Problema di dinamica con una molla
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto nel capire se la mia risoluzione al seguente problema è corretta o meno.
Ecco il testo con disegno
Ecco la mia risoluzione (premetto: delle soluzioni NON sono sicura e sono perplessa... se avete, per favore, voglia di aiutarmi a sistemarle, ne sarei felicissima).
1) Ho pensato che, dato che non ci sono attriti in gioco, il moto dei due corpi possa essere armonico semplice, da cui scrivo le due equazioni
$ { ( ddot(x)+\omega_2^2x=0 ),( ddot(x)+\omega_1^2x=0 ):} $
con $ \omega_1=\sqrt(k/m_1) $ e $ \omega_2=\sqrt(k/m_2) $ .
Da cui ottengo le due soluzioni
$ { ( x_1(t)=A_1cos(\omega_1 t)+B_1sen(\omega_1 t) ),( x_2(t)=A_2cos(\omega_2 t)+B_2sen(\omega_2 t) ):} $
Ora stabilisco le condizioni iniziali , ovvero, che le due velocità all'istante t=0 siano nulle e che le due posizioni all'istante t=0 siano , per la prima particella, 0 dato che ho deciso di mettere gli assi nel punto del disegno in cui sta la massa 1 , e per la seconda, 2a dato che è la distanza a cui si trova.
Quindi ottengo come soluzioni
$ { ( x_1(t)=0 ),( x_2(t)=2acos(\omega_2 t) ):} $
Dato che voglio che i due oggetti si scontrino, impongo l'uguaglianza tra le due equazioni, e risolvo per il tempo, trovando
$ t=\pi/2\sqrt(m_2/k) $
2)Per il secondo quesito ho fatto un ragionamento analogo al precedente (le condizioni iniziali per la posizione sono identiche), però ho considerato come condizioni sulla velocità v1=0 e v2=V come indicato.
Ho ottenuto alla fine
$ { ( x_1(t)=0 ),( x_2(t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sen(\omega_2 t) ):} $
so che alla massima elongazione la velocità deve essere nulla, quindi ho posto
$ \dotx_2(t)=0 $ e ho trovato l'istante in cui la velocità di annulla, quindi
$ t=arctan(V/(2a\omega_2))1/\omega_2 $ .
poi ho sostituito il seguente tempo nella equazione $ x_2(t) $ trovando così l'espressione della massima elongazione.
Soprattutto circa questo punto, penso di aver fatto un ragionamento da ubriachi...
3)Qui ho considerato lo stesso sistema di equazioni di prima, con anche le stesse condizioni iniziali sulla posizione, ma diverse condizioni sulla velocità (v1=v2=V).
Arrivo a questo sistema
$ { ( x_1(t)=V/\omega_1 sin(\omega_1 t) ),( x_2(t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sin(\omega_2 t) ):} $
Pensavo di porre come prima x1(t)=x2(t) e ricavare t, però non so bene come fare quando scrivo l'equazione
$ V/\omega_1 sin(\omega_1 t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sin(\omega_2 t) $
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie
Ecco il testo con disegno
Ecco la mia risoluzione (premetto: delle soluzioni NON sono sicura e sono perplessa... se avete, per favore, voglia di aiutarmi a sistemarle, ne sarei felicissima).
1) Ho pensato che, dato che non ci sono attriti in gioco, il moto dei due corpi possa essere armonico semplice, da cui scrivo le due equazioni
$ { ( ddot(x)+\omega_2^2x=0 ),( ddot(x)+\omega_1^2x=0 ):} $
con $ \omega_1=\sqrt(k/m_1) $ e $ \omega_2=\sqrt(k/m_2) $ .
Da cui ottengo le due soluzioni
$ { ( x_1(t)=A_1cos(\omega_1 t)+B_1sen(\omega_1 t) ),( x_2(t)=A_2cos(\omega_2 t)+B_2sen(\omega_2 t) ):} $
Ora stabilisco le condizioni iniziali , ovvero, che le due velocità all'istante t=0 siano nulle e che le due posizioni all'istante t=0 siano , per la prima particella, 0 dato che ho deciso di mettere gli assi nel punto del disegno in cui sta la massa 1 , e per la seconda, 2a dato che è la distanza a cui si trova.
Quindi ottengo come soluzioni
$ { ( x_1(t)=0 ),( x_2(t)=2acos(\omega_2 t) ):} $
Dato che voglio che i due oggetti si scontrino, impongo l'uguaglianza tra le due equazioni, e risolvo per il tempo, trovando
$ t=\pi/2\sqrt(m_2/k) $
2)Per il secondo quesito ho fatto un ragionamento analogo al precedente (le condizioni iniziali per la posizione sono identiche), però ho considerato come condizioni sulla velocità v1=0 e v2=V come indicato.
Ho ottenuto alla fine
$ { ( x_1(t)=0 ),( x_2(t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sen(\omega_2 t) ):} $
so che alla massima elongazione la velocità deve essere nulla, quindi ho posto
$ \dotx_2(t)=0 $ e ho trovato l'istante in cui la velocità di annulla, quindi
$ t=arctan(V/(2a\omega_2))1/\omega_2 $ .
poi ho sostituito il seguente tempo nella equazione $ x_2(t) $ trovando così l'espressione della massima elongazione.
Soprattutto circa questo punto, penso di aver fatto un ragionamento da ubriachi...
3)Qui ho considerato lo stesso sistema di equazioni di prima, con anche le stesse condizioni iniziali sulla posizione, ma diverse condizioni sulla velocità (v1=v2=V).
Arrivo a questo sistema
$ { ( x_1(t)=V/\omega_1 sin(\omega_1 t) ),( x_2(t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sin(\omega_2 t) ):} $
Pensavo di porre come prima x1(t)=x2(t) e ricavare t, però non so bene come fare quando scrivo l'equazione
$ V/\omega_1 sin(\omega_1 t)=(2a)cos(\omega_2 t)+V/\omega_2 sin(\omega_2 t) $
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie
Risposte
"vitunurpo":
Quindi ottengo come soluzioni
$ { ( x_1(t)=0 ),( x_2(t)=2acos(\omega_2 t) ):} $
Ti pare sensato questo risultato? La massa 1 se ne sta ferma, e la massa 2 le oscilla intorno? Che fine fa la conservazione della quantità di moto, che inizialmente (e quindi sempre) è zero?
Secondo me, dovresti scegliere come sistema di riferimento il CM del sistema, che resta fermo.
Non solo , così facendo, il punto della molla che sta nel posto dov'è il CM sta pure lui fermo; così puoi fare conto che le molle siano DUE, una attaccata a m1 e l'altra a m2, con due diversi k (più la molla è corta più grande è k)
Risulterà magicamente che i periodi di oscillazione saranno uguali (alla molla più corta sarà attaccata la massa più grande, così k/m è uguale). I due moti armonici saranno in opposizione di fase.
Il punto 3 è praticamente identico. Tutto avviene allo stesso modo, salvo che al sistema si sovrappone una velocità costante. E' come lo stesso di prima visto da un sistema di riferimento in moto con velocità -V.
Il punto 2 è quasi identico. La differenza è che ora il sistema del CM non è fermo. Ma tutto può essere ancora descritto nel riferimento del CM come nel punto 1, con sovrapposto il moto del CM
Ho letto solo il primo punto e:
Io troverei prima il centro di massa e dopo considererei quello come origine del sistema di riferimento.
Non agiscono infatti forze esterne, quindi il centro di massa mantiene la sua velocità (che è nulla, dunque resta fermo).
Per trovare la posizione del centro di massa, poniamo dunque che $m_1$ si trova in $0$, e $m_2$ in $2a$:
$x_{CM} = {0 \cdot m_1 + 2a m_2} / {m_1 + m_2}$.
Nel nuovo sistema di riferimento, dunque, la posizione iniziale della massa $m_1$ è $x_0^1 = - 2a {m_2} / {M}$ (occhio al segno, è negativo!), dove $M$ è la somma delle masse. La posizione iniziale del secondo corpo è invece $2a - 2a {m_2} / {M} = 2a {m_1} / {M} $.
In questo sistema di riferimento, la molla si può scomporre in due molle [strike]con la stessa costante elastica[/strike] con costanti elastiche indicate da mgrau nei messaggi di seguito, entrambe attaccate al centro di massa, cioè l'origine del sistema di riferimento.
Di più, il centro di oscillazione per entrambi i moti è proprio il centro di massa, dato che la molla intera ha lunghezza a riposo nulla.
edit:
Corretto con le indicazioni di mgrau.
Io troverei prima il centro di massa e dopo considererei quello come origine del sistema di riferimento.
Non agiscono infatti forze esterne, quindi il centro di massa mantiene la sua velocità (che è nulla, dunque resta fermo).
Per trovare la posizione del centro di massa, poniamo dunque che $m_1$ si trova in $0$, e $m_2$ in $2a$:
$x_{CM} = {0 \cdot m_1 + 2a m_2} / {m_1 + m_2}$.
Nel nuovo sistema di riferimento, dunque, la posizione iniziale della massa $m_1$ è $x_0^1 = - 2a {m_2} / {M}$ (occhio al segno, è negativo!), dove $M$ è la somma delle masse. La posizione iniziale del secondo corpo è invece $2a - 2a {m_2} / {M} = 2a {m_1} / {M} $.
In questo sistema di riferimento, la molla si può scomporre in due molle [strike]con la stessa costante elastica[/strike] con costanti elastiche indicate da mgrau nei messaggi di seguito, entrambe attaccate al centro di massa, cioè l'origine del sistema di riferimento.
Di più, il centro di oscillazione per entrambi i moti è proprio il centro di massa, dato che la molla intera ha lunghezza a riposo nulla.
edit:
Corretto con le indicazioni di mgrau.
"amivaleo":
In questo sistema di riferimento, la molla si può scomporre in due molle con la stessa costante elastica, entrambe attaccate al centro di massa,
Non è la stessa, a meno che le due masse siano uguali, ovvero che il CM sia nel punto medio...
Non vedo come la scelta del sistema di riferimento possa modificare una proprietà intrinseca di una molla come è la costante elastica.
Quale $k$ useresti per, diciamo, il primo corpo?
edit:
Mi correggo:
$k$ è una costante intrinseca della molla perché dipende dal materiale E dalla sua geometria. Circa in maniera simile alla resistenza di un resistore.
È il modulo di Young $E_Y$ a essere una proprietà intrinseca del materiale MA non della geometria della molla. Dunque è $E_Y$ a restare lo stesso per le due molle E per la molla prima di tagliarla.
Quale $k$ useresti per, diciamo, il primo corpo?
edit:
Mi correggo:
$k$ è una costante intrinseca della molla perché dipende dal materiale E dalla sua geometria. Circa in maniera simile alla resistenza di un resistore.
È il modulo di Young $E_Y$ a essere una proprietà intrinseca del materiale MA non della geometria della molla. Dunque è $E_Y$ a restare lo stesso per le due molle E per la molla prima di tagliarla.
"amivaleo":
Non vedo come la scelta del sistema di riferimento possa modificare una proprietà intrinseca di una molla come è la costante elastica.
Se hai una molla di lunghezza $L$ costante $k$, e la tagli in due parti di lunghezza $L_1$ e $L_2$, queste hanno rispettivamente $k_1 = kL/L_1$ e $k_2 = kL/L_2$ (Pensa a quel che succede quando colleghi due molle in serie: quanto vale $k$ per il sistema delle due molle, dati quelli delle molle originali?)
"mgrau":
Se hai una molla di lunghezza $ L $ costante $ k $, e la tagli in due parti di lunghezza $ L_1 $ e $ L_2 $, queste hanno rispettivamente $ k_1 = kL/L_1 $ e $ k_2 = kL/L_2 $ (Pensa a quel che succede quando colleghi due molle in serie: quanto vale $ k $ per il sistema delle due molle, dati quelli delle molle originali?)
Giusto.
Ho detto una scemenza.
Quanto detto nel mio primo messaggio qui vale se includo quanto corretto da te.
Scusatemi.
Inizio a ringraziare tutti e due per le risposte. Appena ho un attimo leggo tutto Grazie ancora
Grazie ancora
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