Problema di elettrostatica
Testo del problema: sopra la superficie di un disco (raggio 10 cm) è uniformemente distribuita
una carica elettrica $Q= 10^-6 C$.
Una sferetta di massa $m= 0,5 g$ è posta sull'asse verticale del disco (asse z) ad una certa distanza $d$.
La sferetta ha una carica $q= 4*10^-9 C$, concorde con quella del disco.
Determinare la distanza $d$ per la quale la sferetta è in condizione di equilibrio sopra il disco.
Io ho fatto:
secondo la legge di Coulomb, la forza tra due cariche è: $F= \frac{q_ 1*q_ 2}{4*\pi*\epsilon_0*d^2}$.
La forza che ci deve essere è pari a quella di gravità della sferetta nel vuoto, ossia $F_gr= m*g=5*10^-4*9.81~=4.9*10^-3 N$.
La distanza d è quindi $d= +sqrt((\frac{4*10^-9*10^-6}{4*\pi*\epsilon_0*F_gr}))$, ossia $d~=8.56*10^-2 m$.
Così facendo ho però approssimato il disco ad un punto materiale, cosa che già so essere sbagliata. Qualcuno potrebbe suggerirmi l'esatto modo di procedere in questi casi?
Grazie mille!
una carica elettrica $Q= 10^-6 C$.
Una sferetta di massa $m= 0,5 g$ è posta sull'asse verticale del disco (asse z) ad una certa distanza $d$.
La sferetta ha una carica $q= 4*10^-9 C$, concorde con quella del disco.
Determinare la distanza $d$ per la quale la sferetta è in condizione di equilibrio sopra il disco.
Io ho fatto:
secondo la legge di Coulomb, la forza tra due cariche è: $F= \frac{q_ 1*q_ 2}{4*\pi*\epsilon_0*d^2}$.
La forza che ci deve essere è pari a quella di gravità della sferetta nel vuoto, ossia $F_gr= m*g=5*10^-4*9.81~=4.9*10^-3 N$.
La distanza d è quindi $d= +sqrt((\frac{4*10^-9*10^-6}{4*\pi*\epsilon_0*F_gr}))$, ossia $d~=8.56*10^-2 m$.
Così facendo ho però approssimato il disco ad un punto materiale, cosa che già so essere sbagliata. Qualcuno potrebbe suggerirmi l'esatto modo di procedere in questi casi?
Grazie mille!
Risposte
Infatti l'approssimazione non è lecita a meno di non banalizzare il problema. Bisogna considerare il disco costituito da tanti dischetti concentrici infinitesimi e calcorare in questo modo il campo elettrico da esso generato. Forse conviene lavorare in coordinate polari, risulterà più agevole risolvere gli integrali che poi vanno calcolati dopo aver ben impostato il problema.
Dunque il campo elettrico di un disco di raggio $R$, carica $Q$, distante $h$ da un punto materiale dovrebbe essere:
$E= \frac{2Q*sqrt(R^2+h^2)-h}{4*\pi*\epsilon_0*R^2*sqrt(R^2+h^2)}$
diretto lungo l'asse del disco.
Facendo i calcoli viene: $E= \frac{(2*10^-6)*sqrt(0.01+h^2)-h}{4*\pi*\epsilon_0*(0.01)*sqrt(0.01+h^2)}.
Non capisco ora come dovrei procedere. Quanto è la forza di repulsione della sferetta nei confronti del disco?
$E= \frac{2Q*sqrt(R^2+h^2)-h}{4*\pi*\epsilon_0*R^2*sqrt(R^2+h^2)}$
diretto lungo l'asse del disco.
Facendo i calcoli viene: $E= \frac{(2*10^-6)*sqrt(0.01+h^2)-h}{4*\pi*\epsilon_0*(0.01)*sqrt(0.01+h^2)}.
Non capisco ora come dovrei procedere. Quanto è la forza di repulsione della sferetta nei confronti del disco?
"Zerogwalur":
... Quanto è la forza di repulsione della sferetta nei confronti del disco?
La forza elettrica che agisce sulla carica è $F=Eq$ per cui devi imporre la condizione di equilibrio $mg=Eq$.
"MaMo":
[quote="Zerogwalur"]... Quanto è la forza di repulsione della sferetta nei confronti del disco?
La forza elettrica che agisce sulla carica è $F=Eq$ per cui devi imporre la condizione di equilibrio $mg=Eq$.[/quote]
Allora, se ho ben capito, io ho fatto:
la forza gravitazionale di q è: $F_gr=5*10^-4*9.81=4.95*10^-3N$, al che eguaglio $F_gr=E*q$, cioé:
$4.95*10^-3=E*4*10^-9$, cioé $E=1.2375*10^6 N/C$ poi faccio: $E=\frac{(2*10^-6)*sqrt(0.01+h^2)-h}{4*\pi*\epsilon_0*0.01*sqrt(0.01+h^2)}$, da cui ottengo:
$1.2375*10^6=1.7975*10^6*\frac{sqrt(0.01+h^2)-h}{sqrt(0.01+h^2)}$, ossia: $1.4525=\frac{sqrt(0.01+h^2)-h}{sqrt(0.01+h^2)}$
quindi $1,4525 = 1-\frac{h}{sqrt(0.01+h^2)}$ al che ho: $-0.4525=\frac{h}{sqrt(0.01+h^2)}$
quindi $-0.4525*sqrt(0.01+h^2)=h$, quindi: $h^2=0.2047*(0.01+h^2)$ quindi $h^2(1-0.2047)=2.047*10^-3$
da cui $h=sqrt((\frac{2.047*10^-3}{1-0.2047})$ cioé $h=5*10^-2 m$.
Uff che faticaccia scrivere tutto quanto!
Almeno ho fatto tutto bene?
"Zerogwalur":
...$1.2375*10^6=1.7975*10^6*\frac{sqrt(0.01+h^2)-h}{sqrt(0.01+h^2)}$, ossia: $1.4525=\frac{sqrt(0.01+h^2)-h}{sqrt(0.01+h^2)}$
...
Almeno ho fatto tutto bene?
Da una controllatina veloce direi che hai fatto un errore di calcolo nel passaggio riportato.
Infatti dovrebbe venire $0.6885 =1-h/sqrt(0,01+h^2)$...
Direi che hai ragione, ho scambiato numeratore per denominatore quando ho fatto E/(termini noti vari).
Rifacendo i calcoli ho: $h=1.0368*10^-1 m$.
@MaMo: hai fatto anche gli altri calcoli? Puoi confermare il risultato?
Rifacendo i calcoli ho: $h=1.0368*10^-1 m$.
@MaMo: hai fatto anche gli altri calcoli? Puoi confermare il risultato?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo