/2)^2\ +\ y^2)}\ \cos\alpha\\
E_2^y\ =\ \vec E_2\cdot \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2}\hat e_{r2}\cdot\ \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((d/2)^2+y^2)}\ \sin\alpha
\end{array}[/tex]
(i due angoli $\alpha$ delle due cariche sono identici perche' il triangolo con base la congiungente le due cariche e' isoscele, ti torna?)
Affinche' una carica stia in equilibrio (ovvero affinche' i due campi si annullino, sia rispetto alla componente x sia rispetto a quella y) e' necessario che la somma dei due campi, componente per componente, risulti nulla.
Questa condizione si verifica per ogni punto per la componente x (sono proprio uguali ed opposte) ma non si verifica per nessun punto per la componente y, tranno quando $\alpha=0$ poiche' il seno si annulla sia per il campo E1 sia per il campo E2.
Quindi l'unico e solo punto in cui una eventuale carica sta in equilibrio e' il punto di mezzo tra le due cariche.
Vedi se torna, ciao ciao
il sistema e' simmetrico rispetto ad un asse che e' perpendicolare alla congiungente le due cariche, quindi se esistono punti in cui l'eventuale carica di prova stara' in equilibrio dovranno appartenere a quest'asse, fin qui ti torna?
Se si, prendiamo un sistema di riferimento con asse x coincidente con la congiungente le cariche e asse y coincidente con l'asse di simmetria del sistema.
Le due cariche genereranno un campo elettrico [tex]\vec E_1\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1^2}\hat e_{r1},\ \vec E_2\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2^2}\hat e_{r2}[/tex], dove $\hat e_{r1},\hat e_{r2}$ sono i versori della congiungente la carica con il punto (chiaramente le cariche puntiformi generano un campo con simmetria sferica, quindi con sola componente radiale).
Ciascun punto dell'asse di simmetria, rispetto al sistema di riferimento scelto, avra' coordinate $(0,y)$, le due cariche invece avranno coordinate $(\pm d/2,\ 0)$
In ogni punto dell'asse di simmetria la carica 1 (che diciamo sta a sinistra dell'asse di simmetria), genera un campo , rispetto alle componenti x e y del sistema di riferimento
[tex]\begin{array}{l}
E_1^x\ =\ \vec E_1\cdot \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1^2}\hat e_{r1}\cdot\ \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((-d/2)^2\ +\ y^2)}\ \cos\alpha\\
E_1^y\ =\ \vec E_1\cdot \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1}\hat e_{r1}\cdot\ \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((-d/2)^2+y^2)}\ \sin\alpha
\end{array}[/tex]
allo stesso modo la carica due (che sta a destra dell'asse di simmetria) generera' un campo
[tex]\begin{array}{l}
E_2^x\ =\ \vec E_2\cdot \hat e_x\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2^2}\hat e_{r2}\cdot\ \hat e_x\ =\ -\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 =\ ((d/2)^2\ +\ y^2)}\ \cos\alpha\\
E_2^y\ =\ \vec E_2\cdot \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2}\hat e_{r2}\cdot\ \hat e_y\ =\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 ((d/2)^2+y^2)}\ \sin\alpha
\end{array}[/tex]
(i due angoli $\alpha$ delle due cariche sono identici perche' il triangolo con base la congiungente le due cariche e' isoscele, ti torna?)
Affinche' una carica stia in equilibrio (ovvero affinche' i due campi si annullino, sia rispetto alla componente x sia rispetto a quella y) e' necessario che la somma dei due campi, componente per componente, risulti nulla.
Questa condizione si verifica per ogni punto per la componente x (sono proprio uguali ed opposte) ma non si verifica per nessun punto per la componente y, tranno quando $\alpha=0$ poiche' il seno si annulla sia per il campo E1 sia per il campo E2.
Quindi l'unico e solo punto in cui una eventuale carica sta in equilibrio e' il punto di mezzo tra le due cariche.
Vedi se torna, ciao ciao
Grazie, domani provo a riguardarlo.
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