Problema di dinamica rotazionale
Salve a tutti! Ho questo problema:
Una sbarra lunga 30cm, ai cui estremi sono poste due masse $m_1$ ed $m_2$, dotata di un perno posto a 10cm da $m_1$ ( e quindi 20 cm da $m_2$.
Bisognerebbe calcolare il periodo delle piccole oscillazioni e trovare la situazione di equilibrio.
Come fare?
Ho che il momento d'inerzia vale $ I = m_1*r_1^2 + m_2 * r_2^2 $ no? E poi il sistema subisce un'accelerazione regolata da:
$I \alpha = \tau_1 + \tau_2 = m_1 g r_1 - m_2 g r_2 $
Secondo queste basi otterrei che $ \alpha = g \frac { m_1 r_1 - m_2 r_2 } { m_1*r_1^2 + m_2 * r_2^2 } = 52,77 \text{ rad }/s^2 $ ( In base ai miei dati, che non posto perchè non m'interessa tanto il risultato finale quanto capire come funziona la cosa xD )
C'è sicuramente qualcosa che non quadra Sicuramente ho sbagliato ad imporre qualcosa, ho fatto considerazioni sbagliate. Potete aiutarmi?
Una sbarra lunga 30cm, ai cui estremi sono poste due masse $m_1$ ed $m_2$, dotata di un perno posto a 10cm da $m_1$ ( e quindi 20 cm da $m_2$.
Bisognerebbe calcolare il periodo delle piccole oscillazioni e trovare la situazione di equilibrio.
Come fare?
Ho che il momento d'inerzia vale $ I = m_1*r_1^2 + m_2 * r_2^2 $ no? E poi il sistema subisce un'accelerazione regolata da:$I \alpha = \tau_1 + \tau_2 = m_1 g r_1 - m_2 g r_2 $
Secondo queste basi otterrei che $ \alpha = g \frac { m_1 r_1 - m_2 r_2 } { m_1*r_1^2 + m_2 * r_2^2 } = 52,77 \text{ rad }/s^2 $ ( In base ai miei dati, che non posto perchè non m'interessa tanto il risultato finale quanto capire come funziona la cosa xD )
C'è sicuramente qualcosa che non quadra
Sicuramente ho sbagliato ad imporre qualcosa, ho fatto considerazioni sbagliate. Potete aiutarmi?
Risposte
Il momento d'inerzia è appunto [tex]I = {m_1}{r_1}^2 + {m_2}{r_2}^2[/tex].
Adesso occorre trovare il momento delle forze applicate (gravità). Allora dobbiamo supporre che il momento dovuto a una massa prevalga sull'altro, altrimenti il sistema è in equilibrio indifferente. Per fissare le idee supponiamo [tex]{m_1}{r_1} > {m_2}{r_2}[/tex]. Allora l'asta si dispone su una posizione di equilibrio stabile verticale, con la massa m1 in basso. Chiamiamo [tex]\theta[/tex] l'angolo formato dall'asta con la verticale (all'equilibrio [tex]\theta=0[/tex]). In questo caso il momento torcente complessivo è [tex]\tau = Y\sin \theta[/tex], dove ho posto [tex]Y = g\left( {{m_1}{r_1} - {m_2}{r_2}} \right)[/tex].
Sapendo che [tex]L = \omega I[/tex], [tex]\dot L = \tau[/tex] e [tex]\omega = \dot \theta[/tex] posso impostare la seguente equazione differenziale:
[tex]\ddot \theta I = Y\sin \theta \simeq Y\theta[/tex]
La "quasi" uguaglianza vale per piccole oscillazioni, e occorre assumere questa ipotesi se si vuole che l'equazione abbia soluzioni elementari.
L'equazione data è del tipo [tex]\ddot \theta - {\Omega ^2}\theta = 0[/tex], che ha come soluzione generale [tex]\theta = {\theta _0}\cos \left( {\Omega t + \Phi } \right)[/tex].
Come si vede la [tex]\Omega[/tex] è la pulsazione delle piccole oscillazioni, da cui confrontando con l'equazione originaria si ha:
[tex]\Omega = \sqrt {\frac{Y}{I}}[/tex]
e dunque
[tex]T = \frac{{2\pi }}{\Omega } = 2\pi \sqrt {\frac{I}{Y}}[/tex]
Adesso occorre trovare il momento delle forze applicate (gravità). Allora dobbiamo supporre che il momento dovuto a una massa prevalga sull'altro, altrimenti il sistema è in equilibrio indifferente. Per fissare le idee supponiamo [tex]{m_1}{r_1} > {m_2}{r_2}[/tex]. Allora l'asta si dispone su una posizione di equilibrio stabile verticale, con la massa m1 in basso. Chiamiamo [tex]\theta[/tex] l'angolo formato dall'asta con la verticale (all'equilibrio [tex]\theta=0[/tex]). In questo caso il momento torcente complessivo è [tex]\tau = Y\sin \theta[/tex], dove ho posto [tex]Y = g\left( {{m_1}{r_1} - {m_2}{r_2}} \right)[/tex].
Sapendo che [tex]L = \omega I[/tex], [tex]\dot L = \tau[/tex] e [tex]\omega = \dot \theta[/tex] posso impostare la seguente equazione differenziale:
[tex]\ddot \theta I = Y\sin \theta \simeq Y\theta[/tex]
La "quasi" uguaglianza vale per piccole oscillazioni, e occorre assumere questa ipotesi se si vuole che l'equazione abbia soluzioni elementari.
L'equazione data è del tipo [tex]\ddot \theta - {\Omega ^2}\theta = 0[/tex], che ha come soluzione generale [tex]\theta = {\theta _0}\cos \left( {\Omega t + \Phi } \right)[/tex].
Come si vede la [tex]\Omega[/tex] è la pulsazione delle piccole oscillazioni, da cui confrontando con l'equazione originaria si ha:
[tex]\Omega = \sqrt {\frac{Y}{I}}[/tex]
e dunque
[tex]T = \frac{{2\pi }}{\Omega } = 2\pi \sqrt {\frac{I}{Y}}[/tex]
Ciao, scusa se rispondo con questo ritardo, non sono stato a casa in questi giorni. Comunque sei stato chiarissimo, allora evevo dimenticato il $sin \theta$... Effettivamente il momento torcente delle singole forze di gravità dipende dalla distanza $d$ dei corpi dal polo di rotazione, distanza che durante il moto si accorcia sempre più Non ci avevo pensato.
Grazie mille!
Non ci avevo pensato.Grazie mille!
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