Problema di Elettrostatica
Buon giorno, potreste aiutarmi a risolavere questo problema di fisica?
Sono uno studente.
Ho una superficie metallica in rame di forma cilindrica lunga 20 cm e di 7
cm di raggio, che viene portata ad una tensione di 300 Volt, come posso
calcolare la carica superficiale e la carica totale del cilindro?
Ho provato a studiare vari esempi sul libro e su internet ma senza
risultato, la difficoltà che ho è quella di arrivare a calcolare la carica
superficiale, avendo quella poi calcolo la carica totale.
grazie, stefano rossi
Sono uno studente.
Ho una superficie metallica in rame di forma cilindrica lunga 20 cm e di 7
cm di raggio, che viene portata ad una tensione di 300 Volt, come posso
calcolare la carica superficiale e la carica totale del cilindro?
Ho provato a studiare vari esempi sul libro e su internet ma senza
risultato, la difficoltà che ho è quella di arrivare a calcolare la carica
superficiale, avendo quella poi calcolo la carica totale.
grazie, stefano rossi
Risposte
Ma, scusa se il materiale è conduttore la carica si dispone tutta sulla superficie, quindi in questo caso la carica totale e quella superficiale coincidono...
"cavallipurosangue":
Ma, scusa se il materiale è conduttore la carica si dispone tutta sulla superficie, quindi in questo caso la carica totale e quella superficiale coincidono...
il punto è che non so calcolare nessuna delle due
Scusami se sono pignolo, ma potresti spiegare meglio cosa significa che il cilindro viene portato a 300V di tensione?
"cavallipurosangue":
Scusami se sono pignolo, ma potresti spiegare meglio cosa significa che il cilindro viene portato a 300V di tensione?
significa collegarlo al polo positivo di un generatore di tensione continua, sapendo la superficie e la tensione del conduttore come posso calcolare la carica superficiale?
Ed il polo negativo dove lo metti?
"cavallipurosangue":
Ed il polo negativo dove lo metti?
da nessuna parte, va bene, ho fatto l'esempio sbagliato!
Sostituiamo il generatore di tensione con un generatore elettrostatico che accumula cariche fino ad una tensione di 100kVolt, se io collego il generatore elettrostatico al cilindro con un filo conduttore che densità di carica superficiale avrò sul cilindro?
Io credo che non sia così semplice come dici. Cmq per esempio un problema ben impostato potrebbe esser questo: Una superficie cilindrica conduttrice di altezza $h$ e raggio $R$ viene caricata con carica incognita $q$, se si riesce a misurare nel suo centro geometrico una differenza di potenziale rispetto all'infinito $V$, si può stimare la carica presente nel caso la si possa cosiderare equamente distribuita? Quanto vale tale carica? Una volta nota $q$ trovare poi il potenziale che si misura in ogni punto dell'asse di tale cilindro, chiamata $d$ la generica distanza del punto in cui si effettua la misurazione rispetto al centro geometirco del cilindro. Adesso mi sembra che si possa fare senza ambiguità... Ti interessava un problema simile allora?
"cavallipurosangue":
Io credo che non sia così semplice come dici. Cmq per esempio un problema ben impostato potrebbe esser questo: Una superficie cilindrica conduttrice di altezza $h$ e raggio $R$ viene caricata con carica incognita $q$, se si riesce a misurare nel suo centro geometrico una differenza di potenziale rispetto all'infinito $V$, si può stimare la carica presente nel caso la si possa cosiderare equamente distribuita? Quanto vale tale carica? Una volta nota $q$ trovare poi il potenziale che si misura in ogni punto dell'asse di tale cilindro, chiamata $d$ la generica distanza del punto in cui si effettua la misurazione rispetto al centro geometirco del cilindro. Adesso mi sembra che si possa fare senza ambiguità... Ti interessava un problema simile allora?
si, esattamente cosi, non riesco a capire come si risolve però
Ok, il problema sta sostanzialmente nello scomporre il sistema da continuo a discreto, ossia sudividere per esempio la superficie in tanti anelli di spessore $dx$ e carica $dq$, ovviamente le due grandezze appena introdotte saranno dipendenti una dall'altra:
$\sigma={dq}/{dA}={dq}/{2\piRdx}=>dq=\sigma2\piRdx$ dove $\sigma$ è appunto la densità superficiale, supposta costante.
Ogni piccolo disco avrà potenziale rispetto all'infinito pari a: $dV=k{dq}/r$, dove $r$ è la distanza di un genrico anello infinitesimo rispetto al centro del cilindro stesso (dove abbiamo posizionato la nostra terna di riferimento).
Per evidenti ragioni geometriche: $r=\sqrt{R^2+x^2}$ essendo $x$ la distanza di tale anello dall'origine.
Quindi in definitiva:
$V=\int_SdV=2\pik\sigma\int_(-h)^h{dx}/\sqrt{R^2+x^2}=2\pik\sigma(\text{asinh}(h/R)-\text{asinh}(-h/R))=4\pik\sigma\text{asinh}(h/R)=\sigma/\epsilon_0\text{asinh}(h/R)$
Adesso hai quindi una relazione $V(\sigma)$ tramite la quale puoi calcolare direttamnete la carica presente sulla superficie intera, infatti $\sigma=q/A$
$\sigma={dq}/{dA}={dq}/{2\piRdx}=>dq=\sigma2\piRdx$ dove $\sigma$ è appunto la densità superficiale, supposta costante.
Ogni piccolo disco avrà potenziale rispetto all'infinito pari a: $dV=k{dq}/r$, dove $r$ è la distanza di un genrico anello infinitesimo rispetto al centro del cilindro stesso (dove abbiamo posizionato la nostra terna di riferimento).
Per evidenti ragioni geometriche: $r=\sqrt{R^2+x^2}$ essendo $x$ la distanza di tale anello dall'origine.
Quindi in definitiva:
$V=\int_SdV=2\pik\sigma\int_(-h)^h{dx}/\sqrt{R^2+x^2}=2\pik\sigma(\text{asinh}(h/R)-\text{asinh}(-h/R))=4\pik\sigma\text{asinh}(h/R)=\sigma/\epsilon_0\text{asinh}(h/R)$
Adesso hai quindi una relazione $V(\sigma)$ tramite la quale puoi calcolare direttamnete la carica presente sulla superficie intera, infatti $\sigma=q/A$
"cavallipurosangue":
Ok, il problema sta sostanzialmente nello scomporre il sistema da continuo a discreto, ossia sudividere per esempio la superficie in tanti anelli di spessore $dx$ e carica $dq$, ovviamente le due grandezze appena introdotte saranno dipendenti una dall'altra:
$\sigma={dq}/{dA}={dq}/{2\piRdx}=>dq=\sigma2\piRdx$ dove $\sigma$ è appunto la densità superficiale, supposta costante.
Ogni piccolo disco avrà potenziale rispetto all'infinito pari a: $dV=k{dq}/r$, dove $r$ è la distanza di un genrico anello infinitesimo rispetto al centro del cilindro stesso (dove abbiamo posizionato la nostra terna di riferimento).
Per evidenti ragioni geometriche: $r=\sqrt{R^2+x^2}$ essendo $x$ la distanza di tale anello dall'origine.
Quindi in definitiva:
$V=\int_SdV=2\pik\sigma\int_(-h)^h{dx}/\sqrt{R^2+x^2}=2\pik\sigma(\text{asinh}(h/R)-\text{asinh}(-h/R))=4\pik\sigma\text{asinh}(h/R)=\sigma/\epsilon_0\text{asinh}(h/R)$
Adesso hai quindi una relazione $V(\sigma)$ tramite la quale puoi calcolare direttamnete la carica presente sulla superficie intera, infatti $\sigma=q/A$
Grazie, finalmente una spiegazione esauriente del legame tra caria superficiale e voltaggio, ho bisogno solo di sapere e i seguenti simboli hanno questo significato:
h= altezza cilindro
R= raggio cilindro
V= voltaggio
Giusto? perché invece di mettere h * h non hai mess h al quadrato?
Tutto corretto a parte una piccola svista che ho avuto, ossia ho preso $h$ come metà altezza del cilindro, per semplificare la scrittura... 
"cavallipurosangue":
Tutto corretto a parte una piccola svista che ho avuto, ossia ho preso $h$ come metà altezza del cilindro, per semplificare la scrittura...
quindi si ha $V=\sigma/\epsilon_0\text{asin}(h^2/R)$ giusto? o il primo h era un altro parametro?
$V=\sigma/\epsilon_0\text{asin}(h/{2R})$
"cavallipurosangue":
$V=\sigma/\epsilon_0\text{asin}(h/{2R})$
Grazie
ho cercato sul libro una soluzione e c'era qualcoa di simile ma non capivo i passaggi che tu invece ha spiegato meglio
grazie
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