Problema di Dirichlet: numero di soluzioni lin. indipendenti
Salve, sono alle prese con lo studio dei campi elettromagnetici, precisamente con i modi TEM.
Il mio dubbio riguarda la risoluzione dell'equazione di Laplace (in due dimensioni) con condizione al contorno di tipo Dirichlet omogenea. Il dominio in cui si risolve il problema è la sezione trasversale di una guida d'onda.
Il problema, quindi, è determinare i potenziali [tex]\phi[/tex] tali che:
[tex]\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial \phi}{\partial \vec{c} } = 0[/tex] sul contorno della sezione, dove [tex]\vec{c}[/tex] è il versore lungo il contorno stesso.
Nel caso in cui la sezione sia molteplicemente connessa (per esempio un cavo coassiale oppure una linea bifilare), la soluzione dell'equazione di Laplace è univocamente determinata dai valori costanti dei potenziali sui contorni.
Ora, sul testo dal quale studio c'è scritto:
«Siccome la soluzione è definita a meno di una costante, uno dei valori costanti dei potenziali sul contorno può essere scelto arbitrariamente uguale a zero. Quindi le effettive costanti libere sono pari al numero di contorni meno uno (in cui si assume [tex]\phi = 0[/tex]»
Ciò che mi chiedo è: perché il fatto che la soluzione definita a meno di una costante mi consente di scegliere arbitrariamente uno dei valori di [tex]\phi[/tex] sul contorno e quindi di ridurre il numero di soluzioni linearmente indipendenti?
Grazie anticipatamente.
Il mio dubbio riguarda la risoluzione dell'equazione di Laplace (in due dimensioni) con condizione al contorno di tipo Dirichlet omogenea. Il dominio in cui si risolve il problema è la sezione trasversale di una guida d'onda.
Il problema, quindi, è determinare i potenziali [tex]\phi[/tex] tali che:
[tex]\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial \phi}{\partial \vec{c} } = 0[/tex] sul contorno della sezione, dove [tex]\vec{c}[/tex] è il versore lungo il contorno stesso.
Nel caso in cui la sezione sia molteplicemente connessa (per esempio un cavo coassiale oppure una linea bifilare), la soluzione dell'equazione di Laplace è univocamente determinata dai valori costanti dei potenziali sui contorni.
Ora, sul testo dal quale studio c'è scritto:
«Siccome la soluzione è definita a meno di una costante, uno dei valori costanti dei potenziali sul contorno può essere scelto arbitrariamente uguale a zero. Quindi le effettive costanti libere sono pari al numero di contorni meno uno (in cui si assume [tex]\phi = 0[/tex]»
Ciò che mi chiedo è: perché il fatto che la soluzione definita a meno di una costante mi consente di scegliere arbitrariamente uno dei valori di [tex]\phi[/tex] sul contorno e quindi di ridurre il numero di soluzioni linearmente indipendenti?
Grazie anticipatamente.
Risposte
E' la stessa cosa che fai in Fisica 1 dove appare per la prima volta l'energia potenziale. Se una cosa è definita a meno di una costante hanno significato solo le sue differenze, per cui tanto vale fissare convenzionalmente un valore zero e riferire tutti gli altri valori ad esso.
Capito, grazie!
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