Problema di elettrostatica in coordinate cilindriche
Ciao a tutti, stavo provando a risolvere questo problema, ma non riesco a impostare l'integrale per calcolare il campo elettrico.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
In un prefissato sistema di coordinate cartesiane, è data una distribuzione lineare e uniforme di carica
elettrica lungo la retta (x = a, y = 0), con a = 1,42 m. La densità di carica vale $ \lambda $ =1,34 nC/m. Si consideri il punto P di coordinate (x = 2a, y = a, z = 3a). Fissato anche il sistema di coordinate cilindriche associato al sistema cartesiano, in tale sistema cilindrico determinare la componente radiale $ E_ρ $ (in N/C) del campo elettrico nel punto P.
La componente radiale si calcola con il prodotto scalare tra il vettore campo e il versore radiale $ u_rho $ ma non riesco a capire con quali parametri posso individuare la distanza di P dalla distribuzione di carica, considerando che il problema si riduce al piano (x,y).
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi;)
Il testo dell'esercizio è il seguente:
In un prefissato sistema di coordinate cartesiane, è data una distribuzione lineare e uniforme di carica
elettrica lungo la retta (x = a, y = 0), con a = 1,42 m. La densità di carica vale $ \lambda $ =1,34 nC/m. Si consideri il punto P di coordinate (x = 2a, y = a, z = 3a). Fissato anche il sistema di coordinate cilindriche associato al sistema cartesiano, in tale sistema cilindrico determinare la componente radiale $ E_ρ $ (in N/C) del campo elettrico nel punto P.
La componente radiale si calcola con il prodotto scalare tra il vettore campo e il versore radiale $ u_rho $ ma non riesco a capire con quali parametri posso individuare la distanza di P dalla distribuzione di carica, considerando che il problema si riduce al piano (x,y).
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi;)
Risposte
Ciao spina3003, benvenuto nel Forum.
Siccome il problema ha simmetria cilindrica, come hai giustamente notato, il problema si riduce al solo piano (x,y).
Se fai un disegno dove metti l'origine O(0,0), il punto C(a,0) della carica e il punto P(2a,a) e supponendo che la componente radiale sia da calcolarsi rispetto all'origine, dovresti poter verificare che nel punto P:
$vec u_rho = (P-O)/abs(P-O)$
$vec E_P = lambda/(2*pi*epsilon_0)*(P-C)/abs(P-C)^2$
da cui risulta facile calcolare la componente cercata.
Siccome il problema ha simmetria cilindrica, come hai giustamente notato, il problema si riduce al solo piano (x,y).
Se fai un disegno dove metti l'origine O(0,0), il punto C(a,0) della carica e il punto P(2a,a) e supponendo che la componente radiale sia da calcolarsi rispetto all'origine, dovresti poter verificare che nel punto P:
$vec u_rho = (P-O)/abs(P-O)$
$vec E_P = lambda/(2*pi*epsilon_0)*(P-C)/abs(P-C)^2$
da cui risulta facile calcolare la componente cercata.
Ciao ingres, grazie mille per la risposta. Come hai fatto a trovare che il campo elettrico ha quell'espressione? Questo $ vec E_P = lambda/(2*pi*epsilon_0)*(P-C)/abs(P-C)^2 $ non varrebbe se il "filo carico" fosse simmetrico rispetto a P (e mettendo nella formula che hai scritto il punto medio del filo invece di C)?
Pardon se sono io dura di comprendonio...
Pardon se sono io dura di comprendonio...
OC è un segmento e non una retta. Non sarebbe possibile ricondursi ad un problema limitato al piano x,y perchè conterebbe anche la z (la distanza di un punto dal segmento è anche funzione di z).
Per come ho inteso il problema, la retta x=a, y=0 citata nel testo è la retta costituita dai punti di coordinate (a,0,z) con z qualsiasi. In altre parole è una retta perpendicolare al foglio e passante per C. In questo caso effettivamente tutti i piani paralleli al piano xy sono equivalenti, il problema ha simmetria radiale e possiamo studiarlo sul solo x, y.
Ma magari ho inteso male.
Per come ho inteso il problema, la retta x=a, y=0 citata nel testo è la retta costituita dai punti di coordinate (a,0,z) con z qualsiasi. In altre parole è una retta perpendicolare al foglio e passante per C. In questo caso effettivamente tutti i piani paralleli al piano xy sono equivalenti, il problema ha simmetria radiale e possiamo studiarlo sul solo x, y.
Ma magari ho inteso male.
Grazie mille ingres, non avevo capito che la distribuzione di carica sta su una retta parallela a z. Ora mi torna tutto :)
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