Problema di elettrostatica su tre cariche puntiformi
Salve, mi sono imbattuto in un altro problema che non riesco a risolvere (si, lo so, sono una schiappa in elettrostatica).
Il problema è:
Due cariche puntiformi $q$ sono localizzate sull'asse $y$ nei punti $y=+a$ e $y=-a$. Una terza carica positiva dello stesso valore è localizzata sull'asse delle $x$. Qual è il modulo e la direzione della forza agente sula terza carica quando essa è localizzata nel punto generico di coordinata $x$?
La scelta è tra:
Il problema è:
Due cariche puntiformi $q$ sono localizzate sull'asse $y$ nei punti $y=+a$ e $y=-a$. Una terza carica positiva dello stesso valore è localizzata sull'asse delle $x$. Qual è il modulo e la direzione della forza agente sula terza carica quando essa è localizzata nel punto generico di coordinata $x$?
La scelta è tra:
[*:39d1eiv6][tex]$ \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0}\frac{a}{(a^2+x^2)^{3/2}} $[/tex] nella direzione negativa dell'asse delle $y$[/*:m:39d1eiv6]
[*:39d1eiv6][tex]$ \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0}\frac{1}{(a^2+x^2)} $[/tex] nella direzione positiva dell'asse delle $x$[/*:m:39d1eiv6]
[*:39d1eiv6][tex]$ \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0}\frac{a}{(a^2+x^2)^{3/2}} $[/tex] nella direzione positiva dell'asse delle $y$[/*:m:39d1eiv6]
[*:39d1eiv6][tex]$ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}} $[/tex] nella direzione positiva dell'asse delle $x$[/*:m:39d1eiv6]
[*:39d1eiv6][tex]$ \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0}\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}} $[/tex] nella direzione positiva dell'asse delle $x$[/*:m:39d1eiv6][/list:u:39d1eiv6]
Non so proprio dove andare a parare, l'unica formula che conosco è quella per il campo elettrico di una singola carica puntiforme, ovvero [tex]$ E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2} $[/tex]
Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà... ho l'esame domani e sono seriamente preoccupato
Risposte
Ti spiego un trucco per fare in fretta quando hai esercizi di questo tipo. 
Quando la carica posta sull'asse x è proprio sull'origine, è evidente che non deve risentire di nessuna forza perché le due cariche poste sull'asse y sono da essa equidistanti. Questa considerazione fa escludere le prime 3 risposte.
Quando la carica sull'asse x è lontanissima dalle cariche poste sull'asse y, cioè in pratica quando x>>a, tutto deve assomigliare al caso in cui la carica posta su x "vede" le due cariche poste su y come se fossero un'unica carica puntiforme posta nell'origine di valore 2q.
In questo caso la forza sarebbe $(2q^2)/(4\pi\epsilon_0x^2)$ diretta nel verso positivo delle x.
Ebbene se guardi le formule 4 e 5, l'unica che tende a questa forma quando x>>a è la 5.
Quando la carica posta sull'asse x è proprio sull'origine, è evidente che non deve risentire di nessuna forza perché le due cariche poste sull'asse y sono da essa equidistanti. Questa considerazione fa escludere le prime 3 risposte.
Quando la carica sull'asse x è lontanissima dalle cariche poste sull'asse y, cioè in pratica quando x>>a, tutto deve assomigliare al caso in cui la carica posta su x "vede" le due cariche poste su y come se fossero un'unica carica puntiforme posta nell'origine di valore 2q.
In questo caso la forza sarebbe $(2q^2)/(4\pi\epsilon_0x^2)$ diretta nel verso positivo delle x.
Ebbene se guardi le formule 4 e 5, l'unica che tende a questa forma quando x>>a è la 5.
Grazie mille! Ho capito come pensarla! Sei davvero bravissimo!
Solo una domanda... Perché il denominatore è elevato alla $3/2$ nella seconda frazione? Non arrivo a capirlo...
Solo una domanda... Perché il denominatore è elevato alla $3/2$ nella seconda frazione? Non arrivo a capirlo...
La carica posta su x dista da ciascuna carica posta su y una distanza al quadrato che secondo Pitagora è $a^2+x^2$. E questa andrebbe al denominatore nella formula della forza, se la carica in y=+a fosse da sola. Però c'è un'altra carica in y=-a che dà forza uguale. Però queste due forze vanno sommate vettorialmente, dunque le componenti secondo y si elidono essendo uguali e contrarie, mentre le componenti secondo x si sommano. Allora occorre trovare la componente secondo x e raddoppiarla. Presa la forza calcolata sopra la sua componente secondo x si ottiene moltiplicandola per il coseno dell'angolo, dunque moltiplicandola per $x/(\sqrt(a^2+x^2)$. Ecco che salta fuori la formula finale.
Perfetto 
chiarissimo e gentilissimo! Grazie davvero!
chiarissimo e gentilissimo! Grazie davvero!
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