Problema di elettrostatica
tre lati di un quadrato di materiale isolante di lato 2l = 10 cm hanno ciascuno carica $q= 2*10^(-9) C$
calcola il campo elettrostatico nel centro (dalla figura è un quadrato senza base)
mi date qualche indizio?? io sono arrivato a capire che devo trovare il campo elettrostatico relativo ad x, poichè vi è simmetria rispetto tale asse. ma poi?
calcola il campo elettrostatico nel centro (dalla figura è un quadrato senza base)
mi date qualche indizio?? io sono arrivato a capire che devo trovare il campo elettrostatico relativo ad x, poichè vi è simmetria rispetto tale asse. ma poi?
Risposte
Sia $\lambda$ la densità di carica per unità di lunghezza. Dalla configurazione si vede che due lati del quadrato annullano i contributi a vicenda. Per cui calcolo il campo elettrico al centro del quadrato dato solo da un lato carico lungo $2l$ la cui densità di carica è $\lambda$. In questo caso, poichè il filo non è infinito, penso bisogni integrare. Calcolo il campo generato solo da metà lato e lo moltiplico per due. Noto ancora che le componenti paralleli al lato si annullano. Pertanto integro il campo perpendicolare al lato. Sia $\alpha$ l'angolo formato fra la congiungente un punto preso sul lato a distanza $x$ dal centro di questo e il centro del quadrato (spero si capisca 
)
Il contributo infinitesimo di campo elettrico "utile" è $ d E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)} \cos \alpha=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)}\frac{l}{\sqrt{l^2+x^2}}$
Per cui il campo cercato dovrebbe essere $E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda l dx}{(l^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 l^2 \sqrt{2}}=\frac{q}{2\sqrt{2} \pi \epsilon_0 l^2}$
Torna il risultato?
)Il contributo infinitesimo di campo elettrico "utile" è $ d E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)} \cos \alpha=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)}\frac{l}{\sqrt{l^2+x^2}}$
Per cui il campo cercato dovrebbe essere $E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda l dx}{(l^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 l^2 \sqrt{2}}=\frac{q}{2\sqrt{2} \pi \epsilon_0 l^2}$
Torna il risultato?
al denominatore nel libro risulta 4 e non 2 
$q/(4 sqrt2 pi l^2 epsilon_0)$
L'ultimo passaggio di texas97 è sbagliato.
Essendo $lambda = q/(2l)$ diventa:
$E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda l dx}{(l^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 l \sqrt{2}}=\frac{q}{4\sqrt{2} \pi \epsilon_0 l^2}$
Essendo $lambda = q/(2l)$ diventa:
$E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda l dx}{(l^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 l \sqrt{2}}=\frac{q}{4\sqrt{2} \pi \epsilon_0 l^2}$
non mi sono chiari questi passaggi
forse con il disegno davanti lo capirei subito
Dalla configurazione si vede che due lati del quadrato annullano i contributi a vicenda.
Noto ancora che le componenti paralleli al lato si annullano. Pertanto integro il campo perpendicolare al lato
forse con il disegno davanti lo capirei subito
"texas97":
Sia $\lambda$ la densità di carica per unità di lunghezza. Dalla configurazione si vede che due lati del quadrato annullano i contributi a vicenda. Per cui calcolo il campo elettrico al centro del quadrato dato solo da un lato carico lungo $2l$ la cui densità di carica è $\lambda$. In questo caso, poichè il filo non è infinito, penso bisogni integrare. Calcolo il campo generato solo da metà lato e lo moltiplico per due. Noto ancora che le componenti paralleli al lato si annullano. Pertanto integro il campo perpendicolare al lato. Sia $\alpha$ l'angolo formato fra la congiungente un punto preso sul lato a distanza $x$ dal centro di questo e il centro del quadrato (spero si capisca
Il contributo infinitesimo di campo elettrico "utile" è $ d E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)} \cos \alpha=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)}\frac{l}{\sqrt{l^2+x^2}}$
Per cui il campo cercato dovrebbe essere $E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda l dx}{(l^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 l^2 \sqrt{2}}=\frac{q}{2\sqrt{2} \pi \epsilon_0 l^2}$
Torna il risultato?
Volevo proporre una soluzione alternativa a questo esercizio, secondo me molto più sbrigativa nei calcoli, anzitutto vorrei dire che nel testo dell'esercizo il quadrato è disegnato in modo che manca il lato in basso, quindi l unica sbarretta utile è il lato in alto orizzontale del quadrato. In particolare solo la componente y del campo esiste, quindi l'integrale scritto da texas97 non dovrebbe avere $sin \alpha$ a moltiplicare dato che voglio la componente y? Quindi la componente infinitesima del campo dovrebbe essere:
$ d E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda dx}{(l^2+x^2)} \sin \alpha$
di conseguenza l'integrale da calcolare:
$E=2\int_0^l \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sin \alpha*lambda dx}{(l^2+x^2)}$
Questo integrale si può risolvere scrivendo $sin \alpha$ in funzione di x,l come ha fatto texas97, tuttavia non riuscivo a trovarne la primitiva per cui ho provato a ragionare diversamente. Immaginando un triangolo rettangolo di cateti l,x posso scrivere che
$(l^2+x^2)^{1/2} = l/sin \alpha$ quindi elevando al quadrato
$(l^2+x^2)= l^2/(sin \alpha)^2$
posto $k=\frac{2 lambda }{4 \pi \epsilon_0}$
$E=k\int_0^l \frac{dx (sin \alpha)^3}{l^2}$
adesso devo trovare un modo per scrivere dx come funzione dell'angolo, e sempre guardando il triangolo rettangolo
$x=l/(tg \alpha)$
$dx = -l/(sin \alpha)^2$ derivando entrambi i membri
quindi
$E=-lk/l^2\int_(pi/4)^(pi/2) \(sin \alpha) d \alpha$ che porta al risultato corretto
l'angolo varia tra 45 gradi quando considero la congiungente tra l'estremo della sbarretta più lontano dal centro del quadrato (si forma un triangolo rettangolo di cateti l,l) e 90 gradi quando sono esattamente a metà sbarretta.
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