Problema di elettromagnetismo
Salve a tutti, oggi durante la spiegazione del campo magnetico in classe (quinta liceo) mi sono posto un problema al quale non riesco a rispondere.
Se immaginiamo di porre due piccole masse elettricamente cariche, diciamo entrambe positivamente, all'interno di un campo magnetico uniforme in modo tale che una immaginaria linea che collega le due masse sia perpendicolare alla direzione del campo magnetico e immaginiamo di porle, inizialmente, in uno stato di quiete ma abbastanza vicine perchè risentano considerevolmente della forza di Coulomb reciprocamente, cosa succede alle due particelle?
Meglio: analizzando il problema capisco che si respingono reciprocamente con una forza elettrostatica via via più debole e che quindi subiscono un'accelerazione, ma muovendosi risentono anche della forza magnetica la quale aumenta proporzionalmente alla velocità. Dunque mi aspetto che le due particelle all'infinito viaggino su due linee parallele separate da una distanza d ma non riesco a spiegarmi che curva abbia il loro moto.
Facendo i conti mi sembra (correggetemi se sbaglio) che l'intensità della forza magnetica dipenda dalla velocità che però a sua volta dipende dalla forza di coulomb e non so proprio come risolvere questo problema.
grazie a chi vorrà leggere tutto e darmi una mano
Se immaginiamo di porre due piccole masse elettricamente cariche, diciamo entrambe positivamente, all'interno di un campo magnetico uniforme in modo tale che una immaginaria linea che collega le due masse sia perpendicolare alla direzione del campo magnetico e immaginiamo di porle, inizialmente, in uno stato di quiete ma abbastanza vicine perchè risentano considerevolmente della forza di Coulomb reciprocamente, cosa succede alle due particelle?
Meglio: analizzando il problema capisco che si respingono reciprocamente con una forza elettrostatica via via più debole e che quindi subiscono un'accelerazione, ma muovendosi risentono anche della forza magnetica la quale aumenta proporzionalmente alla velocità. Dunque mi aspetto che le due particelle all'infinito viaggino su due linee parallele separate da una distanza d ma non riesco a spiegarmi che curva abbia il loro moto.
Facendo i conti mi sembra (correggetemi se sbaglio) che l'intensità della forza magnetica dipenda dalla velocità che però a sua volta dipende dalla forza di coulomb e non so proprio come risolvere questo problema.
grazie a chi vorrà leggere tutto e darmi una mano
Risposte
Il problema che poni è molto interessante e bello e merita che ci si ragioni su. L'analisi qualitativa che proponi è giusta, però, quando si passa a fare i conti, le cose si complicano assai. Si tratta quindi di un problema per nulla banale, perché occorre conoscere bene il calcolo vettoriale e ben altro.
La semplice applicazione della forza di Lorentz non relativistica porta qui ad un sistema di quattro equazioni differenziali che non si risolvono, che io sappia, analiticamente. Ci si deve quindi accontentare di una soluzione approssimata al computer.
Se poi si considera il caso relativistico, le cose si complicano ulteriormente.
Non prendiamo in considerazione neanche il fatto che una carica accelerata irradia e perde energia.
Temo, però, che calcolo vettoriale (nel suo completo sviluppo cartesiano) ed equazioni differenziali, siano un po' fuori dalle conoscenze di uno studente di quinta, a meno che tu non sia un precoce autodidatta. In questo caso, sono disposto a darti una mano
La semplice applicazione della forza di Lorentz non relativistica porta qui ad un sistema di quattro equazioni differenziali che non si risolvono, che io sappia, analiticamente. Ci si deve quindi accontentare di una soluzione approssimata al computer.
Se poi si considera il caso relativistico, le cose si complicano ulteriormente.
Non prendiamo in considerazione neanche il fatto che una carica accelerata irradia e perde energia.
Temo, però, che calcolo vettoriale (nel suo completo sviluppo cartesiano) ed equazioni differenziali, siano un po' fuori dalle conoscenze di uno studente di quinta, a meno che tu non sia un precoce autodidatta. In questo caso, sono disposto a darti una mano
L'amore per matematica e fisica è grande ma non mi ha ancora portato così avanti. Diciamo che tornerò su questo problema tra qualche anno con gli strumenti matematici adatti. Grazie mille per la disponibilità, in realtà non mi aspettavo un problema così complesso.
Ho fatto fare i conti al computer (io uso Maxima) e, salvo errori ed omissioni, saltano fuori sorprese da lasciare a bocca aperta.
Qui ci sono due particelle cariche identiche sul piano $(x,y,0)$, mentre il campo magnetico è $(0,0,B)$, inizialmente ferme.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6dlA0M0JWY3owb2s/view?usp=sharing
La traiettoria rossa è della prima particella, la blu della seconda. Esse partono da $(0,3,0)$ e $(0,-3,0)$ con velocità nulla.
Qui ci sono due particelle cariche identiche sul piano $(x,y,0)$, mentre il campo magnetico è $(0,0,B)$, inizialmente ferme.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6dlA0M0JWY3owb2s/view?usp=sharing
La traiettoria rossa è della prima particella, la blu della seconda. Esse partono da $(0,3,0)$ e $(0,-3,0)$ con velocità nulla.
A parità degli altri dati, aumentando il campo magnetico, si ottengono traiettorie del tipo:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6MnpUWThzeFQxa3M/view?usp=sharing
I risultati salienti emergenti sarebbero:
1 - le traiettorie sono limitate (non andrebbero all'infinito)
2 - le traiettorie non sono chiuse (o potrebbero esserlo dopo $n$ giri)
3 - le traiettorie presentano caratteristici punti angolosi o cuspidi in cui la particella deve avere velocità nulla.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6MnpUWThzeFQxa3M/view?usp=sharing
I risultati salienti emergenti sarebbero:
1 - le traiettorie sono limitate (non andrebbero all'infinito)
2 - le traiettorie non sono chiuse (o potrebbero esserlo dopo $n$ giri)
3 - le traiettorie presentano caratteristici punti angolosi o cuspidi in cui la particella deve avere velocità nulla.
Se, invece, le cariche sono di segno opposto (di valore assoluto uguale), le cose vanno in modo diverso.
Con un campo magnetico sufficientemente piccolo, le cariche collidono. Se, invece, il campo magnetico supera un certo valore limite, le traiettorie non collidono più e, sorprendentemente, si mantengono, in un certo senso, parallele.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6V280WlRrUnJZUEU/view?usp=sharing
Con un campo magnetico sufficientemente piccolo, le cariche collidono. Se, invece, il campo magnetico supera un certo valore limite, le traiettorie non collidono più e, sorprendentemente, si mantengono, in un certo senso, parallele.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6V280WlRrUnJZUEU/view?usp=sharing
Grazie mille per le tue simulazioni che mostrano risultati assolutamente inaspettati!
Quindi non solo la mia analisi quantitativa era assente ma pure quella qualitativa era un disastro, bene così!
Quindi non solo la mia analisi quantitativa era assente ma pure quella qualitativa era un disastro, bene così!
Anch'io, che ho più esperienza di te, la pensavo come te. Questo dimostra, se ce ne fosse bisogno, quanto la fisica sia difficile ed ogni affermazione, anche la più intuitiva, vada sempre vagliata attentamente
Per giocare ancora un po', queste sono due particelle di massa diversa e carica diversa (opposta in segno) con velocità iniziale non nulla in assenza di campo magnetico:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6QU1ERmtKbnQwSkk/view?usp=sharing
Qui, la stessa configurazione, ma con un campo magnetico ortogonale al piano su cui giacciono le particelle:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6LWdoeXJmbzZLY3M/view?usp=sharing
Come cambia tutto!
Per giocare ancora un po', queste sono due particelle di massa diversa e carica diversa (opposta in segno) con velocità iniziale non nulla in assenza di campo magnetico:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6QU1ERmtKbnQwSkk/view?usp=sharing
Qui, la stessa configurazione, ma con un campo magnetico ortogonale al piano su cui giacciono le particelle:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6LWdoeXJmbzZLY3M/view?usp=sharing
Come cambia tutto!
Infine, questo è un atomo classico di idrogeno:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6dnpISnFGeHk1eU0/view?usp=sharing
Questo è il medesimo atomo "disturbato" da un campo magnetico ortogonale al piano su cui l'atomo giace:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6LUpvSDlWc1Bob0U/view?usp=sharing
Interessanti quei laccetti
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6dnpISnFGeHk1eU0/view?usp=sharing
Questo è il medesimo atomo "disturbato" da un campo magnetico ortogonale al piano su cui l'atomo giace:
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6LUpvSDlWc1Bob0U/view?usp=sharing
Interessanti quei laccetti
Invertendo il verso del campo magnetico, l'atomo di idrogeno si comporta così (campo magnetico debole):
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6TzRDV19PTm5QT28/view?usp=sharing
oppure (campo magnetico forte):
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6VlA2aklzUklRWDg/view?usp=sharing
in questo caso, l'elettrone addirittura inverte il verso della rotazione attorno al nucleo.
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6TzRDV19PTm5QT28/view?usp=sharing
oppure (campo magnetico forte):
https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6VlA2aklzUklRWDg/view?usp=sharing
in questo caso, l'elettrone addirittura inverte il verso della rotazione attorno al nucleo.
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